代数部分证明题

1.证明：若向量组(?)可由向量组(??)线性表出，则(?)的秩不超过(??)的秩。 证明：设向量组(?)的秩为s,向量组(??)的秩为t

设?i1……?is.?j1……?jt分别是(?)的极大无关组

??i1……?is与(?)等价，?而已知(?)可由(??)线性表出

j1……

?jt与(??)等价

??i1……?is可由?又

j1……

?jt线性表出

??i1……?is线性无关

?s< t.即(?)的秩不超过(??)的秩。

2.证明：若A,B为同型矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B).

证明：设A,B为m×n矩阵.将A,B分块为A=(?1???n),B=(?1???n)

?A+B=(?1+?1……?n+?n)

再设r(A)=s,r(B)=t. 关组

?i1……?is,?j1……?jt分别是A,B的列向量极大无

??1???n可由?i1……?is线性表出，

?1???n可由?j1……?jt线性表出

?1+?1……?n+?n可由?i1……?is，?j1……?jt线性表出

?r(?1+?1……?n+?n)≤(?i1……?is?j1……?jt)≤s+t

?r(A+B)≤r(A)+r(B)

3.证明：若A=(aij)mn ,B=(bjk)ns 为矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B)}. 证明：只需证r(AB)≤r(A)且r(AB)≤r(B)

先证r(AB)≤r(A)

将A按列分块为A=(?1???n)

?b11?b1s?n???n?AB=(?1???n)?????=??bi1?i???bis?i?

i?1??b?b??i?1ns??n1

1

?AB的列向量组为?j??bij?i (j=1……s)

i?1n?AB的列向量组可由A的列向量组?????r(????)≤r(????)

1n线性表出

1s1nR(AB)≤r(A)

同理可证r(AB)≤r(B) 从而得证.

4.设P,Q为可逆矩阵，且PA,AQ有意义，则r(PA)=r(PQ)=r(A) 证明：记PA=B则r(B)≤r(A)

而A=P?1B又r(A)≤r(B)

∴r(A)=r(B)=r(PA) 同理可证r(A)=r(AQ) ∴r(PA)=r(AQ)=r(A)

5.设?1,?2,?,?n都是n维向量，证明?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是任何n维向量都可以被它们线性表出。 证明：(?)设?1,?2,?,?n线性无关

∴任意一个n+1维向量线性相关，于是对任一n维向量?有

?，

?1,?2,?,?n线性相关.

(?)设任一n维向量可由?1,?2,?,?n线性表出

??1,?2??n可由 ?1,?2,?,?n线性表出 ?r(?1,?2,?,?n)≥r(?1,?2??n)

但?1,?2,?,?n只有n个向量 ∴r(?1,?2,?,?n)≤n ∴r(?1,?2,?,?n)=n ∴?1,?2,?,?n线性无关.

6.证明：(1)若A可逆，则A?=

An-1 (2)若A=0，则A?=0. .

2

证明：(1) 设A可逆?A≠0.由AA?=AE

?AA?=

?而AA=

AE=An

An ∵A≠0.

∴A?=(2)设

An-1

A=0，欲证A?=0

若A=0?A?=0?A?=0

若A≠0?r(A)≥1 又

A=0?r(A)

AX=0 有基础解系且其中含n-r个解向量 n-r≤n-1

由AA?A?E 知AA=0 将A按列分块为A=(X1,X2?Xn) 于是

?

?

??AA?=A(X1,X2?Xn)=(AX1,AX2?AXn)

?但AA=0?解

AXj?0 (j=1,……n)这表明X1,X2?Xn是方程组AX=0的

可由AX=0的基础解系表出

n?X,X?X1212n?r(X,X?X?X,X?X12n)≤基础解系的秩=n-r

线性相关?A?=0.

7.设A，B为n级矩阵，n≥2,如果AB=0，则秩(A)+秩(B)≤n 证明：若r(A)=n?A可逆 由AB=0,得B=0?r(B)=0 ∴r(A)+r(B)=n

若r(A)=r

3

AB=A(?1??n)=(A?1?A?n)=0

?ABj=0 (j=1,……n)??1??n是AX=0的解向量 ??1??n可由AX=0的基础解系线性表出 ?r(?1??n)≤基础解系的秩=n-r

即r(B)≤n-r=n-r(A) ∴r(A)+r(B)≤n

?0，当秩(A)?n?1时，??

8.证明：秩(A)=?1，当秩(A)?n?1时，

?n,当秩(A)?n时， ?证明：(1)若r(A)=n?A≠0. 而A=A?n?1≠0?A?可逆=r(A?)=n

(2)若r(A)=n-1?A=0 由AA?=AE=0

?r(A)+r(A?)≤n?r(A?)≤n-r(A)=n-(n-1)=1

又r(A)=n-1?A有一个n-1级子式不为零。

?A?≠0?r(A?)≥1

?A∴r()=1

(3)若r(A)

?A?=0 ∴r(A?)=0

9.证明：设A为n级矩阵，且A2=A,则秩(A)+秩(A-E)=n. 证明：由A2=A得 A2-A=0?A(A-E)=0

?r(A)+r(A-E)≤n

又∵r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n ∴r(A)+r(A-E)=n

4

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