等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】

例1． 如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分高。求证：AD垂直平分EF。

例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于BDC周长为24，求AE的长度。

BD=CD。求证：AD垂直平

别是△ABD和△ACD的

E，若CD＝4，且△

D

C

例三. 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为 =___________。

图1

分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB

1

，又∠2

EAC 90° ∠C，∠ 90° ∠C，所以∠EAC ，

例四. 已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE

1

。 2

1

BC，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。

2

图2

分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。 证明：作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，

1

BC 21

又∵CE BC，

2

∴BD

∴BD=CE。

在Rt△ABD和Rt△ACE中， AB＝AC，BD=CE，

∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。 ∴∠ACE=∠B

例五. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：

M是BE的中点。

图3

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠

DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。 证明：联结BD，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E=30° ∵BD是AC边上中线，

∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30° ∴∠DBE=∠E。 ∴DB=DE

又∵DM⊥BE，

∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。 巩固练习一：

1、已知 ABC的周长为36cm，且AB AC，又AD BC，D为垂足， ABD的周长为30cm，那么AD的长为（ ）

A．6cm B. 8cm C. 12cm D. 20cm

2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC=（ ）

0000

A．10 B. 12.5 C.15 D.20

F

C D C 第3题图 D

第4题图

第2题图

3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（ ） A、 2对 B、3对 C、4对 D、5对

4 、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连

结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为( )

A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED<∠AGF D．不能确定

5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC= 6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为 。

第5题图

C

第6题图

B 第7题图 F

C

7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为

8、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

1

∠DAB； 2

④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)

9、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE

10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BC

B

1

BC，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。 2

E

A

D

C

11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．

12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证： ∠ABC=∠ACB

【巩固练习二】

M

B

C

N

D

E

A

F

G

1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、 在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD

＝________cm。

3、 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。 4、 已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（ ） （A）90°－

111

n°（B）90°＋ n°（C）180°－n°（B）180°－n° 222

5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B）两个等边三角形

（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

6、 已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠

BAC的平分线？

7、 已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。

A

D E C

8、 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证：CD⊥BE。

9、 如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。 10、

如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pa24.html