概率统计期中试题及答案 - 图文

一、填空题

1、设A,B为两个随机事件， P(A)=0.5, P(A∪B)=0.7，若A与B互斥，则P(B)= 0.2 。 2、从5双不同的鞋子中任取4只，则这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 13/21 。

3、三个人进行射击，令Ai表示“第i人击中目标”，则至少有两人击中目标为

A1A2?A1A?3A2。A

4、四人独立的破译密码,他们能译出的概率分别为1/5 , 1/4 ,1/3 ,1/6 , 则密码能被译出的概率 2/3 。

5、在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,求击中目标的次数 X 的分布及最有可能击中次数为 B(5,0.6) ;3 。 6、设（X, Y）的联合概率分布列为

Y X -1 2

则Z=max(X,Y)的分布列为

-1 5/20 3/20 1 2/20 3/20 2 6/20 1/20 Z p -1 1 2 1/4 1/10 13/20 7、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是 3/64 。

?4xe?2y,0?x?1,y?08、已知 (X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，则EX = 2/3 。

其它?0

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2,25) 。

10、设随机变量X，Y是相互独立的，且X和Y的分布分别为：

X p Y p 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 -1 0 1 1/3 1/3 1/3 则P(X?Y?2)= 1/6 。

二、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。在市场上随

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机购买一件商品，问（1）该件商品为正品的概率是多少？（2）若该件商品为次品，则它是第一厂家生产的概率为多少？

解：设任购一件商品，它恰好来自第i家厂生产的事件记为Ai，i=1、2、3；设该商品恰好是次品事件记为B。 （1）P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?2111?0.02??0.02??0.04??0.025 44440P(B)?1?P(B)?0.975

（2）P(A1|B)? ?P(A1B)P(A1)P(B|A1) ?P(B)P(B)2/4?0.02?0.4

0.025x?1?0?0.41?x?2三、已知离散型随机变量X分布函数为：F?x???。求：

0.82?x?4?x?4?1（1）X的分布律；（2）EX、DX。（3）P(X?3|X?1)

解：（1）X的分布律为： X P

1 0.4 2 0.4 4 0.2 （2）EX=1?0.4+2?0.4+4?0.2=2；EX2=1?0.4+4?0.4+16?0.2=5.2 DX?EX2?(EX)2?5.2?4?1.2 （3）P(X?3|X?1)?2P(X?3,X?1)P(X?2)0.4? ??P(X?1)P(X?2)?P(X?4)0.4?0.23

七、某教师总是早上6点准时出门去车站赶6点15分准时发车的校车上班，已知他到达车站需用时X（分钟）服从N(12,4)。本学期他每周要去学校四次，问至少有三次能赶上校车的概率是多少？

x 0.5 1.5 1 2 解：设4次中能赶上校车的次数为Y。

Φ?x? 0.6920.841 0.933 0.977 则Y服从B（4，p）

0?12X ?1215?12 ??)??(1.5)??(?6) 其中，p?P(0?X?15)?P(222??(1.5)??(6)?1?0.933

3344P(Y?3)?C4p(1?p)?C4p?4?(0.933)3?(1?0.933)?(0.933)4? 0.975412

八、（15分）设随机向量（X，Y）联合密度为

?Ae?2(x?y), x?0,y?0 ;f (x, y)= ?

?0, 其它.第2页，共5页

（1） 确定常数A；

（2）求P{ 0

（3）判断X，Y是否独立,并说明理由。

解：（1）由1＝

??????????f(x,y)dxdy????????0???0Ae?2(x?y)dxdy?A?e?2xdx??e?2ydy

00????11 ＝A(?e?2x)(?e?2y220（2）P{ 0

02)(?e?2y)?(1?e?2)(1?e?4).

（3）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?2e?2x, x?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝

其它.?0, ?2e?2y, y?0 ; ， ??0, 其它.则对于任意的(x,y)?R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

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