2013北京高考理科数学试题及答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学（文）

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，

在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则A∩B= ( )

（A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}

（2）设a,b,c∈R,且a<b,则 ( )

（A）ac>bc （B）错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。

（C）a2>b2 （D）a3>b3

（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是

（A）y= (B)y=e-3

（C）y=x2+1

（A）第一象限

（C）第三象限 (D)y=lg∣x∣ （B）第二象限 （4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于 （D）第四象限

（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= 错误！未找到引用源。,则sinB

15（A） （B） （C

（D）1 59（6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为

（A）1 （B） 23610 （C） （D） 398721

的充分必要条件是 （7）双曲线x²-

（A）m＞ =1的离心率大于 （B）m≥1 （D）m＞2 （C）m大于1

（8）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶

点的距离的不同取值有

（A）3个 （B）4个（C）5个 （D）6个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____

(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.

(11)若等比数列｛an｝满足a2 a4 20，a3 a5 40，则公比

q=__________;前n项Sn=_____.

x 0 (12)设D为不等式组 2x y 0，表示的平面区域，区域D上的点与点（L，0）之间的距离的最小值

x y 3 0

为___________.

log1x,x 1 2(13)函数f x 的值域为_________.

x x 1 2,

（

14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D =λAB+μAC （1≤λ≤2，≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数f（x）=（2cosx-1）sin2x=错误！未找到引用源。cos4x. 2

（1）求f（x）的最小正周期及最大值

（2）若α∈（错误！未找到引用源。，π）且f（α）=错误！未找到引用源。，求α的值

(16)(本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质

量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17.（本小题共14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，

PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;

（Ⅱ）BE∥平面PAD

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.

（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)=x2

+xsin x+cos x.

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。

（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。

（19）（本小题共14分）

直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:错误！未找到引用源。+y2相交与A，C两点，O为坐标原电。 （Ⅰ）当点B的左边为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。

（20）（本小题共13分）

给定数列a1，a2，…，an。对i-1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=ni-Bi.

（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.

（Ⅱ）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。 （Ⅲ）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1是等差数列。

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