初中数学常见8种最值问题

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。 一. 配方法

例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）

可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当二. 设参数法

例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数的最大值为________。 解：设由

，易知，得

满足

。则

时，有最小值

。

从而，

由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得

。故

的最大值为2。

例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若可取得的最小值为（ ）

，则

A. 3 B. C. D. 6

解：设，则

从而可知，当三. 选主元法

时，取得最小值。故选（B）。

例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数

。则z的最大值是________。 解：由代入

得

。

满足

消去y并整理成以为主元的二次方程

，由x为实数，则判别式

。

即整理得

，

解得。

所以，z的最大值是四. 夹逼法

。

例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）最大值。则解：由

。设

__________。

得

是非负实数，并且满足，记为m的最小值，y为m的

解得

由是非负实数，得

从而，解得又

。 ，

故

于是，

因此，

五. 构造方程法

例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。 解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程根，则因为所以

，

，

。 的两个实数

解得

所以k的最小值是

四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知

。若

，则

为整数，且

的最大值为_________。

解：由而由所以，当

得和时，

可知

，代入

的整数。 取得最大值，为

得。

。

七. 借助几何图形法

例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数值是________。 解：显然，若

，则

。因而，当

的最小

取最小值时，必然有。

如图1，作线段AB=4，

令OA=x，则

。

，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，

那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1

设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，

。作EF//AB与DB的延长线交于F。 在易知所以，因此，函数八. 比较法

。

的最小值为5。

中，

，

例9. （2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包成，需付180000元；由乙、丙两队承包

天完

天完成，需付150000元；由甲、丙

两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 解：设甲、乙、丙单独承包各需

天完成，则

解得

元，则

又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付

解得

于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。 B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√ C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错 C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√ C成本报表是对外报告的会计报表。× C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。× C成本会计的对象是指成本核算。× C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√ C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本 中。× D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。× F“废品损失”账户月末没有余额。√ F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√) G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错 G工资费用就是成本项目。(×) G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对 J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√) J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×) J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对 J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√ J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错 K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。× Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×) W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对 Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对 Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×) Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对 Z直接生产费用就是直接计人费用。X Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√ A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。 A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

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