2007级数值分析试卷一及参考答案

大学课程考试卷

课程名称：数值分析 编号：A 考试时间：120分钟

题号 一 二 三 四 五 六 总分 实得分 满分 20 20 15 15 15 15 100 一、单项选择题(每小题4分，共20分)

1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

2. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a，b] 上连续

(C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(xk)=yk,(k=0,1, … ,n)

f[x1,x2,?xn]?f[x0,x1,?xn?1]xn?x03. n阶差商递推定义为：f[x0,x1,?xn]?差商表如下：

序号 0 1 2 3 xi 1 3 4 7 ，设

f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 2 15 12 1 13 －1 4 －7/2 －5/4 那么差商f [1，3，4]＝( )。

A. (15－0)/(4－1)＝5 B. (13－1)/(4－3)=12 C. 4 D. －5/4 4. 分别改写方程2?x?4?0为x??2?4和x?ln(4?x)/ln2的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( )

(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散 5. 区间[a，b]上的三次样条插值函数是( )。

A. 在[a，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式 B. 在区间[a，b]上连续的函数

C. 在区间[a，b]上每点可微的函数 D. 在每个子区间上可微的多项式

A卷第１页

xx二、填空题(每小题4分，共20分)

1. 欧拉法的局部截断误差的阶为 ；改进欧拉法的局部截断误差的阶为 ；

2. 求解非线性方程xex?1?0的牛顿迭代公式是 ；

3. 已知数据对(xk,yk)(k＝1，2，…，n)，用直线y＝a＋bx拟合这n个点，则参数a、b满足的法方程组是 ；

?2a4. 设A?????0a3a0??a给出使追赶法数值稳定地求解方程组Ax?b,b?R3的a?2??的取值范围（最大取值区间）是 ； 5. 求积公式?f(x)dx?01211123f()?f()?f()具有 次代数精度。 343234三、（15分）利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。

四、（15分）已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式

（Tn?h2n?1，计算积分I?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]）

k?1?10edxx，并估计误差

（Rn(f)??x e xb?a12hf\(?),??(a,b)）。

20 0.125 0.25 1.284025 0.375 1.454991 0.5 1.648721 0.625 1.868246 0.75 2.117000 0.875 2.398875 1 2.718282 1 1.133148 ?a?五、（15分）已知方程组?2?1?2a21??x1??1??????2??x2???2? ????a???x3??1?（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当a?4时，雅可比迭代法收敛；

111（3）取a?5,X(0)?(10510,,)T，求出X(2)。

A卷第２页

六、（15分）用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y值，保留小数点后四位）。

2x????(0?x?1)?y'?y? y??y(0)?1?提示：改进的欧拉公式为

yn?1?yn?hf(xn,yn)

h2yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] A卷第３页

数值分析试题参考答案A卷

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. D 2. A 3. A 4. B 5. A 二、填空题(每小题3分，共15分)

1、答案：1 ，2

2、答案：xk?1?xk?xk?e?xk1?xk

nn?na?(?xk)b??yk??k?1k?1 3、答案：?n nn?(?xk)a?(?xk2)b??xkyk?k?1k?1?k?14、答案： 0?a?32

5、答案： 3阶

三、解 利用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，

令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228 四、解

T8?1161247[f(0)?2?f(xk)?f(1)]?1.720519k?1

S4?[f(0)?4?(f(0.125)?f(0.375)?f(0.625)?f(0.875))?2?

(f(0.25)?f(0.5)?f(0.75))?f(1)]?1.71828|R8(f)|?|?|R4(f)|?|?b?a12b?a2880hf\(?)|?hf4(4)2121()e?0.00359429681281175

(?)|?14?5()e?4.7272?1028804

五、解 （1）对i?1,2,3，从第i个方程解出xi，得雅可比法迭代公式为：

A卷第４页

?(m?1)1(m)(m)x?(1?2x?x)123?a??(m?1)1(m)(m)?(2?2x1?2x3),m?0,1,? ?x2a??x(m?1)?1(1?x(m)?2x(m))312?a?（2）当a?4时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。 （3）取a?5，X(0)?(110510,1,1)T

由迭代公式计算得 x1(1)? x1(2)?110， x2(1)?， x2(2)?13250825825， x3(1)?， x3(2)?1325011013

13250250则 X（2）=（

六、解

xn yn ，

825，）T

0.1 1.0959 0.2 1.1841 0.3 1.2662 0.4 1.3434 0.5 1.4164 0.6 1.4860 0.7 1.5525 0.8 1.6153 0.9 1.6782 1 1.7321

A卷第５页

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