高等数学_第一章函数与极限习题课

第一章 函数与极限习题课

Ⅰ 数列与函数的极限

一、数列极限1.数列极限的定义 数列极限的定义

lim x n = a n→ ∞

ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有 x n a < ε.几何解释: 几何解释

a εx 2 x1 x N + 1

2εa

a+εx N + 2 x3x

当n > N时, 所有的点 x n 都落在 ( a ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.

2.数列极限的运算法则 .

(1) lim(ax n ± byn ) = a lim x n ± b lim yn = aA ± bBn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

( 2) lim( x n yn ) = lim x n lim yn = ABn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

x n lim x n A ( 3) lim ( B ≠ 0时 ) = n→ ∞ = n→ ∞ y lim yn B nn→ ∞

3.数列极限的主要性质 .

(1)有界性：若 lim x n = A, 则 M > 0, 使得 | x n |< M 有界性：n→ ∞

( 2)唯一性：若 lim x n = A, lim x n = B,则A = B 唯一性：n→ ∞ n→ ∞

4.数列极限的存在准则 .

(1)夹逼准则：若 y n ≤ x n ≤ z n , lim y n = A, lim z n = A 夹逼准则：n→ ∞ n→ ∞

则 lim x n = An→ ∞

( 2 )单调有界收敛原理

x n ≤ x n +1 , x n ≤ M lim x n = An→ ∞

x n ≥ x n +1 , x n ≥ M lim x n = An→ ∞

二、函数的极限 1.函数极限的定义 函数极限的定义

x → x0

lim f ( x ) = A

lim f ( x ) = Ax →∞

2.函数的左右极限 函数的左右极限

左极限: 左极限 ε > 0, δ > 0, 使当x 0 δ < x < x 0时,恒有 f ( x ) A < ε.作 记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 0) = A.x→x0 0 ( x→x0 )

右极限: 右极限 ε > 0, δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时, 恒有 f ( x ) A < ε.作 记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.x→x0 +0 + ( x→x0 )

3.函数极限收敛的充要条件 函数极限收敛的充要条件

(1) lim f ( x ) = A lim f ( x ) = lim f ( x ) = Ax → x0 x → x0 0 x → x0 + 0

( 2) lim f ( x ) = A lim f ( x ) = lim f ( x ) = Ax →∞ x → ∞ x → +∞

4.函数极限的运算法则 函数极限的运算法则

(1) lim[af ( x ) ± bg( x )] = a lim f ( x ) ± b lim g( x ) = aA + bB( 2) lim[ f ( x ) g( x )] = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB

f ( x ) lim f ( x ) A ( 3) lim = = ( B ≠ 0时 ) g ( x ) lim g ( x ) B

5.函数极限的主要性质 函数极限的主要性质

(1) 唯一性：若 limf ( x ) = A, lim f ( x ) = B , 则A = B 唯一性：( 2) 局部有界性：若 lim f ( x ) = A,则 M > 0, δ > 0 局部有界性：x → x0

| 使得 0 <| x x0 |< δ时， f ( x ) |≤ M

(3 ) 局部保号性：若 lim f ( x ) = A >0或<0) 则在 , 局部保号性： (>0或<0)

U ( x , δ ) 内有

o x → x0

f ( x ) > 0(或 < 0)

(4)夹逼准则：若 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) )夹逼准则：

limg( x ) = lim h( x ) = A则 limf ( x ) = A

三、无穷小与无穷大1.无穷小的基本概念 . (1)无穷小的定义 ) (2)无穷小阶的比较 )lim α ( x ) = 0

α →0, β →0,比较它们的阶β lim =

A αA= 0

A= ∞

A= ≠ 0 c

c =1

β比 高阶 α

β比 低阶 α

β与 同阶 α

β与 等价 α

2.无穷小的主要性质 无穷小的主要性质(1) 若 | f ( x ) |< M , g( x ) → 0, 则 f ( x ) g( x ) → 0(2) 若β~α β = α + 0(α )

β β′ β′ (3) 若α~α ′,β~β ′,且 lim 存在，则 lim = lim α α′ α′

四、两个重要极限1. 2.sin x lim =1 x→0 x

1 x lim (1 + ) = e 或 x→∞ x

lim(1 + x ) = ex →0

1 x

五、解题方法及典型例题

数列极限解题 方法流程图

求 liman n→∞

判别 an 的形式 an = f (n)

an为分式恒等变形

可找到数列 bn和 cn 满足 bn ≤ an ≤ cnlimb = a nn→ ∞ n→ ∞

an+1 = g(an )

验证 an 单调有界

limcn = a

应用极限的四则 运算法则求极限 应用夹逼准则liman = an→∞

应用单调 有界准则a = liman+1 =n→∞

liman = an→∞

limg(an ) = g(a)n→∞

liman = an→∞

函数极限解题 方法流程图

求 lim f ( x )

判别 f (x)的形式

f ( x) = g( x)h( x)

f ( x) =

g( x) h( x)

f (x)为未定式f ( x) = sinm( x) 或 m( x) 1m( x )

f (x)为复合函数 f ( x) = g(h( x))

恒等变形

g( x),h( x)为无穷小 为无穷小, 且 g( x) ~ g1( x) h( x) ~ h1( x)

f ( x) = [1 + m( x)]

应用连续函数的 极限运算准则

应用极限的四则 运算法则求极限 应用等价无穷小代换 应用重要极限

lim g(h( x)) = g(limh( x)) lim g(h( x)) = g(limh( x)) = A

lim f ( x ) = A

g( x) g ( x) lim = lim 1 h( x) h1 ( x)

lim f ( x ) = A

Ⅱ 函数的连续性一、函数连续的基本概念1.函数连续的定义 . 点连续: (1)f ( x )在 x 0点连续 ) 点左连续: (2) ( x )在 x 0点左连续 )f 右连续: 右连续x → x0

lim f ( x ) = f ( x 0 )lim f ( x ) = f ( x 0 ) lim f ( x ) = f ( x 0 )

x → x0 0

x → x0 + 0

f (3) ( x ) 在区间上连续：在 ( a , b )每一点都连续，叫做在 ( a , b ) ) 在区间上连续： 每一点都连续，

右连续， 左连续,则叫做在 连续. 连续； 连续；如果同时在 a右连续，在 b左连续 则叫做在 [a , b]连续 2. f (x)在 x0连续的充要条件 连续的充要条件:x → x0 0

lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 )x → x0 + 0

3.函数连续与极限的关系 .

连续 连续 极限存在4.间断点的分类 . 第一类间断点) (左右极限都存在 左右极限都存在)

lim 可去间断点：→ x 0 f ( x ) = x → x + 0 f ( x ) 可去间断点： lim x0 0

间断点

lim 跳跃间断点： lim 跳跃间断点： → x 0 f ( x ) ≠ x → x + 0 f ( x ) x0 0

第二类间断点(左右极限至少 有一个不存在) 有一个不存在)

无穷间断点： 左右极限至少有一个是 ∞ 无穷间断点： 振荡间断点： 振荡间断点：

二、连续函数的运算法则1.若 f ( x ), g ( x ) 都连续 则 af ( x ) ± bg ( x ) 也连

续 . 都连续; 也连续. 2.若 f ( x ), g ( x ) 都连续 则 f ( x ) g ( x )也连续 . 都连续; 也连续. 3.若 f ( x ), g ( x ) 都连续; 则 . 都连续f ( x) g( x )

也连续( g ( x ) ≠ 0 时). 也连续

4.复合性质： 若 u = g ( x ) 在点 x = x 0 连续 y = f (u) 在 .复合性质： 连续;u = g( x 0 )连续 则 y = f [ g ( x )]在 x = x 0连续 连续, 连续.

三、闭区间上连续函数的性质f ( x )在[a , b]连续

有界性定理

最值定理

介值定理f ( a ) = A, f ( b) = B A<C < B

零点定理

K > 0, x ∈ [a , b] 有 | f ( x ) |≤ K

最小值 m , 最大值 M x ∈ [ a , b ] 有m ≤ f ( x ) ≤ M

f (a) f (b) < 0

ξ ∈ (a, b),使f (ξ ) = C

ξ ∈(a, b),使f (ξ ) = 0

函数极限典型例题x3 + 3x2 + 2x lim 【例1】计算 x → 2 】 x2 x 6

经过计算可得分子分母的极限都为零， 分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子， 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。 约去，再求极限。

x3 + 3 x2 + 2 x x( x + 1)( x + 2) 解： lim = lim 2 x → 2 x → 2 ( x 3)( x + 2) x x 6

x( x + 1) 2 = lim = x → 2 x 3 5

3x3 4x2 + 5x 6 【例2】计算 lim 】 x→ ∞ 4 x 3 + 5 x 2 + x + 8

分析 对形如 lim x→∞

f ( x) 的极限，分子、分母可同除以 的极限，分子、 g( x) 1 lim k = 0(k > 0) f ( x), g( x)中x的最高次，再利用 的最高次， 的最高次 x→∞ x

可求得最终结果。 可求得最终结果。4 3 + 3x3 4x2 + 5x 6 x = lim 解： lim x →∞ 4 x 3 + 5 x 2 + x + 8 x →∞ 5 4+ + x 5 6 3 2 x x =3 1 8 4 + 3 x2 x

lim x( x 2 + 1 x ) 【例3】计算 】 x → +∞→ +∞

分析

由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形， 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，∞

的形式。 可变成 ∞ 的形式。 解：lim x( x 2 + 1 x ) = limx → +∞

x x2 + 1 + x1 1 2 1+ ( ) +1 x

x → +∞

= lim

x → +∞

思考如果改为： 如果改为： x → ∞

1 = 2

结果如何？ 结果如何？

【例4】计算 lim 】 x →∞ 解法1: 解法 因为 lim x →∞

1 arctan x x

1 1 = 0, 时的无穷小， 所以 是 x →∞时的无穷小，而arctan x x x

为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知 为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，1 lim arctan x = 0 x →∞ x

解法2: 解法 ：1 1 π arctan x = lim lim arctan x = 0 ( ) = 0 x → ∞ x x → ∞ x x → ∞ 2 lim1 1 π lim arctan x = lim lim arctan x = 0 = 0 x → +∞ x x → +∞ x x → +∞ 2

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