平面与平面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定与性质

一、选择题

1．平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（） A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A、B、C、D四点共面

2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 3．平面α∥平面β，直线aìα，P∈β，则过点P的直线中（） A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线 C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线 4．下列命题中为真命题的是（） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行

C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d，lìα，l′ìβ,则l与l′之间的距离的取值范围为（）

A．（d，∞） B．（d，＋∞） C．{d} D．（0，∞）

6．已知直线a、b、cìα，且a∥β、b∥β、c∥β，则“a、b、c到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 7．给出以下命题：

①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；

③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；

④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d

其中假命题共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．设α∥β，P∈α，Q∈β当P、Q分别在平面α、β内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 A．不共面

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B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面

C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 二、填空题

AB?23d3，则直线

9．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A与β相交于B，若a与α所成的角＝___________．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 10．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为__________．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 11．已知点A、B到平面α的距离分别为d与3d，则A、B的中点到平面α的距离为________． 12．已知平面α内存在着n个点，它们任何三点不共线，若“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为_________．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 三、解答题

13．已知平面α∥平面β直线a∥α，a?β，求证：a∥β．

AECF＝EBFD，14．如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AＢ、CD上，且

求证：EF∥平面β．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

15．P是△AＢC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PＢC、△PCA、△PAＢ的重心， （1）求证：平面A′Ｂ′C′∥平面AＢC；

（2）求S△A′Ｂ′C′∶S△AＢC．

16．如图已知平面α∥平面β，线段AＢ分别交α、β于M、N，线段AD分别交α、β于C、D，线段ＢF分别交α，β于F、E，若AM＝m，ＢN＝n，MN＝P，求△END与△FMC的面积之比．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 2 / 5

17．如图，已知：平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，AC与ＢD为异面直线，AC＝6，ＢD＝8，AＢ＝CD＝10，AＢ与CD成60°的角，求AC与ＢD所成的角．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

参考答案 一、选择题

1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 二、填空题

9．60° 10．12 11．d或2d 12．5 三、解答题

13．证明：取平面α内一定点A，则直线a与点A确定平面g，设g∩α＝b，g∩β＝c， 则由a∥α得a∥b，由α∥β得b∥c，于是a∥c． 又∵a?β，∴a∥β．

14．证明：（1）若直线AB和CD共面，

∵α∥β，平面ABDC与α、β分别交于AC、BC两直线，

AECF∴AC∥BD．又∵EB＝FD，

∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β．

AECG（2）若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G，使得EB＝GB，则在△BAC中，EG∥AC，ACì

平面α，鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 ∴EG∥α．又∵α∥β，

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∴EG∥β；同理可得：GF∥BD，而BDìβ， 又∵GF∥β．∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β， 又∵EFì平面EGF，∴EF∥β． 综合（1）（2）得EF∥β．

15．证明：（1）连接PA′、PB′、PC′，分别交BC、CA、AB于K、G、H，连接GH、KG、HK．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 ∵B′、C′均为相应三角形的重心，

PB?PC?2∴G、H分别为AC、AB的中点，且PG＝PH＝3，

∴B′C′∥GH，同理A′B′∥KG，A′B′∩B′C′＝B′且GH∩KG＝G， 从而平面A′B′C′∥平面ABC． （2）由（1）知△A′B′C′∽△KGH，

S?A?B?C?B?C?24（）SGH?KGH∴＝＝9，

11又∵S△KGH＝4S△ABC，∴S△A′B′C′＝9S△ABC，

∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9．

16．证明：∵α∥β，平面AND分别交α，β于MC、ND，

∴由面面平行的性质定理知，MC∥ND，同理MF∥NE；又由等角定理：“一个角的两边分别平行于另一角

MCAMNEBN的两边且方向相同，则两角相等”知：∠END＝∠FMC，从而ND＝AN，MF＝BM，預頌圣鉉儐歲

龈讶骅籴。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 nANm＋pBN∴ND＝AM·MC＝m·MC，NE＝BM·MF＝n＋p·MF． 1∴S△END＝2ND·NE·sin∠END

n1m＋p＝2·m·n＋p·MC·MF·sin∠FMC

n（m＋p）＝m（n＋p）·S△FMC． S?ENDn（m＋p）∴S?FMC＝m（n＋p）．

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n（m＋p）即：△END与△FMC的面积之比为m（n＋p）．

∥AC，连结CE，则ABEC是平行四边形．∠DBE是AC与BD所成的角．∠DCE是17．由α∥β作BE＝AB、CD所成的角，故∠DCE＝60°．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 由AB＝CD＝10，知CE＝10，于是△CDE为等边三角形， ∴DE＝10．

又∵BE＝AC＝6，BD＝8， ∴∠DBE＝90°．

∴AC与BD所成的角为90°．

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