《一元二次不等式解法》（第一课时）教学设计

《一元二次不等式解法》(第一课时)的教学设计

浚县一中 范景霞

一、教学目标

(一)知识目标 理解一元二次方程，一元二次不等式、二次函数之间的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

(二)能力目标 通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

(三)情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

二、教学分析

教学重点：一元二次不等式的解法。

教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 教学方法：诱思引探教学法 教学用具：多媒体

三、课堂设计

(一)创设情景，引出“三个一次”的关系 师：请同学们解一元二次方程：x2-x-6=0 生：解（略）

师：若将上述方程中的“=”改为“>”，就得到一元二次不等式x2-x-6>0，怎样求解一元二次不等式呢？这就是我们本节课学

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习的内容（板书课题）

师：初中已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，如：

2x-7=0?x=3.5

2x-7>0?x>3.5 （学生口答，教师板书） 2x-7<0?x<3.5

师：其实两个一元一次不等式的解是通过不等式的基本性质得到的，但是我们很难利用不等式的基本性质尽快得到一元二次不等式的解，为此我们换一种角度来认识一元一次不等的解，我们引入一次函数y=2x-7的图象来认识2x-7<0和2x-7>0的解。

借助动画展示：

① 当2x-7=0时，得x=3.5；当y=0时， 函数的图象与x轴交于点(3.5,0)，得x=3.5。

② 当2x-7>0时，得x>3.5；当y>0时， 函数的图象在x轴上方，得x>3.5。

③ 当2x-7<0时，得x<3.5；当y<0时， 函数的图象在x轴下方，得x<3.5。

引导学生观察得出结论：

①当2x-7=0的解是函数y=2x-7的图象与x轴交点的横坐标。 ②当2x-7>0的解集是函数y=2x-7的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合。

③当2x-7<0的解集是函数y=2x-7的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合。

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由此可以利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集，请我们一起用此方法来探索一元二次不等式x2-x-6>0的解集。 (二)比旧悟新，引出“三个二次”的关系 (展示课件3) 画一画： 看一看：函数图象与x轴的位置关系。 说一说：①方程x2-x-6=0的解是 x=-2或x=3 ； ②不等式x2-x-6>0的解集是 {x|x<-2,或x>3} ； ③不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2

(问一问)我们把函数y=x2-x-6变为y=ax2+bx+c(a>0)，那么图象与x轴有几个交点？(①因为a>0，所以图象开口向上。②Δ=b2－4ac=0时，图象与x轴只有一个交点;Δ>0时，图象与x轴有两个交点；Δ<0时，图象与x轴没有交点。) (三)归纳提炼，得出“三个二次”的关系

(1)引导学生观察图象与x轴的相对位置关系，写出相关不等式的解集。

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(2)学生思考：若a < 0时，怎样求解不等式ax2+bx+c > 0及ax2+bx+c < 0？

(四)应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集 例1、解不等式2x2－3x－2>0

分析：不等式2x2－3x－2>0与表格中ax2+bx+c>0(a>0)的形式完全一样，因此先考虑对应方程的判别式及方程的根，然后根据不等式解集情况求得原不等式的解集，画出相应二次函数的图象帮助理解。(学生口答，教师板书)

解：因为Δ>0，方程2x2－3x－2=0的解是 x1=?，x2=2

所以，不等式的解集是 { x| x2}

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1212例2 解不等式－3x2+6x > 2

分析：－3x2+6x > 2，即－3x2+6x－2 > 0与表格中不等式的形式比较可发现，它们不同之处在于二次项系数，故先将其变为二次项系数大于零的情形，转化为熟知类型，然后求解。(学生口答，教师板书)

解：整理，得3x2－6x+2 < 0

因为Δ> 0，方程3x2－6x+2=0的解是x1=1－所以，原不等式的解集是{x | 1－

333333，x2=1+

< x < 1+

33}

解法步骤总结：一化正→二算Δ→三求根→四写解集 例3 解不等式4x2－4x+1>0 例4 解不等式－x2+2x－3>0

例3紧扣函数y=4x2－4x+1的图象与x轴只有一个交点，例4按照一化正→二算Δ→三求根→四写解集的程序规范书写(先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。) (五)课堂小结

解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ (3)解对应的一元二次方程

(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集

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(六)布置作业

(1)必做题：习题1.5的1、3题

(2)探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c>0的解集为M，ax2+bx+c<0的解集为N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3>0的解集是R，求实数k的取值范围。 (七)板书设计

一元二次不等式解法(1)

(一)“三个一次”的关系 (四)例题解析 例1 2(二)观察y=x-x-6的图像 例2 (三)“三个二次”的关系 例3 例4 (五)总结 (六)作业

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(六)布置作业

(1)必做题：习题1.5的1、3题

(2)探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c>0的解集为M，ax2+bx+c<0的解集为N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3>0的解集是R，求实数k的取值范围。 (七)板书设计

一元二次不等式解法(1)

(一)“三个一次”的关系 (四)例题解析 例1 2(二)观察y=x-x-6的图像 例2 (三)“三个二次”的关系 例3 例4 (五)总结 (六)作业

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