结构化学基础习题答案 周公度 第4版

01.量子力学基础知识

【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1

为单位的能量。 解：81

141

2.99810m s 4.46910s 670.8m c

νλ--??===?

41

711 1.49110cm 670.810cm νλ--===??

3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N s ν--==??????=?

【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1

，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解：2

012hv hv mv =+

()12

01812

341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J

s s m kg υ------??=???????????-??? ??????=??????

? 1341412

31512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----??????=?????=? 【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：

（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m ·s -1

的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子；

（c ） 动能为300eV 的自由电子。

解：根据关系式：

(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----??===???

34-11 (2) 9.40310m

h p λ-=

===

?

3411(3) 7.0810m

h p λ--====? 【1.6】对一个运动速度c υ（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导： 1v v v v 2h h E m p m νλ=====①②

③④⑤ 结果得出12m m υυ=的结论。上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：

/E hv

p h λ== 式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：

p m υ=

知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：

/u v λ=

式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了/u v λ=，显然是错的。

在④中，E hv =无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。若计及E 中的势能，则⑤也不正确。

【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m ·s -1

）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m ·s -1）、原子中电子（速度1000 m ·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？

解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：

子弹：343416.2610 6.63100.01100010%h J s x m m v kg m s ---???===??????

尘埃：3425916.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s ----???===??????

花粉：34201316.62610 6.631010110%h J s x m m v kg m s ----???===?????? 电子：3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s ----???===???????

【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υ?为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？

解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为

：34

102/10%3.8810h x m m eV m m

υ--=

=?==? 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m -）观察不到电子衍射（用100000V 电

压加速电子）。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：

9911 1.22610/1.2261010000

1.22610x h h x m p h V

m m λ---=

==?=?=? 这不确定度约为光学光栅周期的10

－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5

倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：若电子位置的不确定度为10－

6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：

3462816.62610106.62610x h J s p x m J s m ----??==?=?

在104V 的加速电压下，电子的动量为： 2315.40210x x p m J s m υ--====? 由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：

2812315

arcsin arcsin 6.62610arcsin 5.40210arcsin100x

x

o

p p J s m J s m θθ-----?==??? ????

≈ 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子

衍射。 【1.11】2ax xe ?-=是算符2

2224d a x dx ??- ??

?的本征函数，求其本征值。 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得： 222

22222244ax d d a x a x xe dx dx ψ-????-=- ? ?????

()2222224ax ax d xe a x xe dx --=-

()

22222222232323242444ax ax ax

ax ax ax ax d e ax e a x e dx axe axe a x e a x e -------=--=--+-

266ax

axe a ψ

-=-=-

因此，本征值为6a -。 【1.12】下列函数中，哪几个是算符2

2d dx 的本征函数？若是，求出本征值。

3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x +

解：2x 2d e d x =，x e 是2

2d d x 的本征函数，本征值为1。

22

d sin x 1sin x,d x =?sin x 是2

2d d x 的本征函数，本征值为1。 2

2d (2cos x )2cos x d x =

【1.13】im e φ和cos m φ对算符d

i d φ是否为本征函数？若是，求出本征值。

解：im im d i e ie d φφ

φ=，im im me φ=-

所以，im e φ是算符d

i d φ的本征函数，本征值为m -。

而()cos sin sin cos d i m i m m im m c m d φφφφ

φ=-=-≠

所以cos m φ不是算符d

i

d φ的本征函数。 【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为

(

)n n x x l π?= 1,2,3n =??? 式中l 是势箱的长度，x 是粒子的坐标)x l <，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

222n 222h d n πx h d n πx ?H ψ(x )-)-)8πm d x l 8πm d x l ==

(sin )n n n x l l l πππ=?-

22222

222()88n h n n x n h x m l l ml ππψπ=-?= 即：

2228n h E ml = （2）由于??x

()(),x n n x c x ψψ≠无本征值，只能求粒子坐标的平均值： ()()x l x n sin l x l x n sin l x x ?x x l *l n l *n d 22d x 000??????? ?????? ??==ππψψ ()x l x n cos x l dx l x n sin x l l l d 22122002??????? ??-=??? ??=ππ

2

000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ????=-+?? ??????

2l =

（3）由于

()()??p ,p x n n x x c x ψψ≠无本征值。按下式计算p x

的平均值

: ()()1

*0?d x n x n p x p x x ψψ=?

0d 2n x ih d n x x l dx l πππ?=- ?? 20sin cos d 0l nih n x n x x l l l ππ=-=? 【1.16】求一维势箱中粒子在1?和2?状态时，在箱中0.49~0.51l l 范围内出现的概率，并与图1.3.2（b ）相比较，讨论所得结果是否合理。

解：（a ）(

)1x x l πψ= ()22

12sin x x l l πψ=

(

)22x x l πψ=

()22222sin x x l l πψ= 由上述表达式计算()21x ψ和()22x ψ，并列表如下：

/x l 0

1/8 1/4 1/3 3/8 1/2 ()21

1/x l ψ- 0

0.293 1.000 1.500 1.726 2.000 ()212/x l ψ- 0

1.000

2.000

1.500

1.000

/x l

5/8 2/3 3/4 7/8

1 ()211/x l ψ-

1.726 1.500 1.000 0.293 0 ()212/x l ψ-

1.000

1.500

2.000

1.000

根据表中所列数据作()2

n x x ψ-图示于图1.16中。

图1.16

（b ）粒子在1ψ状态时，出现在0.49l 和0.51l 间的概率为：

()0.512

110.49l

l

P x dx

ψ=

?

2

0.510.49l

l x dx l π?=????

0.5120.490.510.492sin 22sin 24l

l

l

l

x dx

l l x l x l l πππ=??=-?????

()

0.510.4912sin

21

0.02sin1.02sin 0.9820.0399l

l

x x l l πππππ

??=-????=--=

粒子在ψ2状态时，出现在0.49l 和0.51l 见的概率为：

x / l

ψ2

1 (x )/l

-1

ψ2

2x /l

-1

x / l

(

)0.512220.4920.510.490.5120.490.510.490.510.49222sin 24sin 2814sin 40.51140.510.49140.49sin sin 440.0l

l l l l l

l l

l

l

P x dx x dx

l x dx l l x l x l l x x l l l l l l l l l l ψππππππππππ=

?=???

=??=-??????=-??????????=--- ? ?????

≈???001 （c ）计算结果与图形符合。

【1.17】链型共轭分子22CH CHCHCHCHCHCHCH 在长波方向160nm 处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。

解：该分子共有4对π电子，形成8n π离域π键。当分子处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，π电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE ＝E 5－E 4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm 处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得： ()2

2218hc h E n ml λ?==+ 因此：

()()12

13492

3181218241 6.626104601089.10910 2.988101120n h l mc J s m kg m s pm λ----+??=???????+????=????????= 计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。

【1.18】一个粒子处在a b c ==的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h 2/(8ma 2)为单位]，计算每个能级的简并度。

解：质量为m 的粒子在边长为a 的立方箱中运动，其能级公式为：

()2222,,28x y z n n n x y z h E n n n ma =++

E 222E 113=E 131=E 311

E 122=E 212=E 221

1113E =

1121212116E E E ===

E 122=E 212=E 221=9 E 113=E 131=E 311=11 E 222=12

【1.19】若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示其运动特征：

估计这一势箱的长度 1.3l nm =，根据能级公式222

/8n E n h ml =估算π电子跃迁时所吸收

的光的波长，并与实验值510.0nm 比较。

H 3C

N C C C

C C

C C

N

CH 3

CH 3

H H

H

H

H H

H CH 3

解：该离子共有10个π电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个

π型分子轨道上。离子受到光的照射，π电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最

低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：

22222

652226511888hc

h h h E E E ml ml ml λ?==-=-=

()

22

31

8

1

9

3481189.109510 2.997910 1.31011 6.626210506.6mcl h

kg m s m J s

nm

λ----=

??????=

??=

实验值为510.0nm ，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。

【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：

22

22

8n n h E mR π= 0,1,2,3,n =±±±???

式中n 为量子数，R 是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中6

6π离域π键，取R=140pm ，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。

解：由量子数

n 可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个π电子填入n=0，1，1-等3个轨道，如图1.20所示：

图1.20苯分子66π能级和电子排布

()22122418h hc E E E mR πλ-?=-==

()()()()

222

23110813498389.1110 1.4010 2.998103 6.6261021210212mR c h

kg m m s J s m nm πλπ-----=??????=??=?=

实验表明，苯的紫外光谱中出现β，Γ和α共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm ，208.0nm 和263.0nm ，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于π电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。

【1.21】函数(

)/)/)x x a x a ?ππ=-是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。

解

数是长度为a 的

中粒子的一种可能状态。因为函数()1s i n (/)x x a ψπ=和()2/)x x a ψπ=都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。

因为()()()1223H x H x x ψψψ∧∧=-????

()()1223H x H x ψψ∧∧=-

()()22

122242388h h x x ma ma ψψ=?-? ≠ 常数()x ψ? 所以，()x ψ不是H ∧的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。

将()x ψ归一化：设()'x ψ=()c x ψ，即：

(

)()()22'

22000

a a a x dx c x dx c x dx ψψψ==??? 2

202a x x c dx a a ππ??=- ? ???? 2131c == 2113c = ()x ψ所代表的状态的能量平均值为：

()()''0

a E x H x dx ψψ∧=?

222202238a m x x h d a a dx πππ????=-- ? ? ??

????

22s i n s i n x x dx a a ππ??- ? ???

222222

2233200015292sin sin sin sin 2a a a c h x c h x x c h x dx dx dx ma a ma a a ma a ππππ=-+???

222

225513c h h ma ma == 也可先将()1x ψ和()2x ψ归一化，求出相应的能量，再利用式

2i i E c E =∑求出()x ψ所代表的状态的能量平均值：

222222

222224049888h h c h E c c ma ma ma =?+?=22401813h ma =?2

2513h ma =

02 原子的结构和性质

【2.3】对于氢原子：

(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。

(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i ）处于基态的另一氢原子电离？（ii ）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为197.4410J -?）？

(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。

解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出： 18212.1810n E J n -=-??

式中n 是主量子数。

第一激发态(n ＝2)和基态(n ＝1)之间的能量差为：

1818181212211( 2.1810)( 2.1810) 1.641021E E E J J J ---?=-=-??

--??=?

原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为： 81341181(2.997910)(6.62610)1211.6410ch m s J s nm E J λ---?????===??

第六激发态(n ＝7)和基态(n ＝1)之间的能量差为： 1818186712211( 2.1810)( 2.1810) 2.141071E E E J J J ---?=-=-??--??=?

所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：

81346186(2.997910)(6.62610)92.92.1410ch m s J s nm E J λ---?????===??

这两条谱线皆属Lyman 系，处于紫外光区。

（b ）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：

ΔE ∞=E ∞-E 1=-E 1=2.18×10-18

J

而 ΔE 1=1.64×10-18J<ΔE ∞

ΔE 6=2.14×10-18J<ΔE ∞

所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是

ΔE 1>ФCu =7.44×10-19J

ΔE 6>ФCu =7.44×10-19J

所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。

（c ）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：

h h p mv λ=

==

式中ΔE 为照射到晶体上的光子的能量和ФCu 之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长： 34'1131181926.62610519(29.109510)(1.64107.4410)J s pm

kg J J λ----??=

=??????-???

34'6131181926.62610415(29.109510)(2.14107.4410)J s pm kg J J λ----??=

=??????-???

【2.4】请通过计算说明，用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为1120pm 的线型分子22CH CHCHCHCHCHCHCH ，该分子能否产生吸收光谱。若能，计算谱线的最大波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。

解：氢原子从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产生的光子的能量为：

22114813.59513.59513.5957149H E eV eV eV ???=-?

--?=? ???

6113.32 1.28510eV J mol -≈≈?

而22CH CHCHCHCHCHCHCH 分子产生吸收光谱所需要的最低能量为：

822222

54222549888C h h h E E E ml ml ml ?=-=-=?

()

()2

34231129 6.6261089.109510112010J s kg m ---??=???? 194.28210J -=?

512.57910J mol -=?

显然8H C E E ?>?，但此两种能量不相等，根据量子化规则，22CH CHCHCHCHCHCHCH 不能产生吸收光效应。若使它产生吸收光谱，可改换光源，例如用连续光谱代替H 原子光谱。此时可满足量子化条件，该共轭分子可产生吸收光谱，其吸收波长为：

()()

34812

34231126.62610 2.998109 6.6261089.109510112010hc J s m s E J s kg m λ-----???==??????? 460nm =

【2.5】计算氢原子1s ψ在0r a =和02r a =处的比值。

解：氢原子基态波函数为：

03/2101r

a s e a ψ-??=?? 该函数在r=a 0和r=2a 0处的比值为：

00003/21

03/22201 2.718281a a a a e a e e e e a ----?????==≈????

而21s ψ在在r=a 0和r=2a 0处的比值为： e 2

≈7.38906 【2.9

】已知氢原子的

200exp z

p r r a a ????=-??????cos θ，试回答下列问题： (a)原子轨道能E=? (b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=?

(c)轨道角动量M 和z 轴的夹角是多少度？

(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。

(e)节面的个数、位置和形状怎么样？

(f)概率密度极大值的位置在何处？

(g)画出径向分布示意图。

解：（a ）原子的轨道能：

1819212.1810J 5.4510J 2E --=-??

=-?

（b ）轨道角动量：

M ==

轨道磁矩：

e μ=

（c ）轨道角动量和z 轴的夹角：

02cos 02z h

M h M πθπ?

===， 90θ= （d ）电子离核的平均距离的表达式为：

*22?z z p p r r d ψψτ=?

22220

00sin z p r r drd d ππψθθφ∞

=???? （e ）令20z p ψ=，得：

r=0，r=∞，θ=900

节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故2z p ψ的节面只有一个，即xy 平面（当然，坐标原点

也包含在xy

平面内）。亦可直接令函数的角度部分0Y θ==，求得θ=900。

（f ）几率密度为：

022223001cos 32r a z

p r e a a ρψθπ-??== ??? 由式可见，若r 相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令sin 0ψθθ?=-=?，θ=00或θ

=1800），以0ρ表示，即：

02

03001(,0,180)32r a r r e a a ρρθπ-??=== ???

将0ρ对r 微分并使之为0，有：

023000132r a d d r e dr dr a a ρπ-??????= ???????

050012032r a r re a a π-??=-= ??? 解之得：r=2a 0（r=0和r=∞舍去）

又因： 02022|0r a d dr ρ=<

所以，当θ=00或θ=1800，r=2a 0时，22z

p ψ有极大值。此极大值为： 002

2

203300021328a a m a e e a a a ρππ--??== ???

336.4nm -= （g

）002522222425001124z

r r a a p D r R r re r e a a --?????===?????

根据此式列出D-r 数据表： r/a 0

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 D/10a -

0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134 r/a 0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 D/

10a

-

0.091

0.057

0.034

0.019

1.02×10-2

5.3×10-3

按表中数据作出D-r 图如下：

D (r )/a -1

r/a

图2.9 H 原子

2z

p

ψ的D-r 图

由图可见,氢原子2z p ψ的径向分布图有n-l ＝1个极大(峰

)和n-l-1＝0个极小(节面)，这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r ＝4a 0处。这与最大几率密度对应的r 值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n 和l 有关而与m 无关，2p x 、2p y 和2p z 的径向分布图相同。

【2.10】对氢原子，121022113311c c c ????=++，所有波函数都已归一化。请对?所描述的状态计算：

(a)能量平均值及能量 3.4eV -出现的概率； (b)/2π出现的概率；

(c)角动量在z 轴上的分量的平均值及角动量z 轴分量/h π出现的概率。 解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子ψ所描述的状态： (a)能量平均值

2222

112233

i i i

E c E c E c E c E ==++∑

222123222

11113.613.613.6223c eV c eV c eV ??????=-?+-?+-? ? ? ??????? ()222123

13.613.649c c eV c eV =-+-

()222

1233.4 3.4 1.

5c c c e V =-++

能量 3.4eV -出现的概率为

22221212222123c c c c c c c +=+++ (b)角动量平均值为

2222112233i i M c M c M c M c M ==++∑

1c =++

1c c c =++

()2221232c c c π=++ 角动量2π出现的概率为

2231231c c c ++= (c)角动量在z 轴上的分量的平均值为

222111

2233222z i zi i h h h M c M c m c m c m πππ==++∑ ()()222221232301122h h c c c c c ππ??=?+?+?-=-?? 角动量z 轴分量h/π出现的概率为0。 【2.13】写出He 原子的Schr?dinger 方程,说明用中心力场模型解此方程时要作那些假设,计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和轨道磁矩.

解：He 原子的Schrodinger 方程为：

()222221220120122111844h e e E m r r r ψψππεπε????-?+?-++=?? ?????

式中1r 和2r 分别是电子1和电子2到核的距离，12r 是电子1和电子2之间的距离，若以原子单位表示，则He 原子的Schrodinger 方程为：

()2212121212212E r r r ψψ??-?+?--+=????

用中心力场解此方程时作了如下假设：

(1)将电子2对电子1（1和2互换亦然）的排斥作用归结为电子2的平均电荷分布所产生的一个以原子核为中心的球对称平均势场的作用（不探究排斥作用的瞬时效果，只着眼于排斥作用的平均效果）。该势场叠加在核的库仑场上，形成了一个合成的平均势场。电子1在此平均势场中独立运动，其势能只是自身坐标的函数，而与两电子间距离无关。这样，上述Schrodinger 方程能量算符中的第三项就消失了。它在形式上变得与单电子原子的Schrodinger 方程相似。

(2)既然电子2所产生的平均势场是以原子核为中心的球形场，那么它对电子1的排斥作用的效果可视为对核电荷的屏蔽，即抵消了σ个核电荷，使电子1感受到的有效电荷降

低为()2e σ-。这样，Schrodinger 方程能量算符中的吸引项就变成了

12r σ

--

，于是电子1的单电子Schrodinger 方程变为：

()()21111112112E r σψψ??

--?-=????

按求解单电子原子Schrodinger 方程的方法即可求出单电子波函数1(1)ψ及相应的原子轨道

能1E 。

上述分析同样适合于电子2，因此，电子2的Schrodinger 方程为：

()()22222212222E r σψψ??--?-=????

电子2的单电子波函数和相应的能量分别为()22ψ和2E 。He 原子的波函数可写成两单电子

波函数之积：

()()()121,212ψψψ= He 原子的总能量为：

12E E E =+ He 原子激发态()()

1

1

22s p 角动量加和后L=1，故轨道角动量和轨道磁距分别为：

L M ==

c c

μ==

【2.15】Li 原子的3个电离能分别为I 1=5.39eV ,I 2=75.64eV ,I 3=122.45eV,请计算Li 原子的1s 电子结合能.

解：根据电子能的定义，可写出下列关系式： Li （1s 2

2s 1

）→Li +（1s 22s 0）

()()

202

1

11212L i s s

L i s s E E I

+-= （1） Li +

（1s 2

2s 0

）→Li 2+（1s 12s 0）

(

)

(

)

21

2

2

1

21

2L i s s

L i s

s E E I ++-= （2） Li 2+

（1s 1

2s 0

）→Li 3+

（1s 0

2s 0

）

(

)

()

3002

1

3

1

21

2L i s s

L i s

s E E

I ++-= （3）

根据电子结合能的定义，Li 原子1s 电子结合能为：

()()112111212s Li s s Li s s E E E +??=-- ?

?? 而()()112

2

221230.85313.613.612Li s s E eV eV +-=-?-?

138.17eV =- （4）

()

()()2112312 5.3975.64122.45Li s s E I I I eV

=-++=-++

203.48eV =- （5） 所以

[]1(4)(5)(5)(4)s E =--=-

()203.48138.1765.3eV eV eV =---≈-

或

()()2121121Li s s Li s E E I +-=-

()()21211Li s Li s E E I ++-=-

()()2211112Li s Li s s E E E ++-=

()()22

2330.8513.613.615.724E eV eV eV σ--=?=?= 1s 电子结合能为： ()()211111212s Li s s Li s s E E E +=-

12E I I =--

15.7 5.3975.6465.3eV eV eV eV =--=-

【2.16】已知He 原子的第一电离能I1=24.59eV ,试计算:

(a)第二电离能;

(b)基态能量;

(c)在1s 轨道中两个电子的互斥能;

(d)屏蔽常数;

(e)根据(d)所得结果求H -的基态能量.

解：

（a ）He 原子的第二电离能2I 是下一电离过程所需要的最低能量，即： He +（g ）→He 2+（g ）＋c

22He He I E E E ++=?--

0He He E E ++=-=-

He + 是单电子“原子”，He E +可按单电子原子能级公式计算，因而：

2

22213.59554.381He I E eV eV

+??=-=--?= ???

（b ）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤推求He 原子基态的能量： He （g ）→He +（g ）＋e 1He He I E E +=-

（1） He +（g ）→He 2+（g ）＋e 22He He I E E ++

=- （2） 由（1）式得：

1

He He E E I +=-

将（2）式代入，得： 2121

He He He E E I E I I ++=-=--

()()12120I I I I =-+=-+

()24.5954.3878.97e V e V e V =-+=-

推而广之，含有n 个电子的多电子原子A ，其基态能量等于各级电离能之和的负值，即：

1n

A i

i E I ==-∑

（c ）用J （s ，s ）表示He 原子中两个1s 电子的互斥能，则：

()2,He He E E J s s +=+ (),2He He J s s E E +=- ()

78.97254.3829.79eV eV eV

=--?-=

也可直接由2I 1I 减求算J （s ，s ），两法本质相同。

（d ）

()2

2

213.59521He

E eV σ??-=-????????

()()1

122

78.972213.595213.5952He

E eV eV eV σ????-=-=-????

-?-?????

2 1.7040.=-≈

（e ）H －

是核电荷为1的两电子“原子”，其基组态为（1s ）2，因而基态能量为：

()2

13.59512

H E eV σ-??=-?-???

()2

13.59510.3

2

13.32eV eV ??=-?-???

=-

【2.17】用Slater 法计算Be 原子的第一到第四电离能,将计算结果与Be 的常见氧化态联系起来.

解：原子或离子 Be （g ）→ Be ＋

（g ）→ Be 2＋

（g ）→Be 3＋

（g ）→Be 4＋

（g ）

组态

1

2

3

4

222

1210

(1)(2)

(1)(2)

(1

)(1

)(1)

I I I I s s s s s s s →→→→电离能

根据原子电离能的定义式

()1n n n A A I E E +-+

=-，用Slater 法计算Be 原子的各级电离能如下：

()()22

122

40.8520.3540.85213.595213.59522I eV eV ??-?--?=--??+???????7.871eV =

()2

22

40.85213.59517.982I eV eV ??-?=--?=??????()2

313.59540.3213.59516154.8I eV eV eV

??=--?-?+?=?? ()2413.5954217.5I eV eV

=-?=

计算结果表明：4321I I I I >>>；2I 和1I 相近（差为10.1eV ），4I 和3I 相近（差为

62.7eV ），而3I 和2I 相差很大（差为136.8eV ）。所以，Be 原子较易失去2s 电子而在化合物中显正2价。

【2.19】写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si; (b)Mn; (c)Br; (d)Nb; (e)Ni

解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋互相抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据 Hund 规则推出原子最低能态的自旋量子数S ，角量子数L 和总量子数J ，进而写出最稳定的光谱支项。

（a ） Si ：[]2233Ne s p 101↑↑-

301,1;

1,1;0;S L m S m L L S P ====-= （b ） Mn ：[]2543Ar s d 2

1012↑↑↑↑↑-- 65/2555,;0,0;;222S L m S m L L S S ====-=

（c ） Br ：

[]2105434Ar s d p 101↑↑↓↑↓- 23/2113,;1,1;;222S L m S m L L S P ====+=

（d ） Nb ：[]1454Kr s d 21012↑↑↑↑--

61/2551,;2,2;;222S L m S m L L S D ====-=

（e ） Ni ：[]2843Ar s d 21012

↑↓↑↓↑↓↑↑-- 341,1;3,3;4,S L m S m L L S F ====+=

【2.20】写出Na 原子的基组态、F 原子的基组态和碳原子的激发态（1s 22s 22p 13p 1）存在的光谱支项符号。

解：Na 原子的基组态为2261(1)(2)(2)(3)s s p s 。其中1s ，2s 和2p 三个电子层皆充满电

子，它们对对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na 原子的轨道角动量和自旋

角动量仅由3s 电子决定：120,L S ==，故光谱项为2S ；J 只能为12，故光谱支项为21/2S 。

F 原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5。与上述理由相同，该组态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5组态。根据等价电子组态的“电子----空位”关系，(2p)5组态与(2p)1组态具有相同的项谱。因此，本问题转化为推求(2p)1组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，

12,1S L ==，故光谱项为2P 。又31221J =+=或11221J =-=，因此有两个光谱支项：23/2

P 和2

1/2P

。 对C 原子激发态（1s 22s 22p 13p 1），只考虑组态(2p)1 (3p)1即可。2p 和3p 的电子是不等价电子，因而(2p)1 (3p)1组态不受Pauli 原理限制，可按下述步骤推求其项谱：由121,1l l ==得

2,1,0L =；由1

11222,s s ==得1,0S =。因此可得6个光谱项：333111,,,,,D P S D P S 。根

据自旋----轨道相互作用，每一光谱项又分裂为数目不等的光谱支项，如3D ，它分裂为3332,D D 和31D 等三个支项。6个光谱项共分裂为10个光谱支项：33333331113212101210,,,,,,,,,D D D P P P S D P S 。

【2.21】基态Ni 原子的可能的电子组态为：（a ）[Ar]3d 84s 2; (b)[Ar]3d 94s 1，由光谱实验确定

其能量最低的光谱支项为3F 4。试判断它是哪种组态。

解：分别求出a ，b 两种电子组态能量最低的光谱支项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。

组态a ：1,1;3,3;4S L m S m L L S ====+=。因此，能量最低的光谱支项为3

4F ，与

光谱实验结果相同。

组态b ：1,1;2,2;3S L m S m L L S ====+=。因此，能量最低的光谱支项为33D ，

与光谱实验结果不同。

所以，基态Ni 原子的电子组态为[]82

34Ar d s 。

03 共价键和双原子分子的结构化学

【3.8】画出NO 的分子轨道示意图，计算键级及自旋磁矩，试比较NO 和NO +

何者的键更强？哪一个键长长一些？

解：NO 的价层分子轨道能级示意图如图3.8所示。

键级1

(83) 2.52=-=

图3.8 NO 价层分子轨道能级图

不成对电子数为1，自旋磁矩1(12) 1.73e e μββ=+=。

由于NO +失去了1个反键的2π电子，因而键级为3，所以它的化学键比NO 化学键强。相应地，其键长比NO 的键长短。

【3.9】按分子轨道理论写出NF ，NF +，NF -

基态时的电子组态，说明它们的不成对电子数和磁性（提示：按类似2O 的能级排）。

解：NF ，NF +和NF -

分别是O 2，2O +和2O -

的等电子体，它们的基态电子组态、键级、

不成对电子数及磁性等情况如下： “分子” 基态电子组态 键级 不成对电子数 磁性 NF 22242(1)(2)(3)(1)(2)KK σσσππ 2 2 顺磁性 NF +

22241(1)(2)(3)(1)(2)KK σσσππ 2.5 1 顺磁性 NF -

22243(1)(2)(3)(1)(2)KK σσσππ

1.5

1

顺磁性

【3.13】写出2Cl ，CN 的价电子组态和基态光谱项。 解：2Cl ：()()()()()()()222222

233333333z x y z y n z z p p p p μσσσππππ

0,0S =Λ=，基态光谱项：1

∑。 CN ：()()()()22411213σσπσ

1/2,0S =Λ=，基态光谱项：

2∑。

【3.14】OH 分子于1964年在星际空间被发现。 （a ） 试按分子轨道理论只用O 原子的2p 轨道和H 原子的1s 轨道叠加，写出其电子组态 （b ） 在哪个根子轨道中有不成对电子？

（c ） 此轨道是由O 和H 的原子轨道叠加形成，还是基本上定域于某个原子上？

（d ） 已知OH 的第一电离能为13.2eV ，HF 的第一电离能为16.05eV ，它们的差值几

乎和O 原子与F 原子的第一电离能()15.818.6eV eV 和

的差值相同，为什么？ （e ） 写出它的基态光谱项。

解：（a ）H 原子的1s 轨道和O 原子的2z p 轨道满足对称性匹配、能级相近（它们的能级都约为－13.6eV ）等条件，可叠加形成σ轨道。OH 的基态价电子组态为()()()223

121σσπ。 ()21σ实际上是O 原子的()22s ，而()31π实际上是O 原子的()()1222x y p p 或()()2122x y p p 。因此，OH 的基态价电子组态亦可写为()()()32222s p σσπ。2s σ和2p π是非键轨道，OH 有两对半非键电子，键级为1。

（b ）在1π轨道上有不成对电子。

（c ）1π轨道基本上定域于O 原子。

（d ）OH 和HF 的第一电离能分别是电离它们的1π电子所需要的最小能量，而1π轨道是非键轨道，即电离的电子是由O 和F 提供的非键电子，因此，OH 和HF 的第一电离能差值与O 原子和F 原子的第一电离能差值相等。

（e ）1/2,1S =Λ=，基态光谱项为：2∏

【3.15】79H Br 在远红外区有一系列间隔为1

16.94cm -的谱线，计算HBr 分子的转动惯量和平衡核间距。

解：双原子分子的转动可用刚性转子模型来模拟。据此模型，可建立起双原子分子的Schr?dinger 方程。解之，便得到转动波函数R ψ、转动能级E R 和转动量子数J 。由E R 的表达式可推演出分子在相邻两能级间跃迁所产生的吸收光的波数为：

2(1)B J ν=+

而相邻两条谱线的波数之差(亦即第一条谱线的波数)为： 2B ν?=

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p9bl.html