第3章 3.2.2 (整数值)随机数的产生 学案

(整数值)随机数的产生

3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生

【明目标、知重点】

1．了解随机数的意义．

2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．

3．理解用模拟方法估计概率的实质．

【填要点、记疑点】

1．随机数

要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3， ，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．

2．伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．

3．产生随机数的常用方法 ①用计算器产生，②用计算机产生，③抽签法．

【探要点、究所然】

[情境导学] 在第一节中，为了得到某一随机事件发生的概率，我们做了大量重复试验，有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了，那么，有没有其它方法可以代替试验呢？答案是肯定的，这就是我们将要学习的内容——(整数值)随机数的产生．

探究点一 随机数的产生

问题 通过大量重复试验，反复计算事件发生的频率，再由频率的稳定值估计概率，是十分费时的．对于实践中大量非古典概型的事件概率，又缺乏相关原理和公式求解．因此，我们设想通过计算机模拟试验解决这些矛盾.

思考1 我们要产生1～25之间的随机整数，可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3， ，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．这种产生随机数的方法我们称之为抽签法，除抽签法外，你还有其它办法吗(阅读教材130－131页)?

答 用计算器产生．具体操作方法见教材．

思考2 我们可以用0表示反面朝上，1表示正面朝上，利用计算器不断地产生0,1两个随机数，以代替抛硬币实验，说出用计算器产生0,1两个随机数的过程？

答 答案见教材．

思考3 我们也可以利用计算机产生随机数，而且可以直接统计出频数和频率，请阅读教材

(整数值)随机数的产生

相关内容，然后说出用计算机中的Excel软件产生随机数表中的数是0～9之间的随机数的过程？

答 用Excel演示：

(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,9)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；

(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的数均为随机产生的0～9之间的数，这样我们就很快就得到了100个0～9之间的随机数，相当于做了100次随机试验．

思考4 若抛掷一枚均匀的骰子30次，如果没有骰子，你有什么办法得到试验的结果？ 答 由计算器或计算机产生30个1～6之间的随机数．

思考5 一般地，如果一个古典概型的基本事件总数为n，在没有试验条件的情况下，你有什么办法进行m次实验，并得到相应的试验结果？

答 将n个基本事件编号为1,2， ，n，由计算器或计算机产生m个1～n之间的随机数． 例1 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？

思考1 试验的可能结果有哪些？

答 用“下”和“不”分别代表某天“下雨”和“不下雨”，试验的结果有(下，下，下)、(下，下，不)、(下，不，下)、(不，下，下)、(不，不，下)、(不，下，不)、(下，不，不)、(不，不，不)共计8个可能结果．

思考2 能不能用古典概型求概率的公式求三天中恰有两天下雨的概率？为什么？

答 不能，因为试验结果出现不是等可能的，不能用古典概型公式，只好采取随机模拟的方法求频率，近似看作概率．

思考3 如果采用随机模拟的方法，如何操作？

答 (1)设计概率模型

利用计算机(计算器)产生0～9之间的(整数值)随机数，约定用0、1、2、3表示下雨，4、5、6、7、8、9表示不下雨以体现下雨的概率是40%.模拟三天的下雨情况：连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果．

(2)进行模拟试验，例如产生30组随机数，这就相当于做了30次试验．

(3)统计试验结果在这组数中，如恰有两个数在0,1,2,3中，则表示三天中恰有两天下雨，统

nn计出这样的试验次数，则30次统计试验中恰有两天下雨的频率f＝，即概率大约是. 3030

反思与感悟 (1)随机模拟的方法得到的仅是30次试验中恰有2天下雨的频率或概率的近似值，而不是概率．

(2)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．

(整数值)随机数的产生

(3)随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．

跟踪训练1 试设计一个用计算器或计算机模拟掷骰子的实验，估计出现1点的概率． 解 (1)规定1表示出现1点，2表示出现2点， ，6表示出现6点；

(2)用计算器或计算机产生N个1至6之间的随机数；

(3)统计数字1的个数n，算出概率的近似值n/N.

探究点二 随机模拟方法

思考1 对于古典概型，我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果．这种用计算器或计算机模拟试验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．你认为这种方法的最大优点是什么？

答 不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．

思考2 用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，那么如何统计这100次试验中“出现正面朝上”的频数和频率？

答 除了计数统计外，我们也可以利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．

选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100，0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数． 选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率．

思考3 把先后抛掷两枚均匀的硬币作为一次试验，则一次试验中基本事件的总数为多少？若把这些基本事件数字化，可以怎样设置？

答 这一次试验中有4个基本事件：可以用0表示第一枚出现正面，第二枚出现反面，1表示第一枚出现反面，第二枚出现正面，2表示两枚都出现正面，3表示两枚都出现反面. 例2 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率．用随机模拟的方法估计上述概率．

解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组．例如5727,7895,0123， ，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100

反思与感悟 整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：

(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；

(整数值)随机数的产生

(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．

跟踪训练2 种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，随机模拟估计上述概率．

解 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组可产生30组随机数：

69801 66097 77124 22961

74235 31516 29747 24945

57558 65258 74130 23224

37445 44344 33315 27120

21782 58555 61017 45241

44134 92201 70362 83005

94976 56173 34783 16624

30344 01117

这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9

9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为＝30%. 30

【当堂测、查疑缺】

1．与大量重复试验相比，随机模拟方法的优点是

A．省时、省力

C．误差小

答案 A

2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于

A．产生的随机数的大小

B．产生的随机数的个数

C．随机数对应的结果

D．产生随机数的方法

答案 B

解析 随机数容量越大，实际数越接近概率，故选B.

3．一体育代表队有21名水平相当的运动员，现从中抽取11人参加某场比赛，其中甲运动员必须参加，试写出利用随机数抽取的过程．

解 法1：把20名运动员编号1,2,3， ，20(甲除外)．把这20个号码贴在标签上，充分摇匀后，从中依次抽取10个标签，这10个标签上的号码对应的运动员，就是要抽取参加比赛的运动员． ( ) B．能得概率的精确值 D．产生的随机数多 ( )

(整数值)随机数的产生

法2：把20名运动员编号(甲除外)，用计算机或计算器上的随机函数产生10个编号(如1～20号)内的整数随机数．这10个整数随机数对应的运动员就是参加比赛的运动员．

4．如果事件A在每次试验中发生的概率都相等，那么可以用随机模拟方法估计n次重复试验事件A恰好发生k次的概率．你能写出随机模拟的步骤吗？

解 (1)按事件A的概率确定表示各个结果的数字个数及总个数；

(2)利用计算机或计算器产生整数随机数，然后n个整数随机数作为一组分组，每组第1个数表示第1次试验，第2个数表示第2次试验， ，第n个数表示第n次试验．n个随机数作为一组共组成N组数．

(3)统计这N组中恰有k个数字在表示试验发生的数组中的组数m，则n次重复试验事件A

m恰好发生k次的概率为. N

【呈重点、现规律】

1．随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验．通过本节课的学习，我们要熟练掌握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型，(2)进行模拟试验，(3)统计试验结果．

2．计算器和计算机产生随机数的方法

用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．

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