自控理论 5-1根轨迹的基本概念 5-2绘制根轨迹的基本规则
更新时间:2023-08-16 17:06:01 阅读量: 教学研究 文档下载
- 自动控制理论的理解推荐度:
- 相关推荐
山东大学 自动控制理论课件
第五章 根 轨 迹 法反馈控制系统的全部性质, 反馈控制系统的全部性质,取决于系统的闭 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是s 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是 的低 阶多项式,闭环零点容易求得。对高阶系统, 阶多项式,闭环零点容易求得。对高阶系统,用 解析法求闭环极点是比较困难的。 解析法求闭环极点是比较困难的。 1948年 W.R.Evans提出了 1948年,W.R.Evans提出了直接由开环传递函 提出了直接由开环传递函 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。利 用这一方法可以分析系统的性能, 用这一方法可以分析系统的性能,确定系统应有 的结构和参数。 的结构和参数。 根轨迹法的基础是系统的传递函数, 根轨迹法的基础是系统的传递函数,这一 方法仅使用于线性系统。 方法仅使用于线性系统。
山东大学 自动控制理论课件
§5-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹(The Root Locus) 根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷大时, 是开环系统某一参数由零变化到无穷大时, 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 图5-1为单位反馈的二阶系统 为单位反馈的二阶系统K G( s) = s(0.5 s + 1)
K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )
山东大学 自动控制理论课件
K G( s) = s(0.5 s + 1)
K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )
K1 = (s p1 )(s p2 )
根轨迹增益: 两个开环极点 : p1 = 0, p2 = 2; 根轨迹增益: K 1 = 2 KK1 C ( s) Φ( s ) = = 2 R( s ) s + 2 s + K 1
D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0
特征根
s 1, 2 = 1 ± 1 K 1
山东大学 自动控制理论课件
D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0
特征根 : s1, 2 = 1 ± 1 K 1
K1 s ( s + 2)
K1=0时, s1=0, s2= -2; 时 0<K1<1 时,两个负实根; < 两个负实根; K1=1 时,s1= s2= -1,重根 , 1<K1<∞时,s1,2=-1±j√K1 -1 < 时 - ±注意:一组根对应于同一个 注意:一组根对应于同一个k1; k1一变,一组根变; 一变,一组根变; k1一停,一组根停; 一停,一组根停;
K1: 0 ~ ∞开环极点 : p1 = 0, p2 = 2;jω ω σ -2 -1 -1 0
山东大学 自动控制理论课件
特征根
s1, 2 = 1 ± 1 K 1
K1与特征根的关系: 与特征根的关系:K 1 = 0时, s1 = 0,s 2 = 2
K 1 = 1时, s1 = 1,s 2 = 1K 1 = 2时,s1 = 1 + j,s 2 = 1 jK 1 = ∞时, s1 = 1 + j∞,s 2 = 1 j∞
山东大学 自动控制理论课件
分析: 图5-2分析: 分析 (1) 稳定性 0<K1<∞时, 系统恒稳定。 系统恒稳定。 (2) 稳态性能 型系统, 属Ⅰ型系统,r(t)=1时, ess=0, 时 , 可以从根轨迹上对应的K 而Kv可以从根轨迹上对应的 1值求 得。 (3) 动态性能 当0<K1≤1时,闭环特征根为负实根,阶跃 时 闭环特征根为负实根, 响应为非周期过程; 响应为非周期过程; 当K1>1时,为共轭复根,系统呈欠阻尼
状 时 为共轭复根, 阶跃响应为衰减振荡过程。 态,阶跃响应为衰减振荡过程。
山东大学 自动控制理论课件
K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 本例系统的根轨迹是通过解析求解特征方 程的根做出的, 程的根做出的 , 这对于高阶系统一般是难以实 现的。 现的 。 W.R.Evans研究了系统的闭环特征方程 研究了系统的闭环特征方程 与开环传递函数之间的关系, 指出, 与开环传递函数之间的关系 , 指出 , 通过系统 的根轨迹方程, 由系统开环零极点的分布可以 的根轨迹方程 , 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹。 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹 。
山东大学 自动控制理论课件
二、根轨迹方程 设系统方框图如图5-3所示, 设系统方框图如图 所示, 所示 其闭环传递函数为C ( s) G( s) Φ( s ) = = R( s ) 1 ± G ( s ) H ( s )m
R(s) ±
G(s) H(s)
C(s)
(5 4)
图5-3 反馈控制系统
式中开环传递函数G(s)H(s)可化为如下形式 可化为如下形式 式中开环传递函数G( s) H ( s) = K1 ∏ (s z j )j =1
∏ (s p )i =1 i
n
( 5 5)
式中, 为系统的开环根轨迹增益: 式中 K1为系统的开环根轨迹增益 zj (j=1,2 …,m) 为系统的开环零点; 为开环极点。 为系统的开环零点;pi (i=1,2…,n)为开环极点。 为开环极点
山东大学 自动控制理论课件
系统闭环特征方程 根轨迹方程
D(s)=1±G(s)H(s)=0 (s)H
G ( s ) H ( s ) = m1K1∏ (s z j )j =1 m
或
∏ (s p )i =1 i
n
= m1
(5 7 )
式中“ 中的负反馈极性; 式中“-”号对应于图5-3中的负反馈极性; 号对应于图 中的负反馈极性 “+”号对应于图5-3中的正反馈极性。 号对应于图 中的正反馈极性。 中的正反馈极性 因为G(s)H(s)为复数 为复数, 因为G(s)H(s)为复数,根据等式两边的幅值 和相角应分别相等的条件,可将式( ) 和相角应分别相等的条件,可将式(5-7)改写 成两个方程, 成两个方程,这样就得到了绘制根轨迹方程的两 个基本条件, 个基本条件,即
山东大学 自动控制理论课件
根轨迹的幅值条件K1 ∏ s z jj =1 m
∏ s pi =1
n
=1
或
K1 =
∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m
n
i
(5 8)
i
j
负反馈系统根轨迹的相角条件
∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1 j i =1 i
m
n
( 5 9)
正反馈系统根轨迹的相角条件
∑ ∠( s zj =1
m
j
) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1
n
( 5 10 )
式中 , q = 0 , 1, 2 , L ( 全部为正整数 )。
山东大学 自动控制理论课件
K1 =m n
∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m
n
i
(5 8)
j
∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1m
j
i =1
i
( 5 9)( 5 10 )
∑ ∠( s zj =1
j
) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1
n
满足式( )的根轨迹,称为180°根轨迹; 根轨迹; 满足式(5-9)的
根轨迹,称为 满足式( 满足式(5-10)的根轨迹,则称为 °根轨迹。 )的根轨迹,则称为0 根轨迹。 相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条 绘制根轨迹只要满足相角条件就可以, 件,绘制根轨迹只要满足相角条件就可以,而幅 值条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K 增益 1值。
山东大学 自动控制理论课件
例5-1 单位负反馈系统的开环传递函数为
K 1 ( s + 4) G( s) = s( s + 2)( s + 6.6)
在s平面上取一试验点 s1= -1.5 + j 2.5, 试检验它是否为根轨迹上的点;如果是, 试检验它是否为根轨迹上的点;如果是, 则确定与它相对应的K 值是多少。 则确定与它相对应的K1值是多少。
山东大学 自动控制理论课件
K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) G( s) = = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
解:开环极点为: p1 = 0, p2 = -2, p3 = -6.6 ; 开环极点为: 开环零点为: 开环零点为: z1= -4, s1= -1.5+ j2.5
山东大学 自动控制理论课件
K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) = G( s) = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
根据相角条件∠( s1 z 1 ) ∠( s1 p1 ) ∠( s1 p 2 ) ∠( s1 p 3 ) = 45 0 120 0 79 0 26 0 = 180 0
可知s 确实是根轨迹上的一点。 可知s1确实是根轨迹上的一点。 根据幅值条件s1 p1 s1 p2 s1 p3 K1 = s1 z1 2.9 × 2.6 × 5.8 = = 12.15 3.6
与s1点对应的K1值为12.15 点对应的K 值为12.15
山东大学 自动控制理论课件
§5-2 绘制根轨迹的基本规则绘制180 绘制1800根轨迹的规则规则1: 规则1: 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹对称于实轴, 根轨迹对称于实轴 分支数 = n 规则2: 规则2: 根轨迹的起点和终点 起始于开环极点,其中 其中m条终止于开环有限零 起始于开环极点 其中 条终止于开环有限零 点, n-m 条终止于无穷远处的零点。 条终止于无穷远处的零点。 规则3 规则3:实轴上的根轨迹 在实轴上根轨迹区段的右侧, 在实轴上根轨迹区段的右侧 开环实零点和实 极点数目之和为奇数。 极点数目之和为奇数。
山东大学 自动控制理论课件
规则4 规则4: 根轨迹的渐近线 (1) n-m条渐近线与实轴的夹角为: 渐近线与实轴的夹角为( 2q + 1)π a = n m (q = 0, 1, L n m 1)
∑ p ∑z(2)渐近线与实轴的交点为: σ a = 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴的交点为i =1 i j =1
n
m
j
n m
规则5 根轨迹的分离点、 规则5: 根轨迹的分离点、汇合点 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称 几条根轨迹在 平面上相遇后又分开的点称 为根轨迹的分离点。特别地又把根轨迹同时离开 为根轨迹的分离点。 分离点 实轴的那一点叫分离点, 实轴的那一点叫分离点,同时回到实轴的那一点 汇合点。 叫汇合点。
山东大学 自动控制理论课件
分离点(汇合点) 分离点(汇合点)的坐标可由下列方法确定 方法一 : 极值法 分离点是根轨迹增益的极值点, 分
离点是根轨迹增益的极值点,分离点满 足方程 dK 1 (5 13) =0 ds 方法二: 方法二 试探法 设分离点的坐标为d 设分离点的坐标为d ,则d 满足如下关系n 1 1 ∑d z =∑d p j =1 i =1 j i m
( 5 14)
式中z 为系统的有限开环零点和开环极点。 式中 j、pi为系统的有限开环零点和开环极点。1 若无有限开环零点, 若无有限开环零点,应 在式 ( 5 14)中取 ∑ =0 j =1 d z jm
山东大学 自动控制理论课件
实轴上两开环极点间有根轨迹,则必定存在分 实轴上两开环极点间有根轨迹, 实轴上两开环极点间有根轨迹 离点。 离点。 实轴上两开环零点间有根轨迹,则必定存在汇 实轴上两开环零点间有根轨迹, 实轴上两开环零点间有根轨迹 合点。 合点。 jω ωω 汇合点 σ 分离点
分离(汇合 点上 分离 汇合)点上 根轨迹的切线与正实轴间的夹角 汇合 点上,根轨迹的切线与正实轴间的夹角
( 2q + 1)π (5 15) 分离角 : θ d= r 式中r为分离点处根轨迹的分 支数, (q = 0,1L r 1)
山东大学 自动控制理论课件
规则6 规则6: 根轨迹的出射角和入射角θ pk m n = π + ∑ ∠ pk z j ∑ ∠( pk pi ) j =1 i =1 i≠k
出射角
(
)
入射角
m n θzk = π ∑ ∠ zk z j ∑ ∠(zk pi ) j =1 i =1 j≠k
(
)
规则7 规则7: 根轨迹与虚轴的交点 两法: 用劳斯判据求解; 两法 ①用劳斯判据求解 带入特征方程求解。 ②将 s=jω 带入特征方程求解。
山东大学 自动控制理论课件
例5-3 已知开环传递函数K1 试绘制其根轨迹图。 试绘制其根轨迹图。 G( s)H ( s) = s( s + 1)( s + 2)
解 1. 起点 p1=0, p2= -1, p3= -2, n=3 终点 趋于无穷远处零点 m=0 2. 实轴上 [-1, 0], (-∞, -2] 之间为根轨迹段 (3. 渐近线 n - m = 3 条 倾角 a =σa =( 2q + 1)π = ±60o ,180o 3 (q = 0, 1, 2)
∑ p ∑z交点i =1 i j =1
n
m
j
n m
( 0 1 2) 0 = = 1 3
山东大学 自动控制理论课件
K1 =0 4. 分离点 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + s( s + 1)( s + 2)dK 1 K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) 令 = ( 3 s 2 + 6 s + 2) = 0 ds3 2
解得 s1= -0.423(分离点) 423(分离点)
s2= -1.58 (略去) 略去)
分离点处对应的K1值应为正实数。 分离点处对应的 值应为正实数。
K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s1 = 0.42 = 0.3853 2
K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s2 = 1.58 = 0.387 (略去) 略去)3 2
正在阅读:
自控理论 5-1根轨迹的基本概念 5-2绘制根轨迹的基本规则08-16
沪教牛津版(深圳用)五年级英语上册 期末阅读专项复习卷(含答案)04-18
何 虎 快乐课堂里的小组合作策略10-06
描写桂花的好段落02-11
2×25MW以焦炉煤气为原料燃气蒸汽联合发电供热项目节能量审核报告01-21
物资统计分析在煤炭企业工作的运用10-15
填写要求及示范03-10
英文歌曲歌词10-21
- 公务员上岸同学告诉你,怎样走出面试中常见的十大误区
- 作表率,我们怎么办(办公室主任)
- 乘务员安全责任书
- 增员面试流程
- 河南省焦作市规模以上租赁和商务服务业企业应付职工薪酬数据洞察报告2019版
- 最新4社区工作者面试题
- 个人简历表
- 男教工体检必检项目
- 河南省兰考县规模以上租赁和商务服务业企业应付职工薪酬数据洞察报告2019版
- 兼职译员测试稿
- 河南省开封市规模以上租赁和商务服务业企业应付职工薪酬数据洞察报告2019版
- 永州职业技术学院校园总体规划-永州职业学院
- 最新5、培训科长笔试题(答案)
- 2019雅商酒店境外人员登记培训稀有资料,不可错过
- 小学教师求职简历范文
- 红酒知识与礼仪
- 春节给领导拜年的短信拜年词
- 2019年上半年中小学教师资格证结构化面试真题1
- 20XX年县干部培训工作目标
- 硬笔试听课
- 轨迹
- 基本
- 自控
- 绘制
- 概念
- 规则
- 理论
- 2015三级浙江省建造师考试市政实务必过技巧
- 天津市城市轨道交通第二期建设规划
- 出租车里程计价表
- 打坐竟然可以这么神奇_在静坐中修复生命能量
- BHK21细胞在新型微载体培养系统生长条件优化
- 塑料热铆接工艺
- 大学英语四级考试大学英语课程的教学目标
- 2011广东省驾校考试科目一最新考试试题库(完整版)
- TPM管理可视化标准7--划线标准
- 容建平-从天文学的角度看十天干的意义
- 三种设计满足需求 网吧网络解决方案
- 炼钢转炉炉气余热收集装置
- 高一数控专业机械识图专业课月考试卷
- 安全晨会方案
- 人员招聘、录用和解雇管理规定
- 15.5 串、并联电路中电流的规律学案
- 三维边坡地质体建模方法及工程应用
- 第04章证券机构与证券市场
- 深圳经济特区创业投资条例
- 男女婚配大全