向量与圆锥曲线 - 图文

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程,如果M没有在曲线上,则必须把M的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理.

1

课后练习:

x2?y2?1交于不同的两点E,F(E1.已知定点M(2,0),若过点M的直线l(斜率不为零)与椭圆3S在点M,F之间),记???OME, 求实数?的取值范围.

S?OMF

x2y22.椭圆2?2?1的两个焦点分别为F1(?c,0)和F2(c,0),过点E(3c,0)的直线与椭圆交于A,B3c2c两点, 且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|, 求直线AB的斜率.

3.已知抛物线C:y?4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线l与x轴交于点C,设MA??AC,MB??BC,试问???是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.

2x2y2??1,过右焦点F的直线l与C交于A,B两点,C上是否存在点P,使得当l绕F4.椭圆C:32转到某一位置时,有OP?OA?OB成立?若存在,求出所有P的坐标与l的方程;若不存在, 请说明

理由.

2

二.面积计算

求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.

例1.如图,M(1,1)是抛物线C:y?x上一点, A,B是C上的两点,线段AB被直线OM平分且

21P(1,), 求?ABP面积的最大值.

2

y2x22.已知直线l与椭圆2?2?1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 已知m?(ax1,by1),n?(ax2,by2),

ab?3?3,1?若m?n且椭圆的离心率e?, 又椭圆经过点???, O为坐标原点. 试问?AOB的面积是否22??为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.

3

3.已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x?3y?4上,对角线BD所在直线的斜率为1. (1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程; (2)当?ABC?60?时,求菱形ABCD面积的最大值.

22x2y2C1的长轴是圆C2:x2?y2?44.如图，点P(0,?1)是椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点，

abl2交椭圆C1于另一点D 的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，

（1）求椭圆C1的方程；

y （2）求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

4

D O P A

l1 B x l2 三．切线问题

x2y21.如图，设椭圆C:2?2?1(a?b?0)动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象

ab限.

（1） 已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；

（2） 若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a?b.

12x，圆C2：x2+(y-1)2=1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线4PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.

2.如图，已知抛物线C1：y=(1)求点A，B的坐标； (2)求?PAB的面积.

5

5x2y23.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为.

3ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

4.如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，AB?410，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x?2py(p＞0)上，其中，点C满足OC?OA?OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6

2

练习：如图，已知抛物线x?4y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明FM?AB为定值.

7

2b2四、斜率乘积为?2

ax2y2b21.已知M,N椭圆C：2?2?1(a?b?0)上的两点，则P是M,N的中点?kMN?kOP??2;

abax2y2类似地，对于双曲线C：2?2?1，则有____________________.

ab若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？

x2y22.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右顶点为A1,A2，点M是C上异于A1,A2的任意

abb2一点，则kMA1?kMA2??2;

ax2y2类似地，对于双曲线C：2?2?1，则有____________________.

ab3.对于上述，若A1,A2为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？ 4.若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？

y2?1于A,B两点，ON?1(OA?OB)，则直线AB的例1.过点N(1,2)的直线交双曲线x?222方程是____________

x2y21例2.过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A,B，若M是线段

ab2AB的中点，则椭圆C的离心率是_________

x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭圆C 上有例3.已知椭圆C：?43两个不同的点关于这条直线对称.

x2y2??1，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，例4.已知椭圆的方程为42过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，设直线的斜率为k，求证：对任意k?0，PA?PB.

8

x2y2例1.P(x0,y0)(x0??a)是双曲线E：2?2?1(a?0,b?0)上一点，M,N分别是双曲线E的

ab1左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为，则双曲线的离心率是_________________

5x22例2.如图，已知A,B分别为曲线C：2?y?1(y?0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，

a且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. 点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，

请说明理由.

y2例3.已知椭圆C：x?2?1，过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象

m限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

2

9

x2y24.已知椭圆的方程为C：2?2?1(a?b?0)，A,B是椭圆上的两动点，M为平面上一动

ab点且满足OM??OA??OB，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：

kOA?kOBb2??2a?2??2?1

M在椭圆上x2y2例1.已知椭圆的方程为C：2?2?1(a?b?0)，A,B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点且

abb222满足OM??OA??OB且????1，证明：kOA?kOB??2.

a

x2y2??1上的点，例2.设动点P满足OP?OM?2ON，其中M,N是椭圆直线OM与ON的421斜率之积为?，求动点P的轨迹方程.

2

10

五．斜率乘积为?1

1.椭圆中的垂直问题

y?1，过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，过O3作直线AB的垂线，求点D的轨迹方程.

例1.设椭圆C：?

例2.求t?(0,b)使得下述命题成立：设圆x?y?t上任意点M(x0,y0)处的切线交椭圆

222x422

x2y2?2?1于Q1,Q2两点，则OQ1?OQ2. 22bb

x2y2?1交于A,B两点例3.如图，n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆C：?43的直线，|OP|?1，是否存在上述直线l使得AP?PB?1成立？若存在，求出直线l的方程；若不

存在，请说明理由.

11

2.当圆锥曲线上的两点P,Q满足OP?OQ时，椭圆中便存在一个直角三角形Rt?OPQ，通过以上的例题可以发现，其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的，包括两条直角边的关系、斜边的长度问题、斜边上的高的轨迹，以及它的面积的取值范围，真可谓把这个直角三角形剖析得淋漓尽致了。但如果这不是一个直角三角形，也就是说?POQ?90?，情形又会如何。是否有类似的结论呢？

提醒读者，将夹角问题转化为向量数量积的问题仍是首选方法，因为它更具有一般性，见如下方法总结：

（1）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆外?BA?BC?0； （2）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆上?BA?BC?0； （3）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆内?BA?BC?0.

m2?0，设例1.已知m是非零实数，抛物线C：y?2px(p?0)的焦点F在直线l：x?my?2直线l与抛物线C交于A,B，过A,B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1,B1，如图所示，?AA1F,?BB1F的重心分别为G,H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

2

x2y2例2.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左顶点为A，过右焦点F的直线交椭圆于B,C两点，直

aba2线AB,AC分别交右准线x?于点M,N，试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明

c理由.

12

3.抛物线中的定点问题

【框架】A,B是抛物线y?2px(p?0)上的两动点，其中?,?分别为OA,OB的倾斜角，则我们有如下框架图：

OA?OB?kOA?kOB??1?|???|?22?2?AB恒过定点(2p,0).

例1.设A,B是抛物线y?2px(p?0)上异于原点的两个不同点，直线OA,OB的倾斜角分别为

?,?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐

标.

例2.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y?4x相交于不同的A,B两点，如果

2OA?OB??4，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标.

2例3.已知抛物线y?4x，过点M(1,2)作两直线l1,l2分别与抛物线交于A,B两个不同的点，且

l1,l2的斜率k1,k2满足k1k2?2，求证：直线AB过定点.

13

六．斜率之和为零

x2y2【框架】A(x0,y0)是椭圆C：2?2?1(a?b?0)上一定点，E,F是C上两个动点；?和?分

ab别表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图：

b2 kAE?kAF?0???????kOA?kEF?2.

ax2y2?3???1及定点A?1,?，E,F是C上的两个动点；例1.已知椭圆如果直线AE的斜率与AF243??的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出该定值.

例2.已知A,B,C是长轴为4，焦点在x轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0,|BC|?2|AC|. （1）求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上的两点P,Q，使得?PCQ的平分线垂直于OA，问是否总存在实数?，使得

PQ??AB？说明理由.

14

2【框架】A(x0,y0)(x0?0)是抛物线C：y?2px上一定点，E,F是C上两个动点；?和?分别

表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图： kAE?kAF?0???????kOA?kEF??p. x02例1.过抛物线C：y?2px(p?0)上一定点P(x0,y0)(y0?0)，作两条直线分别交抛物线于

A(x1,y1),B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求

斜率是非零常数.

y1?y2的值并证明直线AB的y0例2.M是抛物线y?x上的一点，动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点，且MA?MB，若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

15

2

七．多条直线与曲线相交的应用

x2y2??1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(9,m)的直线TA,TB与椭例1.已知椭圆95圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，其中m?0,y1?0,y2?0，求证：直线MN必过x轴上的

一定点.

例2.如图所示，椭圆有两顶点A(?1,0),B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并且与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q，当点P异于A,B两点时，求证：OP?OQ.

16

x2y2??1的上下顶点分别为A,B，直线y?kx?4与椭圆交于不例3.如图，已知椭圆方程为84同的两点M,N，直线y?1与直线BM交于点G，求证：A,G,N三点共线.

例4.如图，已知抛物线C：y?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上.

217

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pajp.html