第13章 真空中的静电场03(电势)

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§13.4 电场力的功 电势

根据电场 力的性质

定义了场强 E ,建立 计算 E 的方法：叠加法得出高斯定律，并用之推 导具有对称分布的静电场 定义电势U,建立计算 U 的方法：叠加法

下面根据电场力 作功的性质

得出静电场的环路定理 给出

E 和U 的关系

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一、静电场的保守性静电场中电场力作功的计算

a

q0

E

1 .点电荷的电场 将一检验电荷沿任意路径L 从a点到b点，电场力的功为： b b

r1q

rr2

dr

drL

Aab

f dr a a

q0 E dr a

b

a

b q0 E dr cos q0 Edrr2

b作功与路径 无关

q q0q 1 1 q0 dr 2 r r r1 4 r 4 0 1 2 0

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2 .任意带电体系的电场 将一检验电荷沿任意路径L从a点到b点， 场强的叠加 电场力的功为： 原理 b b

Aab q0 E dr q0 Ei dr a a b 作功与路径无关 q0 Ei dr a

静电场中，电场强度的线积分 a E dr 静电场的 b 与路径无关，只与始末位置有关

qi 1 1 q0 4 0 r r i1 i 2

保守性

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3 .静电场的环路定理circuital

theorem ofaL

electrostatic field电场强度沿闭合路径的线积分

E dr 0L

(原因：始末位置在同一点。)

(注意：运动电荷的电场不是保守场)

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二、电势1 .电势差 因为电场强度的线积分与路径无关 ，只与始末位置有关，所以可定义位置 函数U(或V) b

bq

E

a点电势b 点电势Aab (b)

U a U b E dr a a

反映了电场在a b 两点的性质，称 a b 两点电势差(electric

potential difference)

电荷q0在静电场中移动 时电场力所做的功为：(a )

a点电势能

b点电势能

q0 E dr q0 U a U b Wa Wb

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2.电势 若选 b 点的势能为电势零 点则 a 点的电势为：(电 势 零 点 )

Ub 0 b

Ua

a

E dra

E

q

SI制：单位 V (伏特) 1V=1J/C

电场中某点电势：从该点到电势零点电场强度的线积分

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讨论

电势零点的选择(参考点)

任意，视分析问题方便而定；参考点不同电势不同 通常 理论计算有限带电体电势时选无限远为电势零点， 而计算无限带电体电势时不能选无限远为电势零点 实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等

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三、电势的计算 1.定义法求电势 例1 点电荷场的电势分布

U P E dr P

Q

r

P

E dr

dr r 2 4 0 r r

Q

4 rr 0

Q

2

dr

U

Q 4 0 r

球对称 U

1 r 标量，有正、负

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例2 均匀带电球面电场的电势分布解：均匀带电球面电场强度的 分布为(由高斯定律可得): Q

E 0 E 取

Q 4 0 r

r R r R 2

R r P

dr

E

R 球内一点：U P E dr E dr E dr

处为电势零点，积分路径沿矢径方向 r

Q2

r

R

R

4 0 r

dr

Q

4 0 R

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球外一点：

U P E dr

Q

R

dr Er P

r

r

Q2

4 0 rQ

dr

Q 4 0 rU

电势分布

U U

4 0 R Q 4 0 r

r R 等势体

O

R

r

r R 与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同

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例3 无限长带电直导线电场的电势分布解：由高斯定律可得 电场强度的分布为： E

2 0 r

r p

无限带电体电势不能选无限远为电 势零点

选距离直导线r0 处为电势零点

r0电势零点

r0 U P E dr r r

r0

r0 ln dr 2 0 r 2 0 r

当r <r0 ,U>0 ;当r >r0 ,U<0

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2.叠加法求电势 1)电势叠加原理 n个带电体的电场中某点电势等于各 带电体单独存在时在该点电势的代数和

U Uii

证明： U E dr P

P0

P0 P

Ei dri

E1 dr P

P0

P0 P

E2 dr

P0 P

En dr

U 1 U 2 U n U ii

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2)叠加法求电势

U

q 4 0 r

和 U Uii

a、点电荷系电场中一点的电势

U

Ui

i

4 i

qi0 i

r

dq

QP

b、连续带电体电场中一点的电势 电荷元dq

r

U

dU Q

U

4 rQ 0

dq

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例4

计算电量为 Q的带电球面球心的电势

解：在球面上任取一电荷元dq,则 电荷元在球心的电势为

dqo

Q R

dq dU 4 0 R由电势叠加原理，球面上电荷在球心的总电势

U dU Q

4 RQ 0

dq

思考：

Q 4 0 R

电量分布均匀与否影响 球心和其它位置的电势吗？ 若为圆环、圆弧，情况 如何？

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例5 两个同心、均匀带电球面半径分别为 R1 、R2,分 别带有电量 q1 、q2 ,求电势分布解：利用电势叠加原理

q2

r R1 U U1in U 2in

R2

4 0 R1

q1

R1 r R2 U U1out r R2

4 0 R2 q1 q2 U 2in 4 0 r 4 0 R2 4 0 r q1 4 0 r q2

q2

O

R1 q1

U U1out U 2out

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或利用定义

U E dr P

P 0

R2 P0

R1 q1

由高斯定律根据电势定义求电势分布：

r R1 E1 0 R1 r R2 E2 r R2 r R1

4 0 r q1 q2 E3 2 4 0 rR1

q1

2

R2

U E1 dr E 2 dr E 3 drr R1 R2

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★小结1) 定义法求电势

P 0

U

P

E dr

适用于具有对称分布电场，电场强度可由高斯定律求解 2)叠加法求电势

U

q 4 0 r

和 U

Ui

i

广泛性：非对称分布电场 局限性：有限带电体，电势零点取在无穷远处

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§13.5 电场强度与电势的关系一、等势面

U1 U2

由电势相等的点组成的面叫等势面满足方程

U x, y, z C

当常量C取等间隔数值时 可以得到一系列的等势面

U3

n

U E n电场线与等势面的关系1.电场线处处垂直于等势面 2.两等势面相距较近处的场强数值大，相距较远处场强 数值小，电场线指向电势降低的方向。

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二、 电势梯度场强与电势的微分关系(P1→P2)

U (U dU ) dU E dr Edr cos dU 数 E cos E r dr dU 时， 有最大值，此时 dr

即电场中某点场强在 dr 方向的分量值 Er等于电势 在dr 方向的负的方向导 P1 dr P2 nE U r EU+dU

由上式可知，当 =0时，即 dr 沿 E 方向

在电场中任一点，当沿某方向其电势随距离的变化 率最大，则此最大值称为该点的电势梯度(矢量)。它 的方向是该点附近电势升高最快的方向。

dU E dr max

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