2011年甘肃省兰州市中考数学试卷及答案

2011年甘肃兰州市初中毕业生学业考试数学试卷

注意事项：

1.全卷共150分，考试时间120分钟.

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置. 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.

一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是 A. x

2

1

0 B.ax2 bx c 0 2x

C. (x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0

2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为 A. y

2211 B.y C. y D.y x2xx2x

3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于

A. 20° B.30° C. 40° D.50°

4.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC B 则tanB 的值为 A.

111 B. C.

2342

5.抛物线y x 2x 1的顶点坐标是

A. （1,0） B.（-1,0） C. （-2,1） D.(2,-1)

6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是

7.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是

A. m=3，n=5 B.m=n=4 C. m+n=4 D.m+n=8 8.点M（-sin60°，con60°）关于x轴对称的点的坐标是

A.

（

1111，） B.

（ ， ） C.

（ ，） D.（

， ） 22222222

9.如图所示的二次函数y ax2 bx c的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b 4ac＞0；（2）c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你认为其中错误的有 A. 2个 B.3个 C. 4个 D.1个

2

10.用配方法解方程x x 5 0时，原方程应变形为

A. (x 1)2 6 B.(x 2)2 9 C. (x 1)2 6 D.(x 2)2 9

11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，

如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为

A. x(x 1) 2070 B.x(x 1) 2070

2

C. 2x(x 1) 2070 D.

x(x 1)

2070 2

12.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O的半径为 A. 6 B.13

D.

13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形. 其中真命题的个数是

A. 1 B.2 C. 3 D.4

14.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

k2 2k 1

15.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C在反比例函数y

x

的图像上.若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为 A. 1 B.-3 C. 4 D.1或-3

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16.如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=度.

17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1

i=1:1，则两个坡角的和为 . 18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）

19.关于x的方程a(x m) b 0的解是x1 2，x2 1（a，m，b均为常数，a≠0）.则方程a(x m 2) b 0的解是 .

20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .

2

2

三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a是锐角，且sin（a+15°）

.

4cosα ( 3.14)+tanα+()的值.

13

1

22.（本小题满分7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.

现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将

A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）.记s=x+y. （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；

（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？

23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题： （1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？

（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；

（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？

（4）请根据以上结论谈谈你的看法.

24.（本小题满分7分）如图，一次函数y kx 3的图像与反比例函数y

m

（x＞0）的图像交与点P，PA⊥x轴x

OC1

=. CA2

于点A，PB⊥y轴于点B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、点D，且S DBP=27，(1)求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；

（3）根据图像写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C. （1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、

CD.

(2)请在（1）的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C 、D ；

②⊙D的半径= （结果保留根号）；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为（结果保留π）； ④若E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.

26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=

BC

.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： AB

（1）sad60°= .

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.

35

27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE. （1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE AC AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由

.

22

28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系x0y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y ax2 bx c经过点A、B和D（4，

2）. 3

（1）求抛物线的表达式.

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=PQ2(cm). ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取

2

5

时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出4

R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

兰州市2011年中考数学（A）评分标准及参考答案

本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准。 说明：

1．在阅卷过程中，如考生还有其它正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．

2．坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．

3．解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数． 一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16．63 17．75° 18. 19． x1= -4,x2= -1 20．

三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分） 解：∵sin60°= ∴α+15°=60°

∴α=45° 2分

∴－4cosα—(－3.14)0+tanα+=2—4×—1+1+3=3 7分

每算对一个给1分，最后结果得1分 22．（本题满分7分） 解：（1）列表：

分

2）∵P（甲获胜）=

分

P∴

（乙获胜）= 6分

这个游戏不公平，对乙有

利。 7分 23．（本题满分7分）

解：（1）

∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是 2分

（2）720×(1)12020=400(人) ∴“没时间”锻炼的人数是400 4分

（计算和作图各得1分 ）

（3）2.4×(1-)=1.8(万人) ∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时

约有1.8万人. 6分 （4）说明:内容健康，能符合题意即可. 7分 24．（本题满分7分） 解：（1）根据题意，得：

1分

（2）在△和△中，

,

∴ 2分

∵

∴

△中，∵

∴ 3分

4分

一次函数的解析式为： 5分

反比例函数解析式为： 6分

（3）如图可得： 7分

25.（本题满分9分）

解：（1）①建立平面直角坐标系 1分 ②找出圆心 3分 （2）①C（6，2）；D（2，0） 5分 每个点的坐标得1分

②2 6分 ③ 7分 ④直线EC与⊙D相切 8分 证CD2＋CE2＝DE2＝25 （或通过相似证明）

得∠DCE＝90° 9分 ∴直线EC与⊙D相切 26．（本题满分9分）

（1）1 2分 （2）(3) 解：

4分

如图，在△ABC中，∠ACB=在AB上取点D，使AD=AC，

，sin∠A.

作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，

则AD= AC==4k， 6分

又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.

∴，.

则在△CDH中，，. 8分

于是在△ACD中，AD= AC=4k，.

由正对定义可得：sadA= 9分

27．（本题满分12分）

解: （1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO

∵AD∥BC

∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO ∴△AOE≌△COF ∴AE＝CF，又AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形 2分 ∵AC⊥EF

∴四边形AECF是菱形 4分 （2）∵四边形AECF是菱形 ∴AF＝AE＝10cm 设AB＝ａ，BF＝ｂ， ∵△ABF的面积为24cm2

a＋b＝100，ab＝48 6分

(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去） 7分 △ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24cm 8分 （3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点 9分 证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP ∴△AOE∽△AEP

∴

∴ AE＝AO·AP 11分 ∵四边形AECF是菱形，

∴AO＝AC

∴AE＝AC·AP

∴2AE=AC·AP 12分 28．（本题满分12分）

解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为: 个得1分）

3分（三个系数中，每对1

(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) 5分 （解析式和t取值范围各1分）

②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.

∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,

解得 t = ，t = （不合题意，舍去） 7分

此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—若R点存在，分情况讨论:

）

1O假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—

即R (3, －)，代入, 左右两边相等，

∴这时存在R(3, －)满足题意. 8分

2O假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入

, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 9分

3O假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,

左右不相等, ∴R不在抛物线上. 10分

综上所述, 存在一点R(3, －)满足题意.

（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—） 12分

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