《混凝土结构设计原理》1～3章课后习题参考答案

第一章

1-1 配置在混凝土截面受拉区钢筋的作用是什么？

答：当荷载超过了素混凝土的梁的破坏荷载

时，受拉区混凝土开裂，此时，受拉区混凝土虽

退出工作，但配置在受拉区的钢筋将承担几乎全

部的拉力，能继续承担荷载，直到受拉钢筋的应

力达到屈服强度，继而截面受压区的混凝土也被

压碎破坏。

1-2 试解释一下名词：混凝土立方体抗压强度；混凝土轴心抗压强度；混凝土抗拉强度；混凝土劈裂抗拉强度。

答：混凝土立方体抗压强度：我国国家标准《普通混凝土力学性能试验方法标准》（GB/T 50081-2002）规定以每边边长为150mm 的立方体为标准试件，在20℃±2℃的温度和相对湿度在95%以上的潮湿空气中养护28d ，依照标准制作方法和试验方法测得的抗压强度值（以MPa 为单位）

作为混凝土的立方体抗压强度，用符号cu

f 表

示。

混凝土轴心抗压强度：我国国家标准《普通混凝土力学性能试验方法标准》（GB/T 50081-2002）规定以150mm ×150mm ×300mm 的棱柱体为标准试件，在20℃±2℃的温度和相对湿

度在95%以上的潮湿空气中养护28d ，依照标准

制作方法和试验方法测得的抗压强度值（以MPa

为单位）称为混凝土轴心抗压强度，用符号c

f 表

示。

混凝土劈裂抗拉强度：我国交通部部颁标准《公路工程水泥混凝土试验规程》（JTJ 053-94）规定，采用150mm 立方体作为标准试件进行混凝土劈裂抗拉强度测定，按照规定的试验方法操

作，则混凝土劈裂抗拉强度

ts

f 按下式计算：

20.637ts F F

f A =

=πA 。

混凝土抗拉强度：采用100×100×500mm 混凝土棱柱体轴心受拉试验，破坏时试件在没有钢筋的中部截面被拉断，其平均拉应力即为混凝土

的轴心抗拉强度，目前国内外常采用立方体或圆柱体的劈裂试验测得的混凝土劈裂抗拉强度值换算成轴心抗拉强度，换算时应乘以换算系数

0.9，即

0.9t ts

f f =。

1-3 混凝土轴心受压的应力—应变曲线有何特

点？影响混凝土轴心受压应力—应变曲线有哪

几个因素？

答：完整的混凝土轴心受拉曲线由上升段

OC 、下降段CD 和收敛段DE 三个阶段组成。

上升段：当压应力

0.3c f σ<左右时，应力—

—应变关系接近直线变化（OA 段），混凝土处于

弹性阶段工作。在压应力

0.3c f σ≥后，随着

压应力的增大，应力——应变关系愈来愈偏离直线，任一点的应变

ε

可分为弹性应变和塑性应变

两部分，原有的混凝土内部微裂缝发展，并在孔隙等薄弱处产生新的个别裂缝。当应力达到

0.8

c

f （B 点）左右后，混凝土塑性变形显著增

大，内部裂缝不断延伸拓展，并有几条贯通，应

力——应变曲线斜率急剧减小，如果不继续加

载，裂缝也会发展，即内部裂缝处于非稳定发展

阶段。当应力达到最大应力

c f σ=时（C 点）

，

应力应变曲线的斜率已接近于水平，试件表面出

现不连续的可见裂缝。

下降段：到达峰值应力点C 后，混凝土的强

度并不完全消失，随着应力

σ

的减小（卸载），

应变仍然增加，曲线下降坡度较陡，混凝土表面裂缝逐渐贯通。

收敛段：在反弯点D 点之后，应力下降的速率减慢，趋于残余应力。表面纵缝把混凝土棱柱体分为若干个小柱，外载力由裂缝处的摩擦咬合力及小柱体的残余强度所承受。

影响混凝土轴心受压应力应变曲线的主要因素：混凝土强度、应变速率、测试技术和试验条件。

1-4 什么叫混凝土的徐变？影响徐变有哪些主要原因？

答：在荷载的长期作用下，混凝土的变形将

随时间而增加，亦即在应力不变的情况下，混凝土的应变随时间继续增长，这种现象称为混凝土的徐变。

主要影响因素：

（1）混凝土在长期荷载作用下产生的应力

大小；

（2）加荷时混凝土的龄期； （3）混凝土的组成成分和配合比； （4）养护及使用条件下的温度与湿度。 1-5 混凝土的徐变和收缩变形都是随时间而增

长的变形，两者有和不同之处？

答：徐变变形是在持久作用下混凝土结构

随时间推移而增加的应变；收缩变形是混凝土在凝结和硬化的物理化学过程中体积随时间推移而减小的现象，是一种不受力情况下的自由变形。

1-7 什么是钢筋和混凝土之间粘结应力和粘结强度？为保证钢筋和混凝土之间有足够的粘结力要采取哪些措施？

答：（1）粘结应力：变形差（相对滑移）

沿钢筋与混凝土接触面上产生的剪应力；

（2）粘结强度：实际工程中，通常以拔

出试验中粘结失效（钢筋被拔出，或者混凝土被

劈裂）时的最大平均粘结应力作为钢筋和混凝土的粘结强度；

（3）主要措施：①光圆钢筋及变形钢筋

的粘结强度均随混凝土等级的提高而提高，所以可以通过提高混凝土强度等级来增加粘结力；②水平位置钢筋比竖位钢筋的粘结强度低，所以可通过调整钢筋布置来增强粘结力；③多根钢筋并排时，可调整钢筋之间的净距来增强粘结力；④增大混凝土保护层厚度⑤采用带肋钢筋。

第二章

2-1 桥梁结构的功能包括哪几方面的内容？何谓结构的可靠性？

答：①桥梁结构的功能由其使用要求决定的，具体有如下四个方面：

（1）桥梁结构应能承受在正常施工和正常使用期间可能出现的各种荷载、外加变形、约束变形等的作用；

（2）桥梁结构在正常使用条件下具有良好的工作性能，例如，不发生影响正常使用的过大变形和局部损坏；

（3）桥梁结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的时间内，具有足够的耐久性，例如，不出现过大的裂缝宽度，不发生由于混凝土保护层碳化导致钢筋的修饰；

（4）在偶然荷载（如地震、强风）作用下或偶然事件（如爆炸）发生时和发生后，桥梁结构仍能保持整体稳定性，不发生倒塌。

②结构的可靠性：指结构的安全性、适用性和耐久性。

2-2 结构的设计基准期和使用寿命有何区别？

答：设计基准期是指对结构进行可靠度分析时，结合结构使用期，考虑各种基本变量与时间的关系所取用的基准时间参数，设计基准期可参考结构使用寿命的要求适当选定，但二者不完全等同。当结构的使用年限超过设计基准期，表面它的失效概率可能会增大，不能保证其目标可靠指标，但不等于结构丧失了所要求的基本功能甚至报废。一般来说，使用寿命长，设计基准期也可以长一些，使用寿命短，设计基准期应短一些。通常设计基准期应该小于寿命期。

2-3 什么叫极限状态？我国《公路桥规》规定了哪两类结构的极限状态？

答：①极限状态

当整个结构或结构的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时，此特定状态成为该功能的极限状态。

②承载能力极限状态和正常使用极限状态。2-4 试解释一下名词：作用、直接作用、间接作用、抗力。

作用：是指使结构产生内力、变形、应力和应变的所有原因；

直接作用：是指施加在结构上的集中力和分布力；

间接作用：是指引起结构外加变形和约束变形的原因；

抗力：是指结构构件承受内力和变形的能力。2-5我国《公路桥规》规定了结构设计哪三种状

况？

答：持久状况、短暂状况和偶然状况。

2-6结构承载能力极限状态和正常使用极限状态

设计计算原则是什么？

我国《公路桥规》采用的是近似概率极限状

态设计法。

①承载能力极限状态的计算以塑性理论为

基础，设计的原则是作用效应最不利组合（基本

组合）的设计值必须小于或等于结构抗力设计

值，即0d

S R

γ≤。

②正常使用状态是以结构弹性理论或弹塑

性理论为基础，采用作用（或荷载）的短期效应

组合、长期效应组合或短期效应组合并考虑长期

效应组合的影响，对构建的抗裂、裂缝宽度和挠

度进行验算，并使各项计算值不超过《公路桥规》

规定的各相应限值。设计表达式为1

S C

≤.

2-7什么叫材料强度的标准值和设计值？

①材料强度标准值：是由标准试件按标准试

验方法经数理统计以概率分布的0.05分位值确

定强度值，即取值原则是在符合规定质量的材料

强度实测值的总体中，材料的强度的标准值应具

有不小于95%的保证率。

②材料强度设计值：是材料强度标准值除以

材料性能分项系数后的值。

2-8作用分为几类？什么叫作用的标准值，可变

作用的准永久值可变作用的频遇值？

答：作用分为永久作用（恒载）、可变作用

和偶然作用三类；

作用的标准值：是结构和结构构件设计时，

采用的各种作用的基本代表值。

可变作用的准永久值：指在设计基准期间，

可变作用超越的总时间约为设计基准期一半的

作用值。

可变作用频遇值：在设计基准期间，可变作

用超越的总时间为规定的较小比率或超越次数

为规定次数的作用。它是指结构上较频繁出现的

且量值较大的荷载作用取值。

2-9钢筋混凝土梁的支点截面处，结构重力产生

的剪力标准值187.01

Gk

V kN

=；汽车荷载

产生的剪力标准值1261.76

Q k

V kN

=；冲

击系数(1) 1.19

μ

+=；人群荷载产生的剪

力标准值257.2

Q k

V kN

=；温度梯度作用

产生的剪力标准值341.5

Q k

V kN

=，参照

例题2-3，试进行正常使用极限状态设计时的作

用效应组合计算。

解：①作用短期效应组合

汽车荷载不计冲击系数的汽车荷载剪力标

准值为：

1

1

'261.76/1.19219.97

1

Q k

Q k

V

V

μ

===

+

1

11

187.010.7

m n

sd Gik j Qjk

i j

S S S

φ

==

=+?=+

∑∑

=431.39kN

①作用长期效应组合

2

11

187.010.4

m n

ld Gik j Qjk

i j

S S S

φ

==

=+?=+

∑∑

=331.08kN

第三章

3.1、试比较图3-4和3-5，说明钢筋混凝土板和

钢筋混凝土梁钢筋布置的特点。

答：

板：单向板内主钢筋沿板的跨度方向布置在

板的受拉区，钢筋数量由计算决定。受力主钢筋

的直径不宜小于10mm（行车道板）或8mm（人行

道板）。近梁肋处的板内主钢筋，可沿板高中心

纵轴线的（1/4～1/6）计算跨径处按（30°～

45°）弯起，但通过支承而不弯起的主钢筋，每

米板宽内不应少于3根，并不少于主钢筋截面积

的1/4。

在简支板的跨中和连续梁的支点处，板内主

钢筋间距不大于200mm。

行车道板受力钢筋的最小混凝土保护层厚

度c应不小于钢筋的公称直径且同时满足附表

1-8的要求。

在板内应设置垂直于板受力钢筋的分布钢筋，分布钢筋是在主筋上按一定间距设置的横向钢筋，属于构造配置钢筋，即其数量不通过计算，而是按照设计规范规定选择的。

梁：梁内的钢筋常常采用骨架形式，一般分为绑扎钢筋骨架和焊接钢筋骨架两种形式。

梁内纵向受拉钢筋的数量由数量决定。可选择的钢筋数量直径一般为（12～32）mm ，通常不得超过40mm 。在同一根梁内主钢筋宜用相同直径的钢筋，当采用两种以上直径的钢筋时，为了便于施工识别，直径间应相差2mm 以上。 3-2什么叫受弯构件纵向受拉钢筋的配筋率？配

筋率的表达式中，

h 含义是什么？

答： 配筋率是指所配置的钢筋截面面积与

规定的混凝土截面面积的比值（化为百分数表

达）。

h 是指截面的有效高度。 3-3为什么钢筋要有足够的混凝土保护层厚度？钢筋的最小混凝土保护层厚度的选择应考虑哪些因素？

答：设置保护层是为了保护钢筋不直接受到大气的侵蚀和其他环境因素的作用，也是为了保证钢筋和混凝土有良好的粘结。

影响因素：环境类别、构件形式、钢筋布置。

3-4、参照图3-7，试说明规定各主钢筋横向净距和层与层之间的竖向净距的原因。

答：1）为了保证钢筋与混凝土之间的握裹力，增强两者的粘结力；2）保证钢筋之间有一定间隙浇注混凝土；3）方便钢筋的布置。 3-5钢筋混凝土适筋梁正截面受力全过程可划分为几个阶段？各阶段受力主要特点是什么？

答：第Ⅰ阶段：混凝土全截面工作，混凝土的压应力和拉应力基本上都呈三角形分布。 第Ⅰ阶段末：混凝土受压区的应力基本上仍是三角形分布。但由于受拉区混凝土塑性变形的发展，拉应变增长较快，根据混凝土受拉时的应力—应变图曲线，拉区混凝土的应力图形为曲线形。这时，受拉边缘混凝土的拉应变临近极限拉

应变，拉应力达到混凝土抗拉强度，表示裂缝即将出现，梁截面上作用的弯矩用cr M 表示。

第Ⅱ阶段：荷载作用弯矩到达

cr

M 后，在

梁混凝土抗拉强度最弱截面上出现了第一批裂缝。这时，在有裂缝的截面上，拉区混凝土退出工作，把它原承担的拉力传递给钢筋，发生了明显的应力重分布，钢筋的拉应力随荷载的增加而增加；混凝土的压应力不再是三角形分布，而是形成微曲的曲线形，中和轴位置向上移动。 第Ⅱ阶段末：钢筋拉应变达到屈服值时的应变值，表示钢筋应力达到其屈服强度，第Ⅱ阶段结束。

第Ⅲ阶段：在这个阶段里，钢筋的拉应变增加的很快，但钢筋的拉应力一般仍维持在屈服强

度不变。这时，裂缝急剧开展，中和轴继续上升，

混凝土受压区不断缩小，压应力也不断增大，压

应力图成为明显的丰满曲线形。

第Ⅲ阶段末：这时，截面受压上边缘的混凝土压应变达到其极限压应变值，压应力图呈明显曲线形，并且最大压应力已不在上边缘而是在距上边缘稍下处，这都是混凝土受压时的应力—应变图所决定的在第Ⅲ阶段末，压区混凝土的抗压强度耗尽，在临界裂缝两侧的一定区段内，压区混凝土出现纵向水平裂缝，随即混凝土被压碎，梁破坏，在这个阶段，纵向钢筋的拉应力仍维持在屈服强度。

3-6 什么叫钢筋混凝土少筋梁、适筋梁和超筋梁？各自有什么样的破坏形态？为什么吧少筋梁和超筋梁都成为脆性破坏？

答：实际配筋率小于最小配筋率的梁称为少筋梁；大于最小配筋率且小于最大配筋率的梁称为适筋梁；大于最大配筋率的梁称为超筋梁。 少筋梁的受拉区混凝土开裂后，受拉钢筋达到屈服点，并迅速经历整个流幅而进入强化阶段，梁仅出现一条集中裂缝，不仅宽度较大，而且沿梁高延伸很高，此时受压区混凝土还未压坏，而裂缝宽度已经很宽，挠度过大，钢筋甚至被拉断。

适筋梁受拉区钢筋首先达到屈服，其应力保持不变而应变显著增大，直到受压区边缘混凝土的应变达到极限压应变时，受压区出现纵向

水平裂缝，随之因混凝土压碎而破坏。 超筋梁的破坏是受压区混凝土被压坏，而受拉区钢筋应力尚未达到屈服强度。破坏前的挠度及截面曲率曲线没有明显的转折点，受拉区的裂缝开展不宽，破坏突然，没有明显预兆。 少筋梁和超筋梁的破坏都很突然，没有明显预兆，故称为脆性破坏。

3-7钢筋混凝土适筋梁当受拉钢筋屈服后能否再增加荷载？为什么？少筋梁能否这样？ 答：适筋梁可以再增加荷载，因为当受拉区钢筋屈服后，钢筋退出工作，受压区混凝土开始受压，直到受压区边缘混凝土的应变达到极限压应变时，受压区出现纵向水平裂缝，随之因混凝土压碎而破坏，这时不能再增加荷载。 少筋梁裂缝出现在钢筋屈服前，此时构件已不再承受荷载，若继续增加荷载，迅速经历整个流幅而进入强化阶段，梁仅出现一条集中裂缝，不仅宽度较大，而且沿梁高延伸很高，此时受拉区混凝土还未压坏，而裂缝宽度已经很宽，挠度过大，钢筋甚至被拉断。 3-8

答：基本假定有：1）平截面假定 2）不考虑混凝土的抗拉强度 3）材料应力与物理关系

对于钢筋混凝土受弯构件，从开始加荷到破坏的各个阶段，截面的平均应变都能较好地符合平截面假定。对于混凝土的受压区来讲，平截面假定是正确的。而对于混凝土受压区，裂缝产生后，裂缝截面处钢筋和相邻的混凝土之间发生了某些相对滑移，因此，在裂缝附近区段，截面变形已不能完全符合平截面假定。

3-9 什么叫做钢筋混凝土受弯构件的截面相对受压区高度和相对界限受压区高度

b ξ？b ξ在

正截面承载力计算中起什么作用？b ξ取值与哪

些因素有关？

答：①相对受压区高度：相对受压区高度

0h x i

i =ξ，其中i x 为受压区高度，0h 为截面有效高度。

相对界限受压区高度：当钢筋混凝土梁受拉

区钢筋达到屈服应变y ξ而开始屈服时，受压区混凝土边缘也同时达到其极限压应

cu ξ变而破坏，此时受压区高度为0h x b b ξ=，b ξ被称为相对界限混凝土受压区高度。 ②作用：在正截面承载能力计算中通常用h x b

b =ξ来作为界限条件，来判断截面的破

坏类型，是始筋破坏还是少筋破坏。 ③相关因素：受拉区钢筋的抗拉强度值sd f ；受拉区钢筋的弹性模量s E ；混凝土极限压应变cu ξ以及无量纲参数β有关。 3-16

解：基本公式法：

查附表可得011.5, 1.23,280,0.56, 1.0cd td sd b f MPa f MPa f MPa ξγ=====，则弯矩计算值0 1.0145145d M M kN m γ==?=?。

采用绑扎钢筋骨架，按一层钢筋布置，假设40s

a mm =，则有效高度050040460s h h a mm =-=-=。 （1）求受压区高度x

有公式3-14得：611451011.5200(460)2

x x ??=?- 2115105800145000000x x -+=

102167.60.56460258,752.4()b x mm h x mm ξ=<=?==舍

（2）求所需钢筋数s A

211.5200167.61377280cd s sd f bx A mm f ??=

== 钢筋布置可选4φ22（

21520s A mm =）或者2φ22+2φ20（21388s A mm =） 混凝土保护层厚度3022c mm d mm =>=，且满足附表要求 25.13042.62

s a mm =+=，取45mm 最小配筋率计算：45(/)45(1.23/280)0.2td sd f f ==，所以配筋率不应小于0.2%，实际配筋率01388 1.5%200455

s A bh ρ===? 查表法：

查附表可得011.5, 1.23,280,0.56, 1.0cd td sd b f MPa f MPa f MPa ξγ===== 假设40s a mm =，则有效高度050040460s h h a mm =-=-=。

6

0220 1.0145100.29811.5200460

cd M A f bh ??===??,查附表1-5得00.37,0.815b ξξζ=<= 20014500000013810.815280460s sd M A mm f h ζ===??

3-17

解：

查附表可得9.2, 1.06,280cd td sd f MPa f MPa f MPa ===。

最小配筋率计算：45(/)45(1.06/280)0.17td

sd f f ==，故取min 0.2%ρ= 由配筋图计算得混凝土保护层厚度：

/24018.4/230.816s c a d mm d mm =-=-=>= 钢筋净距20030.82318.441.62

n S mm -?-?=

=，满足 实际配筋率：6030.74%200410ρ==?，满足 求受压区高度：028060391.80.564102309.2200

sd s b cd f A x mm h mm f b ξ?===<=?=? 抗弯承载能力

091.8()9.220091.8(410)226150085961.5u cd x M f bx h N mm kN m M

=-=???-=?=?<

不满足承载能力要求。

3-18

解：

查附表可得011.5, 1.23,280,0.56, 1.0cd td sd b f MPa f MPa f MPa ξγ=====。

弯矩计算值0 1.012.912.9d M

M kN m γ==?-=-?，上侧受拉。 取1m 宽来进行截面配筋，即b=1000mm

采用绑扎钢筋骨架，按一层钢筋布置，假设25s

a mm =，则有效高度014025115s h h a mm =-=-=。 （1）求受压区高度x

有公式3-14得：6112.91011.51000(115)2

x x ??=?- 211.52645258000x x -+=

10210.20.5610056,219.8()b x mm h x mm ξ=<=?==舍

（2）求所需钢筋数s A

211.5100010.2419280

cd s sd f bx A mm f ??=== 钢筋布置可选4φ12（

2452s A mm =），或者6φ10（2471s A mm =），钢筋布置在受拉一侧，即上缘。 混凝土保护层厚度3012c mm d mm =>=，且满足附表要求

13.925322s a mm =+=，取35mm

最小配筋率计算：45(/)45(1.23/280)0.2td sd f f ==，所以配筋率不应小于0.2%，实际配筋率04520.45%1000100

s A bh ρ=

==?, 第三章 3-19

解：

查附表可得09.2, 1.06,'280,0.56, 1.0cd td sd sd b f MPa f MPa f f MPa ξγ======，则弯矩计算值0 1.1190209d M M kN m γ==?=?。

设'35s a mm =，受拉钢筋按两层钢筋布置，假设65s a mm =，则有效高度050065435s h h a mm =-=-=。 取0.56b ξξ==

26200(10.5)209109.22004350.56(10.50.56)'612.6'(')280(43535)

cd s sd s M f bh A mm f h a ξξ--?-???-?===-?-2''9.2200(4350.56)280612.62213.4280cd sd s s sd f bx f A A mm f +???+?=

==

3-21

解：内梁

1.简支梁计算跨径的1/3，即0

/324200/38067l mm ==。 2.取相邻两梁平均间距2200mm 3. 60,1100,1/3h h h

h h b h mm b mm ==< 612'160660121502320h f b h h mm ++=+?+?=，满足

'f b 取三个中的最小值，即2200mm

不满足承载能力要求。

边梁

2200160150601506'6226022222

f

f b b h mm ++++=++?=，又外侧悬臂板实际宽度为2200mm ，所以边梁有效宽度为2200mm 3-22 受压区高度在翼板厚度内，即'f x h ≤，为第一类T 形截面，受压区已进入梁肋，即'f x h >，为第二类T 形截面

第一类T 形截面，中和轴在受压翼板内，受压区高度

'f x h ≤。此时，截面虽为T 形，但受压区形状为宽'f b 的矩形，而受拉截面形状与截面抗弯承载能力无关，故以宽度为'f

b 的矩形来进行抗弯承载力计算。 3-23

解：

查附表可得011.5, 1.23,280,0.56, 1.0cd td sd b f MPa f MPa f MPa ξγ=====。

弯矩计算值0 1.011871187d M

M kN m γ==?=? 保护层厚度22.74230.7302

c mm mm =-

=>，且大于钢筋直径d 钢筋净距35030.72622.730.5305

n S mm mm -?-?==>，且大于直径d 429568.52s a mm +==，则0135068.51281.5h mm =-= T 形截面有效宽度：

1.计算跨径的1/3: 012600/342003

l mm == 2.相邻两梁的平均间距为2100mm

3.612'350640*********h f b h h mm ++=+?+?= 所以T 梁截面有效宽度'1790f

b mm =，厚度100140'1202

f h mm +== （1）判断T 形截面类型： ''11.51790120 2.47cd f f f b h kN m =??=?。

28018842 1.06sd s f A kN m =??=?

为第一类T 形截面

（2）求受压区高度x

2801884251.3''11.51790

sd s f cd f f A x mm h f b ??===

051.3'()11.5179051.3(1281.5)1326.222

u cd f x M f b x h kN m M =-=???-=?> 满足承载能力要求。

3-24

先将空心板的圆孔换算成k

k b h ?的矩形孔 面积相等：223803808014375444k k b h d ab π

π

=+=?+?= 惯性矩相等：31231422

22212195222624912

1380801621333312

22()(40)9680064581283838

k k b h I I I d d d d d I πππππ=+==??==-++= 解得：404356k k h mm

b mm ==

故上翼板厚度'3009812

k f h h mm =-

= 下翼板厚度300982k f h h mm =-= 腹板厚度29902356278f k b b b mm =-=-?=

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pb6l.html