二种基本初等函数

二种基本初等函数

课前回顾：

1.求解析式的几种方法：

2.函数的周期性的几种规律：

3函数对称性的几种形式：

新课讲解：

（★★★）一.指数的运算与指数函数的概念及运用：

1.指数运算法则：（1）aa?arrrrsr?s；

（2）ar

??

s?ars；

（3）?ab??ab； （4）a?nam； （5）a?mnmn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶2.指数函数的概念：形如y?ax（a>0,a≠1）的函数。

3.指数函数的性质及图像：

指数函数 01 图 象 表达式 y?ax 定义域 R 值 域 (0,??) 过定点 (0,1) 单调性

单调递减 单调递增 题型分类：

（★）（一）指数

21、化简［3(?5)］的结果为 （ ）

34 A．5

B．5 C．－5

D．－5

32、将?22化为分数指数幂的形式为（ ）

1213 A．?2 B．?2 C．?23?12 D．?2

563、化简

3ab2?a3b21612(a, b为正数)的结果是（ ）

b?(ab)4

B．ab

C．

A．

b aa b

D．a2b

11111???????????????4、化简?1?232??1?216??1?28??1?24??1?22?，结果是（ ）

??????????1??1?32A、?1?2?2???13?1111???????1 3232321?21?21?2B、? D、?? C、?

2?????15、0.027231231?(?)?2?2564?3?1?1=__________．

736、

aabb1?a?1b?1?3?()=__________．

ba22710?37?207、(2)2?0.1?(2)3?3??=__________。

9274818、(ab)(?3ab)?(a6b6)=__________。

3231212131516?109、 =__________。 （2?3）?（22）?（4）2?42?80.25?（?2005）493643

10、已知x?

121?22ab1ab(?),(a?b?0),求的值。

22bax?x?111、若x?x?3，求

x?x?3的值。

x2?x?2?232?32（★★★）（二）指数函数

一、指数函数的定义问题

1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）

A、na(1?b%) B、a(1?nb%) C、a[1?(b%)n] D、a(1?b%)n 2、若f(52x?1)?x?2，则f(125)? 。

3、若10A、

2x?25，则10?x等于 （ ）

1111 B、? C、 D、 55625504、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格

比较，变化的情况是（ ）

A、减少7.84% B、增加7.84% C、减少9.5% D、不增不减 5、已知指数函数图像经过点p(?1,3)，则f(3)?

二、指数函数的图像问题

1、若函数y?a?(b?1)(a?0,a?1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）

x A．a?1且b?0 B．0?a?1且b?0 C．0?a?1且b?0 D．a?1且b?1 2、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______________

3、直线y?3a与函数y?a?1(a?0且a?1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________。

x4、函数f(x)??a2?1?在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）

xA、a?1 B、a?2 C、a?2 D、1?a?2 5、当x?0时，函数f(x)??a2?1?的值总是大于1，则a的取值范围是

x_____________。

6、若?1?x?0，则下列不等式中成立的是（ ）

A.5?x?1??1??1??1??5x???B.5x????5?xC.5x?5?x???D.???5?x?5x

?2??2??2??2?（ ）

xxxx7、当a?0时，函数y?ax?b和y?bax的图象只可能是

8、函数f(x)?ax?b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是

A．a?1,b?0 B．a?1,b?0

（ ）

C．0?a?1,b?0 D．0?a?1,b?0

三、定义域与值域问题

1、求下列函数的定义域和值域

112x2?2（1）y?x （2）y?()

2?13

（3）y??? （4）y???

?1??2?1x?1??2??x2?x?2

?1?（5）y????2?

x?1x?12x （6）y? x1?22、下列函数中，值域为?0,???的函数是（ ）

?1?A.y?3 B.y?2?1 C.y?2?1 D.y????2?xxx22x2?x

3、设集合S?{y|y?3,x?R},T?{y|y?x?1,x?R}，则S?T是 （ ）

A、? B、T C、S D、有限集

4、函数f(x)＝1?2x的定义域是 （ ）

A、???,0? B、[0，＋∞） C、（－∞，0） D、（－∞，＋∞）

5、若函数f?x??2x2?2ax?a?1的定义域为R，则实数a的取值范围 。

6、若函数x2?2x?3?0，求函数y?2x?2?2?4x的最大值和最小值。

7、已知x???3,2?，求f(x)?

11??1的最小值与最大值。 4x2x8、如果函数y?a2x?2ax?1(a?0且a?1)在??1,1?上的最大值为14，求实数a的值。

9、若函数y?4x?3?2x?3的值域为?1,7?，试确定x的取值范围。

四、比较大小问题

?1?0.90.481、设y1?4,y2?8,y3????2??1.5，则 （ ）

A、y3?y1?y2 B、y2?y1?y3 C、y1?y3?y2 D、y1?y2?y3 2、设a?()1.5,b?()?1.2.那么实数a、b与1的大小关系正确的是 ( )

2233A. b?a?1 B. a?b?1 C. b?1?a D. a?1?b

12?11?2?3、2,??,33的大小顺序有小到大依次为_____________。

?3?4、设0?a?b?1,则下列不等式正确的是（ ）

A.aa?bb B.ba?bb C.aa?ba D.bb?aa

五、定点问题

函数y?ax?3?3(a?0且a?1)的图象恒过定点____________。

六、单调性问题。 1、函数y???xx2?2x?1??2?的单调增区间为_____________

2、函数f(x)?a(a?0且a?1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大3、函数f(x)?2x2?2(a?1)x?1a，则a=__________ 2在区间[5,??)上是增函数，则实数a的取值范围是 ( )

A. [6,+?) B. (6,??) C. (??,6] D. (??,6)

ax?1?bx?1(a?0,b?0,a?b)的单调性为（ ） 4、函数f(x)?xxa?b

A．增函数

B．减函数

2

?3x?2C．常数函数 D．与a, b取值有关

5、设0?a?1，解关于x的不等式a2x

6、 已知函数f(x)?2?2x?x?a2x2?2x?3。

.

(Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: f(x)是区间 (0,??)上的增函数； (Ⅱ) 若f(x)?5?2?x?3，求x的值.

?1?7、已知函数y????3?x2?2x?5，求其单调区间及值域。

七、函数的奇偶性问题

1、如果函数f(x)在区间?2,4a?2a上是偶函数，则a=_________

2x?12、函数y?x是（ ）

2?1??A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

13、若函数f(x)?a?x是奇函数，则a=_________

4?114、若函数f(x)?a?x是奇函数，则a=_________

4?12??5、F(x)??1?x??f(x)(x?0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )

?2?1?A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数

26、设函数f(x)?a?x,

2?1(1) 求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;

(2) 确定a的值,使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域.

。

（★★★）二.对数的概念及对数的运算公式

1、对数的运算：

1、互化：a?N?b?logaN 2、恒等：alogaNb?N

logca3、换底： logab?logcb 推论1 logab?1 推论2 logab?logbc?logac logbann 推论3 logamb?mlogab(m?0)

M4、logaMN?logaM?logaN log?aNloagM?laoNg

5、logaMn?n?logaM

2对数函数：形如y?logax的函数（a>0,a≠1）

a>1 对数函数 0

类型一：对数的基本运算 例1：化简下列式子

112?lg0.81?lg0.008223(1)、 (2)、?lg2??lg5?lg20

lg2?lg9

(3)、

?log43?log83??(log35?log95)?(log52?log252)

2、已知

logax?2,logbx?3,logcx?6求 logabcx的值．

类型二：指数，对数的混合运算

指数函数y?a(a?0,a?1)与对数函数y?logaxx(a?0,a?1)的图象与性质

函数a图y=ax01y01yx=1axO1x1y=1a1x1Ox象定义域值 域过定点OO1(- ?,+?) (0,+?)(0,1)，即x =0时，y=1.(0,+?)(- ?,+?)(1,0)，即x=1时，y=0.00;x>1时，y<0.在(0,+?)内是 减函数01时，y>0.在(0,+?)内是 增函数

x<0时，y>1;x<0时,00时，00时，y>1.单调性在(- ?,+?)内是在(- ?,+?)内是 减函数 增函数例1、若loga2?m,loga3?n,则a3m?2n?_________

例2、若a?1且0?b?1，则不等式a例3、已知3?5?A,且

ablogb(x?3)?1的解集为________

11??2，则A的值是________ ab

类型三：对数函数的定义域与解析式

注意复合函数的定义域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数

y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域。

y?1log1(2?x)2例1、函数的定义域是____________

5f(log3(x?))?2x?22例2、已知，则f(0)=___________

例3、已知

f(x6)?log2x，那么f(8)=____________

类型四：对数函数的值域

注意复合函数的值域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数

y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域和值域。

y?log1(x2?6x?17)例1. 函数

2的值域是________

1f(x)?loga]上的最大值与最小值之差为2，则ax在区间[a,2例2. 设a?1，函数

a=___________

f(x)?ax?logx?1)[0,1]a(例3. 函数在上最大值和最小值之和为a，则a的值为

_______________

类型五：对数函数的单调性、奇偶性

2例1、函数的单调递增区间是_______ ; 函数的递

增区间是_______________

例2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )

y?lgxy?log1(x2?3x?2)y?log1(x?1)A.

2 B.

y?log2x2?1

C.

y?log31y?log1(x2?4x?3)x D.3

?2?y?lg??1??1?x?的图像关于………………………………………………………( ) 例3、函数

A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线y?x对称 例4、函数

f(x)?lg?x2?1?x?是 （奇、偶）函数。

10x?10?xf(x)?x10?10?x，判断f(x)的奇偶性和单调性。 例5、已知函数

类型六：对数中的不等关系

比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小 例1、设

a?log0.70.8b?log20.9c?log45，则a,b,c的大小关系是_______

2a?lge,b?(lge),c?lge,则a,b,c的大小关系是_______ 例2、设

例3、如果

log3?1m5，那么m的取值范围是______

例4、如果( )

loga3?logb3?0，那么a,b的关系是…………………………………………

A. 0?a?b?1 B. 1?a?b C. 0?b?a?1 D. 1?b?a 例5、已知例6、若

loga(x2?1)?loga(2x?4)?0，则不等式解集为_______

f(x)?logax在[2,??)上恒有f(x)?1，则实数a的取值范围是________

类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）

2f(x)?lg(?a)1?x例1、 设是奇函数，则使f(x)?0的x的取值范围是________

例2、已知集合

其中c= ______.

例3、若

A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，

x1满足2x+2=5,

xx2满足2x+2log2(x?1)=5,

x1x2+

＝………………………( )

57 A.2 B.3 C. 2 D.4

课堂练习

1．若loga＜0，?12?2??b

＞1，则

A．a＞1，b＞0

B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

2．设a＝log132，b＝log11

23，c＝?1?2??0.3，则 A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．b＜c＜a

D．b＜a＜c

lg 3＋23

3.求值：5lg 9＋5

lg 27－lg3lg 81－lg 27

4、已知函数f(x)?ax?1ax?1(a?1), (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明f(x)是R上的增函数

回家作业

1．已知函数f(x)＝???log3x ?x＞0?

??2x ?x≤0?

则f??f?1?9????

＝( )

A．4 B.14 C．－4 D．－1

4

( )

( )

2 .已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程

3．函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(x)成立，当x∈[0,1]

4. 已知函数f(x)?x?bx?c满足f(1?x)?f(1?x)，且f(0)?3，则f(b)与f(c)的大小关系是_____．

2xxf(x)＝log3|x|的根的个数是 A．2

B．3

( )

C．4 D．多于4

时，f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．

(1)当x∈[－1，－1]时，求f(x)的表达式；

11

(2)若f(x)的最大值为，解关于x∈[－1,1]的不等式f(x)＞.

24

5、比较下列各组数的大小：

（1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若

，比较 ，比较 ，比较

与 与 与 ，且 ，且

； ； ；

，比较a与b； ，比较a与b．

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