坐标变换总结Clark变换和Park变换

一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。

由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。

解决的思路与基本分析：

1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为?1的旋转磁场。

又知，取空间上互相垂直的（?，?）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。 此时的电机数学模型有所简化。 2. 还知, 直流电机的磁链关系为： F---励磁绕组

轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。 A---电枢绕组

轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。

由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。换言之，主磁通唯一地由励磁电流决定，由此建立的直流电机的数学模型十分简化。

如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。

电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。

关于旋转磁动势的认识：

1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是：

除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。

根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC——??(3-2)变换的思路。

2) 进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂直的绕组M，T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生??——dq(2-2)变换。

矢量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。

以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示 三相交流绕组 空间互差120，通以时间上互差120的三相平衡交流电 两相交流绕组 空间互差90，通以时间上互差90的两相平衡交流电 整体旋转直流绕组 空间互差90，分别通以直流电流，且整个铁心以同步速度旋转（即磁动势与坐标系一起旋转）

所谓坐标变换的方法就是用一组新的变量来代替原方程中的一组变量，使得原方程（数学模型）得以简化（弱化强耦合或解耦）。

1．变换原则---功率不变约束条件 设电压方程为 u=Zi

新定义的变量为

u'、i'

设电压变换矩阵为Cu，电流变换矩阵为Ci，则变换前后的电压和电流关系式为

u?Cuu' i?Cii'

假设变换前后功率不变，即

P?iTu P'?i'Tu' P?P' iTu?i'Tu'

经代入整理后，有 CiTCu?E

为简化变换阵，一般取 Cu?Ci?C 代入上式，则有 CC?E

TCT?C?1

式中，C为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。

满足上述功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统一变换关系。 2．(3s/2s变换) 三相静止轴系A-B-C到两相静止轴系???的变换 为便于分析，取三相绕组匝数相等：

NA?NB?NC?N3

并取两相绕组匝数也相等， N??N??N2

可得到，两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式：

N?i??NAiA?NBiBcos120??NCiCcos240?N?i??0?NBiBsin120??NCiCsin240?

从而找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，

?i??N?1cos120?i??N?0sin120????32???icos240??i??sin240???i??ABC?????

（为保证推导的严谨性，在非方阵中引入一个独立变量，称为零轴电流。当定子绕组为Y 形接线时，可在变换矩阵中消去该独立因子）经推导整理可以得到3/2变换表达式，

1?1??i??2?2???i?33????0?21??i?A?2?i?3??B???i??2??C? ?已知无零线Y形接线时，iA?iB?iC?0，则有ic??iA?iB 。 代入上式进而可简化为：

?3?2?i????1?i??????2?2??i?3?i???????16?AB?0??i?????i2????AB?0??i????1??i???2?

上式对电压和磁链也成立。

3．(2s/2r变换) 二相静止轴系?，?到二相旋转轴系 d，q 的变换

假如有两个相互垂直的绕组，在两绕组中分别通以直流电流，并且将此固定磁场以同样的角速度旋转，则两相旋转绕组产生的合成磁场也是一个旋转磁场。再进一步使两绕组轴线与三相绕组（或与两相静止绕组的轴线同方向）的旋转磁场方向相同。由此即可用两个直流分量来替代三相交流电。这可进一步简化参变量间的关系。

设两相静止坐标系与两相旋转坐标系间的夹角为（且随时间变化）

???1t??0

由两相静止轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可 以得到变换关系，

?i?i?dq??sin?????cos????cos???i?????i?sin?????

当定子三相电流为：

iA?Imsin(?1t??)2?iB?Imsin(?1t???)34?iC?Imsin(?1t???)3 代入3/2变换式，有

?id??sin(?1t??)??i??Im2???cos(?t??)1???q?其中

Im2?3Im2 式说明，从静止三相A-B-C变换到静止二相d-q，在D、Q绕组中通以互 差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止 绕组等效的磁动势。

又可知，将上式部分（d轴）展开后有，

idp?Im2cos?sin?1tidq?Im2sin?cos?1t?

因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和，

id?idp?idq????

因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和， ?

5．3/2变换结果代入2/2变换后有

id?idp?idq???id?sin??i???Im2???cos??q????Im2cos???id?i????Isin????q??m2?cos???sin(?1t??)???cos(?t??)???sin???1?

上式说明，在D-Q轴上通以两个直流电流，其大小分别为三相绕组中的有功电流和无功电

流。这样也可获得与三相绕组等效的磁动势。

6．由3/2变换的瞬时无功功率理论可以获得与上述同样的结果 已知，

?p??ip??e??q??e?i???e???q????e???e?????3?sin?1t?Em?2??cos?1t??e???i???i??e??????

假定三相瞬时电压为三相平衡电压源，A相电压为，代入电压3/2

变换有

代入上式整理后，有

?p?3?sin?1t?cos?1t??i???q??2Em??cos?t?sin?t??i???11???? ??ip??sin?1t?cos?1t??i???i????cos?t?sin?t??i?11?????q??

可见，上式与2/2变换结果相同。

7.进一步引申还可知道

可以看出，经过3/2和2/2变换，三相交流系统中的基波有功分量和基波无功分量在d-q坐标系表示为直流分量，或者讲，被变换的三相电流中若既含有基波电流，又有高次谐波电流，则经过变换后所获得的直流分量对应原来的基波电流，而变换获得的谐波分量将对应原来的 （n-1）次谐波电流（注意到，3/2变换的结果仍保持频率不变，且两变量为正交分量）。 由此启发人们利用这样的变换/反变换结果来获取除了基波成分之外的其它畸变分量。

应注意到，虽然上述对电压的3/2变换代入到瞬时功率表达式中，可以得到与2/2变换同样的结果。但在实际应用时却属两种检测算法。例如，它们的低通滤波器设计参数不同；由于d-q坐标系是以w1旋转的，它与轴的夹角是随时间变化的，还需从系统电压提取同步相位信息。另外，当考虑电压畸变时，2/2变换仍是准确的。

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坐标变换

由于直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，所以这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。

如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。

不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。

1．坐标变换原理

交流电机三相对称的静止绕组A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速ws（即电流的角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于下图1中。

图1交流电机绕组的等效物理模型 图2等效的两相交流电机绕组

旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相、…… 等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。

图2中绘出了两相静止绕组a和b它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。

图3旋转的直流绕组

当图1和2的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图2的两相绕组与图1的三相绕组等效。

图3两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q，其中分别通以直流电流id和iq，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步

转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。

把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图1 和图2中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图1的三相交流绕组、图2的两相交流绕组和图3中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB 、iC，在两相坐标系下的ia、ib和在旋转两相坐标系下的直流id、iq 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。

坐标变换的任务就是求出iA、iB 、iC 与ia、ib和id、iq 之间准确的等效关系。

2．三相--两相变换（3/2变换）

在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组a、b之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2 变换。

图4 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

上图绘出了A、B、C和a、b两个坐标系，为方便起见，取A轴和a轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。 设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在a、b轴上的投影都应相等， 写成矩阵形式，得

考虑变换前后总功率不变，在此前提下匝数比应为 代入上式，得

三相—两相坐标系的变换矩阵

令C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则[1] 3．两相—两相旋转变换（2s/2r变换）

从两相静止坐标系到两相旋转坐标系d、q 变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。[1] 图5两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量

两相交流电流ia、ib和两个直流电流id、iq 产生同样的以同步转速ws旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。[1]

d，q轴和矢量Fs（is ）都以转速ws 旋转，分量id、iq 的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。但a、b轴是静止的，a轴与d轴的夹角j随时间而变化，因此is 在a、b轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图5可见，ia、ib和id、iq 之间存在下列关系[1] 2s/2r变换公式

两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵写成矩阵形式，得式中 是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。[1]

任意两空间坐标系的转换由于测量坐标系和施工坐标系采用不同的标准，要进行精确转换，必须知道至少3个重合点（即为在两坐标系中坐标均为已知的点。采用布尔莎模型进行求解。布尔莎公式:对该公式进行变换等价得到：解算这七个参数，至少要用到三个已知点（2个坐标系统的坐标都知道），采用间接平差模型进行解算： 其中： V 为残差矩阵; X 为未知七参数; A 为系数矩阵; 解之：L 为闭合差解得七参数后，利用布尔莎公式就可以进行未知点的坐标转换了，每输入一组坐标值，就能求出它在新坐标系中的坐标。 但是要想GPS观测成果用于工程或者测绘，还需要将地方直角坐标转换为大地坐标，最后还要转换为平面高斯坐标。上述方法类同于我们的间接平差，解算起来较复杂，以下提供坐标转换程序，只需输入三个已知点的坐标即可求解出坐标转换的七个参数。如果已知点的数量较多，可以进行参数间的平差运算，则精度更高。当已知点的数量只有两个时，我们可以采用简单变换法，此法较为方便易行，适于手算，只是精度受到一定的限制。详细解算方程如下：式中调x,y和x\\'、y\\'分别为新旧（或；旧新）网重合点的坐标，a、b、、k为变换参数，显然要解算出a、b、、k，必须至少有两个重合点，列出四个方程。即可进行通常的参数平差，解求a、x、b、c、d各参数值。将之代人（3）式，可得各拟合点的残差（改正数）代人（2）式，可得待换点的坐标。 求出解算参数之后，可在Excel中，进行其余坐标的转换。上次笔者用此法进行过80和54坐标的转换，由于当时没有多余的点可供验证和平差，所以转换精度不得而知，但转换之后各点的相对位置不变。估计，实际的转换误差应该是10m量级的。还有一些情况是先将大地坐标转换 为直角坐标，然后进行相关转换[1-2]

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