2012年河南省“专升本”高等数学试卷及答案

河南省普通高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

5. 设f(x) 在x?1处可导，且f?(1)?1，则limh?0f(1?2h)?f(1?h)的值为（ ）

h A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解：limh?0《高等数学》试卷

题号 f(1?2h)?f(1?h)?lim[?2f?(1?2h)?f?(1?h)??3f?(1)??3?C 。 h?0h一 二 三 四 五 六 总分 核分人 6.若函数f(x)在区间(a,b)内有f?(x)?0,f??(x)?0，则在区间(a,b)内，f(x)图形 分数 （ ）

A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的

C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的 得分 评卷人 一. 单项选择题（每题2分，共计50分）

解：f?(x)?0?单调增加；f??(x)?0?凸的。应选B。

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 7.曲线y?1?x3的拐点是 （ ） 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.

A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1) 1.集合{3,4,5}的所有子集共有 （ ） 解：y???6x?0?x?0?(0,1)，应选A 。

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数2n?23?8?D。

8.曲线f(x)?x2?23x2的水平渐近线是 （ ） 2.函数f(x)?arcsin(x?1)?3?x的定义域为 （ ） A. y?2 A. [0,3] B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3] 3 B. y??2113 C. y?3 D. y??3 解： ???1?x?1?1解：x2?2?0?x?2?B。

xlim???3x2?13?y?1?3?x?03?C 。 x23. 当x?0时，与x不等价的无穷小量是 ( )

9. lim?0tantdtA.2x B.sinx C.ex?1 D.ln(?x) x?0x4? （ ）

1解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。 A. 0 B.

12 C.2 D. 1 4.当x?0 是函数f(x)?arctan1x 的 （ ） x20tanxdx A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 解：lim?

x?0?lim2xtanx2x4x?04x3?12?B 。 解：lim1 10.若函数f(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是 （ ?arctanx2 ；x?0??limarctan1x???2?C。 x?0?A.

?f(x)dx?g(x)?C B. ?g(x)dx?f(x)?C

第 1 页 共

15 页

）

C.g?(x)dx?f(x)?C D.

??f?(x)dx?g(x)?C

解：根据不定积分与原函数的关系知，g(x)dx?f(x)?C。应选B。 11.cos(1?3x)dx? （ ）

A.??132x31bf(x)dx ??xdx?解：?ab?a2163?113?B。 316. 过Oz轴及点(3,?2,4)的平面方程为 （ ） A. 3x?2y?0 B. 2y?z?0 C. 2x?3y?0 D. 2x?z?0

解：经过Oz轴的平面可设为Ax?By?0，把点(3,?2,4)代入得2x?3y?0应选C。 也可以把点(3,?2,4)代入所给的方程验证，且不含z。

?11sin(1?3x)?C B. sin(1?3x)?C 33C. ?sin(1?3x)?C D. 3sin(1?3x)?C

11 解：?cos(1?3x)dx???cos(1?3x)d(1?3x)??sin(1?3x)?C?A。

3312. 设y??(t?1)(t?3)dt，则y?(0)? （ ）

0x?x2z2?1??17. 双曲线?3绕z轴旋转所成的曲面方程为 （ ） 4?y?0?x2?y2z2x2y2?z2??1 ??1 B. A.

3434(x?y)2z2x2(y?z)2??1 D. ??1 C.

3434x2z2x2?y2z2222??1中x换成x?y得??1，应选A。 解：把343418.lim A.-3 B.-1 C.1 D.3 解：y??(x?1)(x?3)?y?(0)?3?D 。

13. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.

???dxxdx1?? B.

?10??1dx x

C.

?1xx D.

???dxxx解：由p积分和q积分的收敛性知，?14. 对不定积分

dxxx1收敛，应选C 。

3?xy?9? （ ）

x?0xyy?011 B. ? C.0 D. 极限不存在 661 ?sin2xcos2xdx，下列计算结果错误是 （ ）

1?C tanx A.

A. tanx?cotx?C B. tanx?解：lim3?xy?9?xy11?lim??lim???B 。

x?0x?0x?0xy6xy?9)xy?9y?0y?0xy(3?y?03?yC. cotx?tanx?C D. ?cot2x?C 解：分析结果，就能知道选择C。

15. 函数y?x在区间[1,3]的平均值为 （ ）

A.

2 19.若z?x，则

?z?y? （ ）

(e,1) A.

2613 B. C. 8 D. 4 33 15 页 第 2 页 共

1 B. 1 C. e D. 0 e

?z 解：

?y?xlnx(e,1)y(e,1)?elne?e?C 。

?z? （ ） ?x A.(?1,1) B.(?3,3) C. (?2,4) D.(?4,2)

20. 方程 z2y?xz3?1所确定的隐函数为z?f(x,y)，则

1??t?解： 令x?1?t，级数化为?n?1t?????收敛区间为(?3,3)，即

3n?0?3?n?031n?nx?1?(?3,3)?x?(?4,2)?D。

24. 微分y???3y??2y?e?xcosx特解形式应设为y?? （ ） A. Cecosx B. e?x(C1cosx?C2sinx) C. xe?x(C1cosx?C2sinx) D. x2e?x(C1cosx?C2sinx)

解：?1?i 不是特征方程的特征根，特解应设为e?x(C1cosx?C2sinx)。应选B。

xzzz2z2A. B. C. D.

2y?3xz3xz?2y2y?3xz3xz?2yFx??zz2 解：令F?zy?xz?1?Fx???z;Fz??2zy?3xz?，?????xFz2y?3xz2332应选A。

21. 设C为抛物线y?x上从(0,0)到(1,1) 的一段弧，则

2?C2xydx?x2dy?

25.设函数y?f(x)是微分方程y???y??e2x的解，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处

（ ）

A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值 解：有f??(x0)?f?(x0)?e

得分 评卷人

二、填空题（每题2分，共30分）

26.设f(x)?2x?5，则f[f(x)?1]?_________.

解：f[f(x)?1]?2(f(x)?1)?5?2f(x)?3?2(2x?5)?3?4x?13 。

2x0 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2

1?x?x23,xC解：：?从0变到1，?2xydx?xdy??4xdx?1?C 。 2C0?y?x?f??(x0)?e2x0?0?A 。

22.下列正项级数收敛的是 （ ）

?11A. ? B. ?

n?23n?1n?2nlnn??11C. ? D. ?2nn(lnn)n?2nnn?2??11 解：对级数?、?需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数2n?2nlnnn?2n(lnn)???111p?1p?1有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级???pn3n?1n?2n?2nnn?2n(lnn)2n?____________. 27.limn??n!?2n解：构造级数?，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件

n?0n!?1数?利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。 n?2n23.幂级数

?2nlim?0。 n??n!?3n?0?1n?1(x?1)的收敛区间为 （ ）

n?3e4x，x?0? 28.若函数f(x)??在x?0处连续，则a?____________. a?2x?，x?02? 15 页 第 3 页 共

af(x)?;limf(x)?3?a?6。 解：lim?x?0?x?0229.已知曲线y?x2?x?2上点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________

解：y??2x?1?5?x?2?y?4?M(2,4)。 30.设f(x)?e2x?1，则 f解：f(n)(2007)解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。 38.已知I??220dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______ ?2,y?x?1?y2? 2????22x???(x,y)|?x?1,0?y?1?x?，

2???11?x2 解：D??(x,y)|0?y???(0)?_________

(x)?2ne2x?1? f(2007)(0)?22007e?1。

?2,0?y? ??(x,y)|0?x?2?所以次序交换后为

??x?3t?1dy31.设?，则?__________ 2dxt?1?y?2t?t?1解：

?220dx?f(x,y)dy??2dx?02x0f(x,y)dy。

dy4t?1dy?? ?1。 dx3dxt?1??11?1??39.若级数?收敛，则级数????的和为 _______ uuun?1?nn?1nn?1?32. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____ 解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。 33.

解：Sn??而ilm?0，?u?u?????u?u???????u?u???u?u，n??un?12?3?n?1?1n?1?1?2?n所以S?limSn?n???11??11。 u11??11?111??f?(x)dx? _________ f(x)f?(x)df(x)dx???ln|f(x)|?C。 f(x)f(x)解：

40.微分方程y???2y??y?0的通解为________

解：有二重特征根1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）。

得分 评卷人

三、判断题（每小题2分，共10分）

你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.

41.若数列?xn?单调，则?xn?必收敛. ( ) 解：如数列?n?单调，但发散，应为×。

42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. ( )

2解：如y?x在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为

34．解：

?1011?x2dx?_________

1?21?xdx?S?。 圆?044?????35.向量a?3i?4j?k的模|a|?________

???解：|3i?4j?k|?9?16?1?26。

36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则

m?______

??解：n1?{1,2,?5};n2?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。

2237.设f(x?y,xy)?x?y，则f(x,y)?________

15 页 第 4 页 共

×。

解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|? 两边对x求导得：

x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx??????lim?lim??1. ( ) 43.limx??x?sinxx??1?cosxx???sinx1?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分） 3sinx0?x?sinxx?1。应解：第二步不满足或，是错误的，事实上lim?limx??x?sinxx??sinx0?1?x1?为×。

44.0?121??11?，-------（3分） y?????yx3?1?x1?x??即y??y???2?x11?，------（4分） ??3(x?1)3(x?1)?故

?ln201?e?2xdx?3ln2. ( ) 2dy1?x?211??x23。-----（5分） ????dx1?x?x3(x?1)3(x?1)?2x48.求不定积分[e?ln(1?x)]dx.

?解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：0?应为√。

?ln201?e?2xdx?ln2?3ln2，2解：[e?2x?ln(1?x)]dx??12xed(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） 2?45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( ) 解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。

得分 评卷人

四、计算题（每小题5分，共40分）

49.计算定积分

?12xxe?xln(1?x)??dx -----（3分） 21?x??12x1??e?xln(1?x)???1?dx--（4分） ?21?x??12xe?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 2?02?2cos2xdx .

2解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cosx，所以

x46．求lim?x?0sinx.

limsinxlnxsinx~xsinxsinxlnx 解： limx?lime?ex?0??x?0x?0??ex?0limxlnx??

?02?2cos2xdx???04cosxdx??2|cosx|dx-----（2分）

02?

lnxlim?1x?0x??lim1x1x2?2?cosxdx?2??cosxdx------（4分）

2?20??2sinx?2sinx??2?2?4。-----（5分）

x?0??e2???e??e?limxx?0??20??e?1。

02x250.设z?f(esiny,3xy)，且f(u,v)为可微函数，求dz.

x2 解：令esiny?u,3xy?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得

47.求函数y?x?3dy1?x的导数.

dx1?x 15 页 第 5 页 共

dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fu?(exsinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算

??2n?0?12n?1x2n?1x?(?2,2)。--（5分）

53．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解. 解：方程可化为y????xdxdy，其中D为圆环区域：1?xD222?y?4.

22221?2xy?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分） x21解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x?y?1、x?y?4用极坐标表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为

1?2x2xy?0它对应的齐次方程y??的通解为y?Cxe，---（2分） 2x设原方程有通解y?C(x)xe，代入方程得C?(x)xe?1，

21x21x?(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）

故

y r?1 r?2 ??xD2dxdy??d??rcos??rdr----（3分） 012?222o x

1?即 C?(x)?2ex，--（3分）

x?1?所以 C(x)??2exdx?ex?C，---（4分）

x111 ??2?0cos2?d??r3dr??122?0r442cos2?d?

1152?152?2cos?d???2cos2?d?---（4分） ??40802?图07-1

故所求方程的通解为y?Cx2e?x2。---（5分）

得分 评卷人

五、应用题（每题7分，共计14分）

54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为

V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，

1x152?15115? ?。---（5分） (1?cos2?)d??(??sin2?)??0882402x52．将展开为x的幂级数，并写出收敛区间.

4?x22x11 解： 因???22?x2?x4?x?1??xn1?xn?01x2(1?)2?1x2(1?)2；---（2分）

才能使污水处理池的造价最低？

解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为由题意可得

x?(?1,1)。

?nV，又设造价为z，---（1分） xy?x?????所以

xn?0?2?1?21?x?x?(?2,2)；?????xn?0?2?1?2nn1?nx?(?2,2)。--（3分）

z?axy?2b(x?y)V2bV2bV?axy??xyyx(x?0,y?0)；---（3分）

??1?(?1)n2x1??x?1??x?????????????故?2n?12n?0?2?4?x22n?0?2?n?0??n??x?而

x?(?2,2)--（4分）

?z2bV?z2bV?ay?2; ?ax?2;在定义域内都有意义. ?xx?yy 15 页 第 6 页 共

2bV??z?ay??0?2bVx2??x令?得唯一驻点x?y?3，-----（5分）

?z2bVa??ax??02??yy?由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?3或Vy??(lny)dy??(lny)y??2lnydy

111?e22e?e ??e?2?lnydy??e?2?ylny1?2?dy

11?ee?e ??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。 得分 评卷人

56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有

六、证明题（6分）

2bV就是使造价最小的取值，此a时高为3aV

。 2b

2

2

2bV2bVaV

所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3、3、3时，工程

aa2b

造价最低。---（7分）

55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.求： （1）平面图形D的面积;

(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. e 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分）

取x为积分变量，且x?[0,1] （1）平面图形D的面积为

m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).

y

y?ex

证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即f(x)在

[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）

故存在??(x1,x2)，使得

1 x 1 f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分）

x2?x1o 又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x?(a,b)时，有

S??(e?ex)dx----（3分）

01图07-2 ?(ex?ex)?1。----（4分）

01m?f?(x)?M。------（5分）

即 m?（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为

Vy?2?xe?edx?2?exdx?2?xedx

000f(x2)?f(x1)?M，

x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）

x??1??1?1xx2 ?2?e210?2??xdex??e?2?xex?2??exdx

000111 ??e?2?e?2?ex10??(e?2)。-----（7分）

15 页 第 7 页 共

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选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

解: lim?x?03?13?11x1x??13?13ln3??1,lim??lim?1?B. 11??x?0x?013x?13xln31x001x高等数学 试卷

题号 分数

得分 评卷人 一 二 三 四 五 总分 核分人 4.下列极限存在的为 （ ）

sin2x1x2?2cos D.lim A.lime B. lim C.lim

x???x?0x???x?3x?0?xxx 解:显然只有limsin2x?2,其他三个都不存在,应选B.

x?0x一. 单项选择题（每题2分，共计60分）

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.

5. 当x?0 时，ln(1?x2)是比1?cosx的（ ）

A．低阶无穷小 B．高阶无穷小 C．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小

1. 函数f(x)?ln(1?x)?x?2的定义域为 （ ）

xx2~?D. 解: ln(1?x)~x,1?cosx?2sin22222 A. [?2,?1] B. [?2,1] C. [?2,1) D. (?2,1) 解：??1?x?0??2?x?1?C.

?x?2?02. lim1?2cosx? （ ）

????x?3sin?x??3??1?1?(x?1)sin,x??1?x?1??1?x?0，则f(x) （ ） 6.设函数f(x)??1,

?arctanx,x?0??A．在x??1处连续，在x?0处不连续 B．在x?0处连续，在x??1处不连续 C．在x??1，0，处均连续 D．在x??1，0，处均不连续 解:lim?1f(x)?1,lim?f(x)?1,f(?1)?1? f(x)在x??1处连续;

x??1x??1x?0?1 A.1 B. 0 C. 2 D.3

001?2cosx2sinx???lim?解：lim????????x?x?3cos?x?3sin?x???33????3. 点x?0是函数y?2?132?3?D.

limf(x)?1,limf(x)?0,f(0)?1? f(x)在x?0处不连续;应选A. ?x?03?13?11x1x7.过曲线y?arctanx?e上的点(0,1)处的法线方程为 （ ）

的 ( )

A. 2x?y?1?0 B. x?2y?2?0 C. 2x?y?1?0 D. x?2y?2?0

xA.连续点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 第二类间断点

15 页 第 8 页 共

解: y??11x??e?f(0)?2?k???D. 法221?x?(x)?0，则

x?0x解: y???6x?0?x?0?(0,?2),应选B.

8.设函数f(x)在x?0处可导，f(x)?f(0)?3x??(x)且lim13. 曲线y?1 （ ）

|x?1| f?(0)? （ ）

A. 只有水平渐进线 B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线

A. -1 B.1 C. -3 D. 3 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?3x??(x)?(x)?lim??3?lim??3,应选C. x?0x?0x?0xxC. 只有垂直渐进线 D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线 解：limx9.若函数f(x)?(lnx)(x?1) ，则f?(x)? （ ）

11?0, lim???B.

x??|x?1|x?1|x?1| A. (lnx)xx?1 B. (lnx)x?1?(lnx)xln(lnx)

214.如果f(x)的一个原函数是xlnx,那么xf??(x)dx? （ ）

?C. (lnx)ln(lnx) D. x(lnx) 解：f(x)?(lnx)?e应选B.

3?d2y?x?cost 10.设函数y?y(x)由参数方程?确定，则3dx2??y?sintx A. lnx?C B. x?C

x?12xxln(lnx)?y??(lnx)[xln(lnx)]??(lnx)x?(lnx)ln(lnx),

xC. xlnx?C D. C?x 解：f(x)?(xlnx)??1?lnx?f??(x)??31??x2f??(x)dx???dx??x?C,2x? （ ）

x??4应选D.

15.

A.-2 B.-1 C.?442 D. 2 33dx?x2?4x?3? ( )

A .

dysintd2y11d2y???2??? 2解：22dxcostdxcost3costsintdx?x??442,应选D. 31x?31x?1ln?C B.ln?C 2x?12x?3C. ln(x?3)?ln(x?1)?C D. ln(x?1)?ln(x?3)?C

11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）

1x2A.y?e B.y?ln|x| C.y?1?x D.y?2

x 解：验证罗尔中值定理的条件,只有y?1?x满足,应选C.

12. 曲线y?x?5x?2的拐点是 （ ） A.x?0 B.(0,?2) C.无拐点 D. x?0,y??2

32解:

dxdx1?11?1x?3???dx?ln?C,应选A. ?x2?4x?3?(x?3)(x?1)2???x?3x?12x?1??1dx?01?x4，则I的取值范围为 ( )

1?1A .0?I?1 B.?I?1 C. 0?I? D.?I?1

24211?1,根据定积分的估值性质,有 解:此题有问题,定积分是一个常数,有?21?x416.设I? 15 页 第 9 页 共

1?I?1,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B. 217. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.

????21. 若I?A

?e0x3f(x2)dx 则I? ( )

e0?31x3dx B. ?1lnxdx C.?1x??xdx D. ?e?xdx

0???e20xf(x)dx B ?xf(x)dx

解:显然应选D. 18.

1e21eC ?xf(x)dx D ?xf(x)dx

2020x?t1e21e21e222解: I??xf(x)d(x)????tf(t)d(t)??xf(x)d(x),应选C.

2020202??3|1?x|dx? （ ）

A.2|1?x|dx B.

0?3??1?3(x?1)dx??(1?x)dx

1322.直线

x?2y?4z??与平面4x?3y?7z?5的位置关系为 591 C. 解：

?1?3(1?x)dx??31(x?1)dx D.

311?3(1?x)dx??(x?1)dx

113?323A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面平行

解：s?{5,9,1},n?{4,?3,7}?s?n ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D. 23.limx?0y?0?3?3|1?x|dx??1?3|1?x|dx??|1?x|dx??(1?x)dx??(x?1)dx,应选D.

12????19.若f(x)可导函数，f(x)?0，且满足f(x)?ln2?2?x0f(t)sintdt，则f(x)?

1?cost（ ）

x2?y2x?y?1?122? （ ）

1?cosx) B. ?ln(1?cosx)?C A. ln(1?cosx) D. ln(1?cosx)?C C. ?ln(f(t)sintf(x)sinxdt两边求导有:2f(x)f?(x)??2 解：对f(x)?ln2?2?,

01?cost1?cosxsinxsinxd(1?cosx)?f(x)???dx??即有 f?(x)??

1?cosx1?cosx1?cosx22x A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 解: limx?0y?0x2?y2x?y?1?122?limx?0y?0(x2?y2)(x2?y2?1?1)x?y2222

?lim(x?y?1?1)?2,应选A.

x?0y?0?ln(1?cosx)?C,还初始条件f(0)?ln2,代入得C?0,应选A.

11f(x)dx，则f(x)? （ ） 2??11111A. x? B. x? C. x? D. x?

223311 解：令a??f(x)dx,则f(x)?x?1?a,

?121111故有a??f(x)dx??(x?1?a)dx?2?a?a?1?f(x)?x?,应选C.

?1?12220. 若函数f(x)满足f(x)?x?1?24.曲面z?x?y在点（1，2，5）处切平面方程（ ） A．2x?4y?z?5 B．4x?2y?z?5 C．x?2y?4z?5 D．2x?4y?z?5

22?(1,2,5)?4,Fz?(1,2,5)??1? 解:令F(x,y,z)?x?y?z,Fx?(1,2,5)?2,Fy2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0?2x?4y?z?5,也可以把点（1，2，5）代入方程

22第 10 页 共 15 页

验证,应选A.

A. y??y?0 B. y??y?0

33?2z25.设函数z?xy?xy，则? （ ）

?y?xA. 6xy B. 3x?3y C. ?6xy D. 3y?3x

2222C. y?y?1 D. y?y??1?0 解: y?Cex?y??Cex?y??y?0,应选B.

29. 微分方程y???y??xe?x的特解形式应设为y?? （ ）

A .x(ax?b)e?x解:

?z?z?x3?3xy2??3x2?3y2,应选B. ?y?y?x2 B.ax?b C.(ax?b)e D.x2(ax?b)e?x?x?x

26.如果区域D被分成两个子区域D1和D2且

??f(x,y)dxdy?5，

D1解:-1是单特征方程的根,x是一次多项式,应设y??x(ax?b)e,应选A.

??f(x,y)dxdy?1,则??f(x,y)dxdy? ( )

D2D30．下列四个级数中，发散的级数是 （ ）

???12n?3n1A. ? B. ? C. ?n D. ?2

nn?1n!n?11000n?12n?1n?A. 5 B. 4 C. 6 D.1 解:根据二重积分的可加性,

??f(x,y)dxdy?6,应选C.

D得分 评卷人 27.如果L是摆线?弧，则

?x?t?sint从点A(2?,0)到点B(0,0)的一段

?y?1?cost解:级数

2n?312n?3?0,是发散的,应选B. 的一般项的极限为?1000n500nn?11000?132x(xy?3xe)dx?(x?ysiny)dy? ( ) ?L3A.e(1?2?)?1 B. 2[e(1?2?)?1] C.3[e(1?2?)?1] D. 4[e(1?2?)?1]

2?2?2?2?二、填空题（每题2分，共30分）

f(x)?limf(x)?A. 31．limf(x)?A的____________条件是lim??x?x0x?x0x?x0?x?x?P?Q??x2?此积分与路径无关,取直线段?解:有,x从2?变到0,则 ?y?xy?0?0013xxxx0?L(xy?3xe)dx?(3x?ysiny)dy??2?3xedx?3?2?xde?3(xe?e)2?

2x解：显然为充要(充分且必要).

32. 函数y?x?sinx在区间(0,2?)单调 ，其曲线在区间?0,凸性为 的.

解：y??1?cosx?0?在(0,2?)内单调增加,y???sinx在?0,凹的.

????

?内的凹2?

?3[e(1?2?)?1],应选C.

28.以通解为y?Ce（C为任意常数）的微分方程为 ( )

x2???

π?

?内大于零,应为2?

第 11 页 共 15 页

33.设方程3x2?2y2?z2?a(a为常数)所确定的隐函数z?f(x,y) ,则 38.函数f(x,y)?x3?y3?3xy的驻点为 . ?z?_____. ?x解：F?3x2?2y2?z2?a?Fz??2z,Fx??6x?

F??z3x??x??. ?xFz?z??z2?3x?3y?0???x解: ??(0,0),(1,1).

?z2??3y?3x?0???y39.若z?xy?e21?x34.

?1?dxx? .

x?txy3?2tany?z，则x?x? .

(1,0)解:

2tdt1?????21?dt?2t?2ln(1?t)?C ??1?x?1?t??1?t??dx解:f(x,0)?0??40?4x?z?z?0? ?x?x?0.

(1,0)?2x?2ln(1?x)?C.

35.

40.

?dx??40??3???3cosydy?___________ y?y112444?. cosydy??dy?cosydx??cosydy?sinx0000yy2??x. dx?________1?cosx解:

?dx??4x?xx????解：函数在区间??,?是奇函数，所以?3?dx?0.

??1?cosx1?cosx?33?341.直角坐标系下的二重积分

??D3f(x,y)dxdy(其中D为环域1?x2?y2?9)化为

?4，1)，B(?1，?3，1)，C(2，?4，0)为顶点的36. 在空间直角坐标系中,以A(0，?ABC的面积为__ . 极坐标形式为___________________________.

解：

?i2?j?k??f(x,y)dxdy??D2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr.

1解：AB?{?1,1,0},AC?{2,0,?1}?AB?AC??110?{?1,?1,?2}，所以0?142.以y?C1e解:由y?C1e?3x?C2xe?3x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 . ?C2xe?3x为通解知,有二重特征根-3,从而p?6,q?9,微分方程

?3x?ABC的面积为16AB?AC?. 22为y???6y??9y?0.

?x2y2?1??37. 方程?9在空间直角坐标下的图形为__________. 4?x??2?解:是椭圆柱面与平面x??2的交线,为两条平行直线.

43.等比级数

?aqn?0n?n(a?0),当_______时级数收敛,当_______时级数发散.

解: 级数

?aqn?0?是等比级数, 当|q|?1时,级数收敛,当|q|?1时,级数发散.

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144.函数f(x)?2展开为x的幂级数为__________________

x?x?247. 求limx?0x411?11?1111?????????解: f(x)?2 ?x3?1?x2?x?31?x6x?x?21?2n??(?1)n?11?1?x1?nnn???(?1)x??n????x,(?1?x?1). n?1?3n?06n?0233?2?n?0??x2.

0t31?t2dtx4解：limx?0?x2???limx?0004x3x230t31?t2dt1?x?2x4?lim21?x4x?03?2.

48.已知y?lnsin(1?2x),求

dy. dx?n?2?45.???的敛散性为________的级数.

n?n?1??n?2??2??lim?1?? 解:limun?lim??n??n??n???n??n?

nn??(?2)2?n解：

dy1?sin(1?2x)???cos(1?2x)?1?2x????2cos(1?2x) ?dxsin(1?2x)sin(1?2x)sin(1?2x)?e?2?0,级数发散.

1?2x). ??2cot(49. 计算不定积分xarctanxdx.

解

得分 评卷人

：

?三、计算题（每小题5分，共40分）

46．求lim???x2?x2x21??xarctanxdx?arctanxd?arctanx??dx2????2?221?x??x21?1??arctanx???1?dx 2?22?1?x??x?2??x??x2?3???2x2?52.

x2?52x22?x2?2??解：lim?x???x2?3???x2?52??1??lim?x????1??2x23x2???????limx??2???1?2?x??3???1?2??x?522????1?2?x??52x211?arctanx?x?arctanx?C. 22252x23??(?)32

50.求函数z?ecos(x?y)的全微分. 解：利用微分的不变性,

x3????1?2??x? ?2??lim?1?2?x??x??3??lim?1?2?x???x?x22dz?d[excos(x?y)]?exdcos(x?y)?cos(x?y)dex ??exsin(x?y)d(x?y)?cos(x?y)exdx ??exsin(x?y)[dx?dy]?cos(x?y)exdx ?ex[cos(x?y)?sin(x?y)]dx?exsin(x?y)dy.

2????1?2?x??x23??(?)323????1?2??x?52?ee?32?e.

52第 13 页 共 15 页

51．计算

??Dxd?，其中D是由y?2,y?x,xy?1所围成的闭区域. 2y故收敛半径R?1. 3解：积分区域D如图所示:把区域看作 Y型,则有

?11当x?时,级数化为?,这是调和级数,发散的;

3n?1n?0?1D??(x,y)|1?y?2,?x?y?故

?y?, ?2 ?1(?1)n当x??时,级数化为?,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;

3n?0n?1y ??D2yxxdxdy?dydx 122??1yyyy211dy1xdx??2dy?1yy2?yy?x?x?y

所以级数的收敛域为??

?11?,?. 33??得分 评卷人 ??2121 xo 1 2yyxy?1?x?1

x 1 y

四、应用题（每题7分，共计14分）

54. 过曲线y?x2上一点M(1,1)作切线L，D是由曲线y?x2，切线L及x轴所围成的平面图形，求

（1）平面图形D的面积;

（2）该平面图形D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积. 12?1?1?1?17? ???1?4?dy??. y??3??12?y?2?3y?14852．求微分方程y??ycosx?e?sinx2满足初始条件y(0)??1的特解.

解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程y??ycosx?0的通解为

y?Ce?sinx,设y?C(x)e?sinx是原方程解,代入方程有C?(x)e?sinx?e?sinx,

?sinx即有C?(x)?1,所以C(x)?x?C,故原方程的通解为y?Ce?xe?sinx, ?sinx把初始条件y(0)??1代入得:C??1,故所求的特解为y?(x?1)e.

y 解：平面图形D如图所示：

因y??2x,所以切线L的斜率k?y?(1)?2, 切线L的方程为y?1?2(x?1),即y?2x?1

取x为积分变量，且x?[0,1]. （1）平面图形D的面积为

1 y?x2?x?y

3nn53．求级数?x的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).

n?1n?0?o 1 1 21112x

1

解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径R?,

?

x32S??xdx??1(2x?1)dx?03211?(x?x)02?1. 12an?13n?1n?1n?1而??lim?lim?n?3lim?3,

n??an??n?2n??n?23n（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积为

第 14 页 共 15 页

511 Vx??xdx??1(2x?1)dx??02?14?12x50?4x3??2?????2x?x??3?130.

??2连续,且有f(e)?22?0,f(e3)?3?e2?22?6?e2?0,由连续函数的零点定理知方程f(x)?0即lnx??x??1?cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根. e011另一方面, f?(x)??在区间(e,e3)内恒小于零,有方程f(x)?0,即

xe?xlnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至多有一实数根.

e0?x综上所述, 方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根.

e055.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A最大,求腰长x和它对底边的倾斜角?.

解: 梯形截面的下底长为24?2x,上底长为

24?2x?2xcos?,高为xsin?,所以截面面积为

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?, 2?(0?x?12,0???)

222x ?

24?2x

即A?24xsin??2xsin??xsin?cos?,

??A?24sin??4xsin??2xsin?cos??0?x?8???x?令?得唯一驻点??.

?A?????24xcos??2x2cos??x2(cos2??sin2?)?03?????根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在D:0?x?12,0???函数在D内只有一个可能的最值点,因此可以断定x?8,??

得分 评卷人 ?内取得,又2?时,截面的面积最大. 3五、证明题（6分）

?x356. 证明方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根.

e0?xf(x)?lnx??1?cos2xdx, 证明：构造函数 ?0e?xx3即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e]0ee 第 15 页 共 15 页

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