推荐下载 高中数学选修2-1同步课堂最新练：3.1.1 空间向量及其线

1．如图，a，b是两个空间向量，则错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是__________向量，错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是__________向量．

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。的结果为__________．

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。＝x错误！未找到引用源。＋y(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)，则x＝__________，y＝__________.

4．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ，m，n使λ错误！未找到引用源。＋m错误！未找到引用源。＋n错误！未找到引用源。＝0，那么λ＋m＋n的值为__________．

5．在空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。的化简结果为__________．

6．在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，若错误！未找到引用源。＝λ(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)，则λ＝__________.

7．有下列命题：

①若错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。，则A，B，C，D四点共线； ②若错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。，则A，B，C三点共线；

③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－错误！未找到引用源。e2，b＝－e1＋错误！未找到引用源。e2，则a∥b；

④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3

＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．

8．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为错误！未找到引用源。的所有向量； (3)试写出与错误！未找到引用源。相等的所有向量；

(4)试写出错误！未找到引用源。的相反向量．

9．如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E， H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.求证四边形EFGH是梯形．

参考答案

1. 答案：相等 相反

2. 答案：0 解析：原式＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＝0.

3. 答案：1 错误！未找到引用源。 解析：错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)，对比系数可得x＝1，错误！未找到引用源。.

4. 答案：0 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在惟一实数k使错误！未找到引用源。＝

k错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。＝k(错误！未找

到引用源。－OA)，

∴(k－1)错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。－k错误！未找到引用源。＝0. 又λ错误！未找到引用源。＋m错误！未找到引用源。＋n错误！未找到引用源。＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.

5. 答案：0 解析：取BC的中点F，则错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＝0.

6. 答案：错误！未找到引用源。 解析：依题意知(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)＋(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)＋(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)

＝3错误！未找到引用源。＋(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。)，

由于G为△ABC的重心，

所以错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＝0，从而3错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。).

7. 答案：②③④ 解析：①错，由错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。可知，

A，B，C， D四点共线或AB∥CD；②③④都是正确的.

8. 答案：解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量有8个.

(2)由于这个长方体的左右两侧的矩形BCC1B1和ADD1A1的对角线长均为错误！未找到引用源。，故模为错误！未找到引用源。的向量有错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，共8个.

(3)与向量错误！未找到引用源。相等的向量有错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。，共3个.

(4)向量错误！未找到引用源。的相反向量为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，共4个.

9. 答案：证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，

则错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。)＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。)＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。，且|错误！未找到引用源。|＝错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|≠|错误！未找到引用源。|.

又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.

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