2013年高考文科数学全国（大纲卷）试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013大纲全国，文1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则UA＝( )．

A．{1,2} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．? 2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sinα＝( )．

512125?A．13 B．13 C．13 D．13

?5，则cosα＝133．(2013大纲全国，文3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

4．(2013大纲全国，文4)不等式|x2－2|＜2的解集是( )．

A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)

5．(2013大纲全国，文5)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )．

A．28 B．56 C．112 D．224

1?－11?6．(2013大纲全国，文6)函数f(x)＝log2?(x＞0)的反函数f(x)＝???x?( )．

11

2x?1(x＞0) B．2x?1(x≠0) C．A．2x－1(x∈R) D．2x

－1(x＞0)

7．(2013大纲全国，文7)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2??，则{an}的前10项和等于( )．

1A．－6(1－3－10) B．9(1－310) C．3(1－3－10)

43D．3(1＋3－10)

8．(2013大纲全国，文8)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )．

x2x2y2x2y2??1??123243A．＋y2＝1 B． C． x2y2??154D．

9．(2013大纲全国，文9)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．

1

A．5 B．4 C．3 D．2

10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )．

A．9 B．6 C．－9 D．－6

11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．

3221A．3 B．3 C．3 D．3

12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )．

21A．2 B．2 C．2 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013大纲全国，文13)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝______.

14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)

?x?0,?15．(2013大纲全国，文15)若x，y满足约束条件?x?3y?4,则z＝－x?3x?y?4,?＋y的最小值为______．

16．(2013大纲全国，文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.

(1)求{an}的通项公式； (2)设bn?

2

321，求数列{bn}的前n项和Sn. nan

18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝

3?1

4

，求C． 3

的C

19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求点A到平面PCD的距离．

20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．

12 4

21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.

(1)当a??2时，讨论f(x)的单调性；

(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

x2y222．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C：2?2?1(aab＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6. (1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

5

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B

解析：由题意得UA＝{3,4,5}．故选B． 2． 答案：A

5?12??解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝?1?sin???1??.故选A． ??13?13?223．

答案：B

解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝0. ∴|m|2－|n|2＝0，

即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B． 4．

答案：D 解析：|x2－2|＜2?－2＜x2－2＜2?0＜x2＜4?0＜|x|＜2?－2＜x＜0或0＜x＜2.故选D． 5．

答案：C

28－2

解析：T2＋1＝C8x·22＝112x6.故选C． 6．

答案：A

1?11y1?解析：由y＝f(x)＝log2??1＋＝2?x＝. ??y?x?x2?1∵x＞0，∴y＞0. ∴f－1(x)＝7．

答案：C

解析：∵3an＋1＋an＝0?an＋1＝?an， ∴{an}是以?为公比的等比数列． 又∵a2＝?，∴a1＝4.

4313131

(x＞0)．故选A． 2x?1

6

??1?10?4?1??????3?????＝3(1－3－10)．故选C． ∴S10＝

11?38． 答案：C

解析：如图，|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2， 由椭圆定义得 |AF1|＝2a－.①

3?2

在Rt△AF1F2中，|AF1|＝|AF2|＋|F1F2|＝???＋2.②

?2?x2y2222

由①②得a＝2，∴b＝a－c＝3.∴椭圆C的方程为??1，应选C．

432

2

2

12323229．

答案：B

解析：∵由题中图象可知x0＋－x0＝.∴T?.∴

π4T2π22π??π.∴ω＝4.故选2B． 10． 答案：D

解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D． 11． 答案：A

解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.

∵BD⊥AC，BD⊥AA1， ∴BD⊥平面ACC1A1. ∵CH?平面ACC1A1，

∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．

∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．

?2?322OC1＝CC1?OC?4??. ???2?2??2由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1， ∴

232?CH??2.∴CH＝.

3227

2CH32∴sin∠CDH＝??.故选A．

CD1312． 答案：D

解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得： k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

4k2?8∴x1＋x2＝2，

kx1x2＝4.(*)

∵MA·MB＝0，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0， 即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.

∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.① ∵??y1?k?x1?2?,∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)，②

?y2?k?x2?2?,y1·y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k＝2.故选D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：－1

解析：∵f(x)是以2为周期的函数，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2， 则f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1. 14．答案：60

2解析：分三步：第一步，一等奖有C16种可能的结果；第二步，二等奖有C5种

123可能的结果；第三步，三等奖有C33种可能的结果．故共有C6C5C3?60(种)可能的结果． 15．答案：0

解析：z＝－x＋y?y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z在y轴上的截距，截距越小，z就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin＝0.

16．答案：16π

解析：如图，设MN为公共弦，长度为R，E为MN中点，连结OE，EK，则OE⊥MN，KE⊥MN.

∴∠OEK为圆O与圆K所在平面的二面角． ∴∠OEK＝60°.

又△OMN为正三角形，∴OE＝

3R. 28

∵OK＝，且OK⊥KE， ∴OE·sin 60°＝.∴32333R??. 22232∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则 an＝a1＋(n－1)d. 因为??a7?4,

?a19?2a9,?a1?6d?4,所以?

a?18d?2?a?8d?.?111

解得a1＝1，d?.

2

所以{an}的通项公式为an?(2)因为bn?n?1. 2222??， n?n?1?nn?122??22?2?2n?2??????所以Sn??. ???????1223nn?1n?1??????18．

解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac， 所以a2＋c2－b2＝－ac.

a2?c2?b21??， 由余弦定理得cos B＝

2ac2因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°，

所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ＝cos(A＋C)＋2sin Asin C ＝+2?＝

3， 2123?1 4故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°.

19．

(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．

9

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 连结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点， 所以OE∥CD．因此PB⊥CD．

(2)解：取PD的中点F，连结OF，则OF∥PB． 由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD．

又OD＝BD＝2，OP＝PD2?OD2?2，

故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD． 又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD．

因为AE∥CD，CD?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD． 因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1， 所以A到平面PCD的距离为1. 20．

解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.

1212P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.

(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，

B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”． 则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2. P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2) ＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2) ＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)

11485＝. 814＝??

1421．

解：(1)当a??2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－62x＋3.

10

令f′(x)＝0，得x1?2?1，x2?2?1.

当x∈(－∞，2?1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2?1)是增函数； 当x∈(2?1，2?1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2?1，2?1)是减函数； 当x∈(2?1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2?1，＋∞)是增函数． (2)由f(2)≥0得a??. 当a??，x∈(2，＋∞)时，

51???2x?x?x?1f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3?＝3????(x－2)＞0，

?2??2?5454所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.

??,??综上，a的取值范围是?. ???5?422．

a2?b2c(1)解：由题设知?3，即2?9，故b2＝8a2.

aa所以C的方程为8x2－y2＝8a2. 将y＝2代入上式，并求得x??a2?. 由题设知，2a2??6，解得a2＝1.

所以a＝1，b?22.

(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①

由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<22，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

6k29k2?8x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x1·x2＝2.

k?8k?81212于是|AF1|＝?x1?3?2?y12 ＝?x1?3?2?8x12?8 ＝－(3x1＋1)，

|BF1|＝?x2?3?2?y22

＝?x2?3?2?8x22?8 ＝3x2＋1.

由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1， 即x1＋x2＝?.

6k22故2??， k?83

11

23

解得k2?4，从而x1951·x2＝?9. 由于|AF2|＝?x1?3?2?y21 ＝?x1?3?2?8x21?8 ＝1－3x1，

|BF2|＝?x2?3?2?y22

＝?x22?3??8x22?8 ＝3x2－1，

故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.

因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，

12

BF2|成等比数列．|

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