2011年四川省高考数学试卷（文科）答案与解析

2011年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2011?四川）若全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，则?MN=（ ） A．? B．{1，3，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，5} 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．

【分析】根据已知中全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，结合补集的运算方法代入即可得到CUN的结果．

【解答】解：∵全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，

∴CUN={1，3，5} 故选B

【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，属于简单题，熟练掌握集合运算方法是解答的关键． 2．（5分）（2011?四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5）2[15.5，19.5）4[19.5，23.5）9[23.5，27.5）18 [27.5，31.5）11[31.5，35.5）12[35.5，39.5）7[39.5，43.5）3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征． 【专题】计算题．

【分析】根据所给的数据的分组和各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知本组数据的总数，求两个点比值得到符合条件的数据所占的比． 【解答】解：根据所给的数据的分组和各组的频数知道，

大于或等于31.5的数据有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3， 可以得到共有12+7+3=22， ∵本组数据共有66个， ∴大于或等于31.5的数据约占

，

故选B

【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查等可能事件的概率，考查利用列举法得到满足条件的事件数，本题是一个概率统计的综合题目．

3．（5分）（2011?四川）圆x+y﹣4x+6y=0的圆心坐标是（ ） A．（﹣2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题．

【分析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：

22

（x﹣2）+（y+3）=13，

22

1

所以此圆的圆心坐标为（2，﹣3）． 故选D 【点评】此题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程，并会从圆的标准方程中找出圆心的坐标，是一道基础题．

4．（5分）（2011?四川）函数y=（）+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）

x

A． B．

C． D．

【考点】反函数；指数函数的图像变换． 【专题】综合题；数形结合．

【分析】函数y=（）+1的图象关于直线y=x对称的图象，即为函数y=（）+1反函数的图象，求出函数的反函数后，分析其反函数的性质，并逐一分析四个答案，即可得到答案． 【解答】解：∵函数y=（）+1反函数为

x

x

x

其图象过（2，0）点，

且在定义域（1，+∞）为减函数 分析四个答案发现只能A满足要求 故选A

【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出其反函数的解析式是解答本题的关键．

5．（5分）（2011?四川）“x=3”是“x=9”的（ ） A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】阅读型．

2

【分析】化简条件：x=9；判断前者是否能推出后者；判断后者是否能推出前者，利用充要条件的定义判断出结论．

2

【解答】解：∵x=9?x=±3

2

∴x=3?x=9 反之，推不出；

2

故“x=3”是“x=9”的充分不必要条件． 故选A

【点评】本题考查判断命题间的条件故选时：一般先化简前、后两个条件、再利用充要条件的定义判断．

6．（5分）（2011?四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

2

2

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】证明题．

【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．

【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错； 对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对； 对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错； 对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错． 故选B． 【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．

7．（5分）（2011?四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】向量的加法及其几何意义． 【专题】计算题．

【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得向量加法的三角形法则，即可得到答案． 【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得

= = = 故选D

【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=

8．（5分）（2011?四川）在△ABC中，sinA≤sinB+sinC﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ） A．（0，

] B．[

，π） C．（0，

=，=，然后根据平面

，=是解答本题的关键．

2

2

2

] D．[，π）

【考点】正弦定理；余弦定理．

3

【专题】三角函数的求值．

【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．

【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

222

∵sinA≤sinB+sinC﹣sinBsinC， 222

∴a≤b+c﹣bc，

222

∴bc≤b+c﹣a ∴cosA=∴A≤∵A＞0

∴A的取值范围是（0，

]

≥

故选C

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．

9．（5分）（2011?四川）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（ ）

4444

A．3×4 B．3×4+1 C．4 D．4+1

【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和． 【专题】计算题．

【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣

得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，1=an，

从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．

【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2）， 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an， 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，

得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，

所以an=a2q=3×4（n≥2）

4

则a6=3×4． 故选A 【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题． 10．（5分）（2011?四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（ ）

A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元

4

n﹣2

n﹣2

【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合．

【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．

【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z， 由题意得：z=450x+350y

由题意得x，y满足下列条件：

上述条件作出可行域，如图所示：

由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900 故选C

【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．

11．（5分）（2011?四川）在抛物线y=x+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，

22

经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x+5y=36相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣9） B．（0，﹣5） C．（2，﹣9） D．（1，6）

5

2

【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标． 【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），

两点连线的斜率k=

2

，

对于y=x+ax﹣5， y′=2x+a，

∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，

在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）， 切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，

该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，

解得a=4或0（0舍去），

2

抛物线方程为y=x+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）． 故选A．

【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径． 12．（5分）（2011?四川）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则=（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】本题是一个古典概型，a的取法有2中，b的取法有3中，得到可以组成向量的个

2

数，从中任取两个向量共C6种取法，再由列举法求出面积等于4的平行四边形的个数，根据概率公式得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是取出数字，构成向量， a的取法有2种，b的取法有3种，故向量有6个，

从中任取两个向量共C6=15种取法，即n=15；

由满足条件的事件列举法求出面积等于4的平行四边形的个数有2个， ∴根据古典概型概率公式得到P=

，

2

6

故选A．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查组合数问题、考查三角形面积问题，注意列举法在解题中的作用．本题是一个综合题目．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

n33

13．（4分）（2011?四川）（x+1）的展开式中x的系数是 Cn （用数字作答） 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．

3

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，求出展开式中x的系数．

rr

【解答】解：展开式的通项为Tr+1=Cnx

33

令r=3得到展开式中x的系数是Cn

3

故答案为：Cn

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

14．（4分）（2011?四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P

到左准线的距离是 16 ． 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题．

【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离． 【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6 所以c=10

准线方程为x=； 离心率e=

设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得

即d=

=

设P（x，y）则d=|所以x=

所以点P到左准线的距离是

故答案为16

【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题． 15．（4分）（2011?四川）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 32π ．

7

【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．

【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cosα，圆柱的高

为8sinα，圆柱的侧面积为：32πsin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，

圆柱的侧面积为：32π，球的表面积为：64π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32π． 故答案为：32π

【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．

16．（4分）（2011?四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：

2

①函数f（x）=x（x∈R）是单函数；

x

②函数f（x）=2（x∈R）是单函数，

③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数

其中的真命题是 ②③④ （写出所有真命题的编号） 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③④都是，可得结果．

【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数

2

∴①函数f（x）=x不是单函数， ∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，

2

∴函数f（x）=x（x∈R）不是单函数；

②∵函数f（x）=2（x∈R）是增函数， ∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2， 即②正确；

③∵f（x）为单函数，且x1≠x2， 若f（x1）=f（x2），则x1=x2，与x1≠x2矛盾 ∴③正确； ④同②；

故答案为：②③④．

【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力．

8

x

三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）（2011?四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元每小时（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点租车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 【考点】几何概型． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．

（Ⅱ）先列出甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的所有情况，可按照甲的付费分类，因为各类为互斥事件，分别求概率再取和即可．

【解答】解：（Ⅰ）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1﹣乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为

（Ⅱ）甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的情况有：甲不超过两小时、甲两小时以上且不超过三小时乙不超过三小时、甲在三小时以上且不超过四小时乙不超过两小时三种． 故概率为：+

+

=

【点评】本题考查独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．

18．（12分）（2011?四川）已知函数f（x）=sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β

，求证：[f（β）]﹣2=0．

）+cos（x﹣），x∈R

2

【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；综合题． 【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．

（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+（x﹣

）

）+cos（x﹣

）=sin（x﹣

）+sin（x﹣

）=2sin

∴T=2π，最小值为﹣2

（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣， 两式相加得2cosβcosα=0，

9

∵0＜α＜β∴β=

2

，

∴[f（β）]﹣2=4sin

2

﹣2=0

【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．

19．（12分）（2011?四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质． 【专题】计算题；证明题．

【分析】以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．

（I）要证明PB1∥平面BDA1，我们可以先求出直线PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直

（II）由图象可得二面角A﹣A1D﹣B是一个锐二面角，我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．

【解答】解：以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系， 则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0） （1）在△PAA1中，C1D=AA1，则D（0，1，） ∴

=（1，0，1），

=（0，1，），

=（﹣1，2，0）

设平面BDA1的一个法向量为=（a，b，c）

则

令c=﹣1，则=（1，，﹣1） ∵?

=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0

10

∴PB1∥平面BDA1

（II）由（I）知平面BDA1的一个法向量=（1，，﹣1） 又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量 ∴cos＜，＞=

=

=

故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为

【点评】利用向量法求空间夹角问题，包括以下几种情况：

空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；

空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值； 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；

20．（12分）（2011?四川）已知﹛an﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．

（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；

（Ⅱ）当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k ，an+k，al+k也成等差数列．

【考点】等差关系的确定；等差数列的性质． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛an﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；

（Ⅱ）根据Sm，Sn，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得出an=a1q ，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q），S4=a1+a2+a3+a4=a1

23

（1+q+q+q），

根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，

2

代入整理并化简，约去q和a1，得q﹣q﹣1=0， 解得q=

；

n﹣12

（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若Sm，Sn，Sl成等差数列，则也有am+k，an+k，a1+k成等差数列；

若q≠1，由Sm，Sn，S1成等差数列，则有2Sn=S1+Sm， 即有

n﹣1

m﹣1

l﹣1

n﹣1

，

m﹣1

l﹣1

整理化简得2q=q+q，两边同乘以a1，得2a1q=a1q+a1q，即2an=am+al，

k

两边同乘以q即可得到2an+k=am+k+al+k， 即am+k ，an+k，al+k成等差数列．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．

11

21．（12分）（2011?四川）过点C（0，1）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭

圆与x轴交于两点A（a，0）、B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （Ⅱ）当点P异于点B时，求证：

为定值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用． 【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合． 【分析】（I）当直线l过椭圆右焦点时，写出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段CD的长；

（Ⅱ）设出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，并求出点P的坐标，写

出直线AC与直线BD的方程，并解此方程组，求得Q点的坐标，代入论．

【解答】解：（I）由已知得b=1，所以椭圆的方程为椭圆的右焦点为（

．

，0），此时直线l的方程为y=﹣

2

即可证明结

，解得a=2，

x+1，

代入椭圆方程化简得7x﹣8解得x1=0，x2=所以D点坐标为（

x=0．

，代入直线l的方程得y1=1，y2=﹣，

，﹣）

故|CD|=；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0，k≠） 代入椭圆方程化简得（4k+1）x+8kx=0， 解得x1=0，x2=

，代入直线l的方程得y1=1，y2=

，

2

2

12

所以D点坐标为（，），

又直线AC的方程为，直线BD的方程为y=，

联立解得，

因此Q点坐标为（﹣4k，2k+1）， 又P点坐标为（﹣，0）， ∴故

=（﹣，0）?（﹣4k，2k+1）=4， 为定值．

【点评】此题是个难题．本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，和有关定值定点

问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，

22．（14分）（2011?四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=

2

2

．

（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]，求F（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）； （Ⅲ）设n∈N，证明：f（n）h（n）﹣[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法． 【专题】计算题；证明题；压轴题；分类讨论． 【分析】（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值．

n

（Ⅱ）将方程转化为lg（x﹣1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数

大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可． （Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=故原不等式转化为f（n）h（n）﹣=

≥

注意到等式右侧为数列{bn}：bn=和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前n项和的形式，

求出通项．问题转化为证明项＞项的问题．可用做差法直接求解．

223

【解答】解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]=﹣x+12x+9（x≥0）

2

所以F′（x）=﹣3x+12=0，x=±2

且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0 所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=﹣8+24+9=25．

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（Ⅱ）原方程变形为lg（x﹣1）+2lg

=2lg

，

??，

①当1＜a＜4时，原方程有一解x=3﹣②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±③当a=5时，原方程有一解x=3， ④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=f（n）h（n）﹣=从而a1=s1=1， 当k≥2时，an=sn﹣sn﹣1=又

=

，

， ，

，

，

==

即对任意的k≥2，有

，

＞0

又因为a1=1=， 所以a1+a2+…+an≥， 则sn≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．

【点评】本题考查求函数的单调区间、极值、方程解的个数问题、不等式证明问题，综合性强，难度较大．

14

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