第5篇 第2讲 等差数列及其前n项

第2讲 等差数列及其前n项和

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·温州二模)记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝

32 1

A. 2C．3

解析 由－＝1，得32

B．2 D．4

( )．

S3S2

S3S2a1＋a2＋a3a1＋a2

3

－

2

＝1，

即a1＋d－?a1＋?＝1，∴d＝2.

2??答案 B

2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于

A．21 C．35

B．30 D．40

( )．

?

d?解析 由题意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35. 答案 C

3．(2013·榆林模拟)在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为 A．37 C．20

B．36 D．19

( )．

解析 由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37. 答案 A

4．(2014·吉安模拟){an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝

A．40 C．30

解析 设公差为d，则由已知得S7＝

2

3

B．35 D．28

( )．

a1＋a7

2

，即21＝

a1＋

2

，解得a1＝1，所以

a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋

10×910×92

d＝10＋×＝40. 223

1

答案 A

5．(2013·淄博二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝

A．－14 C．－12

解析 在等差数列中，S13＝＝－11. 答案 D 二、填空题

6．(2013·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.

解析 a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99. 答案 99

7．(2014·成都模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{an}的通项an＝________.

解析 由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 答案 2n－1

8．(2013·浙江五校联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶

( )．

B．－13 D．－11

a1＋a13

2

＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13

S5＝________.

解析

S3

＝S5a1＋a33a2353

＝＝×＝. a1＋a55a3522

答案 3∶2 三、解答题

9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N＋)．

求证：数列{an}为等差数列，并求an与Sn.

证明 由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N＋)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即an－an－1＝4，

故数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列． 于是，an＝4n－3，Sn＝

SnnSnna1＋ann2

＝2n－n(n∈N＋)．

2

10．(2013·福建卷)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.

2

(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．

解 (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1＝1×(a1＋2)，即

2

a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.

(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a1＋8a1，即a1＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.

故a1的取值范围是(－5,2)．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则

2

2

n＝

A．12 C．16

B．14 D．18

( )．

解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，

na1＋ana1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.

2

答案 B

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是

A．5 C．7

B．6 D．8

( )．

解析 法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大． 法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－

n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，Sn最大．

法三 根据a1＝13，S3＝S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及3＋11二次函数图像的对称性，得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．

2答案 C 二、填空题

3．(2014·九江一模)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2an＝an＋1＋an－1(n∈N＋，n≥2)，则a7

＝________.

3

2

2

2

解析 因为2an＝an＋1＋an－1(n∈N＋，n≥2)，所以数列{an}是以a1＝1为首项，以d＝a2－

2

a2所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝3n－2，n≥1.1＝4－1＝3为公差的等差数列，

222222

所以a7＝3×7－2＝19. 答案

19

三、解答题

4．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，

a2＋a5＝22.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝

Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出

c的值；若不存在，请说明理由．

解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0， 由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，

所以a3，a4是关于x 的方程x－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3. (2)由(1)知Sn＝

2

n＋4n－

22n－n＝2n－n，所以bn＝＝. n＋cn＋c2

Sn2

1615

法一 所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．

1＋c2＋c3＋c1

令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.

2

12n－n当c＝－时，bn＝＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.

21

n－21

故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．

2

2

n法二 由bn＝

Snn＋c＝

＋4n－2n＋c?1?2n?n－??2?＝，

n＋c1

∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.

2∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N)， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列．

1

即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．

2

*

4

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