江苏省启东市高中数学第一章三角函数第9课时1.3.1三角函数的周期

第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性

【教学目标】 一、知识与技能：

1.理解周期函数、最小正周期的定义；

二、过程与方法2.会求正、余弦函数的最小正周期。 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。

通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用三、情感态度价值观：

通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。 教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义 【教学过程】

一、创设情景，提出问题

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x ?2? ?3?2 ?? ??2 0 ?2 ? 3?2 2? 函数值sinx0 1 0 ?1 0 1 0 ?10 y1– ?5? ?2?

??

????

2?

5?x

2

O 2

?1–

正弦函数f(x)?sinx性质如下：

1

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k?（k?Z）时，总有f(x?2k?)?sin(x?2k?)?sinx?f(x)． 也即：（1）当自变量x增加2k?时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x，sin(x?2k?)?sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解： 1．周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数时，都有．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 【思考】

（1）对于函数y?sinx，x?R有sin(?6?2??2?)?sin，能否说是它的周期？ 363（2） 正弦函数y?sinx，x?R是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k?，k?Z且

k?0）

（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z也是f(x)的周期吗？为什么？ （是，其原因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?2．最小正周期的定义：

*?f(x?kT)）

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。 说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；

（2）从图象上可以看出y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f(x)?c没有最小正周期）

2

三、例题分析： 例1：求下列函数周期：

（1）y?3cosx，x?R； （2）y?sin2x，x?R； （3）y?2sin(x?

说明：（1）一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R（其中

12?6)，x?R．

A,?,? 为常数，且A?0，??0）的周期T?2??；

（2）若??0，例如：①y?3cos(?x)，x?R；

②y?sin(?2x)，x?R； ③y?2sin(?则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R的周期T?例2、求下列函数的周期：

1?x?)，x?R． 262?． |?| 3

（1）y?sin(

?3??xx)； （2）y?sin3x，x?R； （3）y?3sin，x?R； 24（4）y?sin(x?1??（5）y?cos(2x?)，x?R； （6）y?3sin(x?)，)，x?R；

10243?x?R．

（7）y?cos

例3、求下列函数的周期

（1）y?|sinx|，x?R （2）y?|cos2x|，x?R

（3）y?|tanx|，x?k??

四、课堂小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. y?Asin(?x??)型函数的周期的求法

五、作业： 课课练 作业本相关作业

xx，x?R；（8）y?cos+1 33?2,k?z （4）y?|sinx?1|，x?R 2 4

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