概率统计第八章假设检验参考答案

概率论与数理统计作业

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第八章 假设检验

教学要求：

一、理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误；

二、了解一个正态总体均值与方差的假设检验，了解两个正态总体均值差与方差比的假设检验；

三、了解总体分布假设的?2检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验（选学）．

重点：假设检验的基本思想、假设检验的基本步骤、单个正态总体均值和方差的假设检验． 难点：正态总体均值和方差的假设检验．

一、基本计算题

1．某灯泡厂生产一种节能灯泡，其使用寿命（单位：小时）长期以来服从正态分布

N（1600,1502）．现从一批灯泡中随意抽取25只，测得它们的平均寿命为1636小时．假定

灯泡寿命的标准差稳定不变，问这批灯泡的平均寿命是否等于1600小时（取显著性水平

??0.05）？

解：(1) 依题意，检验假设H0:???0?1600，（H1:???0?1600）; (2) 由于标准差?已知，在H0成立时，采用U检验法.选择统计量：

U?X??0?～N?0,1?

n(3) 对于给定的显著性水平??0.05，当n?25时，查正态分布表得临界点

z??z0.025?1.96

2（4）由n?25，，x?1636，??150，计算统计值：

u?x??0??n1636?1600?1.2

15025(5) 由于u?1.2?z??z0.025?1.96落在拒绝域

2 1

??x????0W??u??z??

?2??n??之外，所以在显著性水平??0.05下，接受H0:??1600.即认为这批灯泡的平均寿命等于1600.

2．正常人的脉搏平均为72（次/min），检查10例四乙基铅中毒患者，测的他们的脉搏（次/min）为: 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69

已知脉搏服从正态分布，在显著性水平??0.05下，问四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异？

解：(1) 依题意，检验假设H0:???0?72，（H1:???0?72）; (2) 由于标准差?未知，在H0成立时，采用T检验法.选择统计量：

X??0～t?n?1? Sn(3) 对于给定的显著性水平??0.05，当n?10时，查t分布表得临界点 ：

t??n?1??t0.025(9)?2.2622,

T?2(4) 由n?10，，x?67.4，s?5.9292计算统计值：

t?x??067.4?72??2.4534 s5.9292n102(5) 由于t?2.4534?t??n?1??t0.025(9)?2.2622，t落在拒绝域 ：

W?{t?x??s/n?t?(n?1)}

2之内，故拒绝H0:???0?72，即四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有显著差异．

3．某食品厂生产一种食品罐头，每罐食品的标准重量为500克．今从刚生产的一批罐头中随机抽取10罐，称得其重量为（单位：克）

495 510 505 498 503 492 502 512 497 506

假定罐头重量服从正态分布，问这批罐头的平均重量是否合乎标准（取??0.05）？

解：(1) 依题意，检验假设H0:???0?500，（H1:???0?500）; (2) 由于标准差?未知，在H0成立时，T检验法.选择统计量：

2

X??0～t?n?1? Sn(3) 对于给定的显著性水平??0.05，当n?10时，查t分布表得临界点 ：

t??n?1??t0.025(9)?2.2622,

T?2110110222(4) 由n?10，，x?，，计算统计值： x?502s?(x?x)?6.5??ii10?1i?110i?1t?x??0502?500??0.9730 s6.5n102(5) 由于t?0.9730?t??n?1??t0.025(9)?2.2622，t落在拒绝域 ：

W?{t?x??s/n?t?(n?1)}

2之外，故接受H0:???0?500，即认为这批罐头的平均重量合乎标准．

4．在10块田地上同时试种A,B两种谷物，根据亩产量（单位：kg）算得xA?30.97，

yB?21.79，sA问这两种谷物的平均亩产量有无显著差异（??0.05）？ ?26.7，sB?21.1．

假定两种谷物的亩产量都服从正态分布，且方差相等．

解：（1）设XA～N（H1:?1???,??,Y121B～N??,??,依题意，检验假设H2220:?1??2，

?2）;

22（2）由于?12,?2未知但?12??2，在H0成立时，选择统计量：

T?SwX?Y11?n1n2～t?n1?n2?2?

其中 S?2w22?n1?1?SA??n2?1?SB；

n1?n2?2(3) 对于给定的显著性水平??0.05，当n1?n2?10时，查t分布表得临界点

t??n1?n2?2??t0.025(18)?2.1009,

2（4）由n1?n2?10, x?30.97，sA?26.7，yB?21.79，sB?21.1计算统计值：

3

t?swxA?yB11?n1n2?30.97?21.7924.063511?1010?0.8465

其中 s?2w22?n1?1?sA??n2?1?sBn1?n2?2?579.05，sw?24.0635；

（5）由于t?0.8465?t??n1?n2?2??t0.025(18)?2.1009,t没有落在接受域中，故应接受H0:?1??2,即这两种谷物的平均亩产没有明显差异．

5．按两种不同配方生产橡胶，测的伸长率（%）如下:

配方Ⅰ： 540 533 525 520 544 531 536 529 534

配方Ⅱ： 565 577 580 575 556 542 560 532 570 561 设橡胶伸长率服从正态分布，检验按两种配方生产的橡胶伸长率的方差是否相同（取

2??0.05）？

解：(1) 设X,Y分别表示配方Ⅰ、配方Ⅱ的总体，则X～N2. N?2,?2??,??,Y～

121??2依题意，检验假设H0:?12??2，H1:?1??2；

22（2）在H0成立时，选择统计量：

S12F?2S22?2?12S12?2～F?n1?1,n2?1? S2（3）对于给定的显著性水平??0.05，当n1?9,n2?10时，查F分布的双侧临界值: F??n1?1,n2?2??F0.025?8,9??4.10,

2F,n2?1??F0.975?8,9????n1?11?21F0.025?9,8??1?0.2294 4.36(4) 由于

19110192x??xi?532.4444，s1?yi?561.8，?xi?x?53.778，y?10?9i?19?1i?1i?1??2 4

110s?yi?y?10?1i?122??2?238.8444；得统计值：

s1253.7778F?2??0.2271

s2236.8444（5） 由于F?0.227?.则F落在拒绝域中，故应拒绝1F0.975?8,9??0.2294222（或接受H1:?1??2）。即两种配方生产的橡胶伸长率的方差不相同． H0:?12??26．某盐业公司用机器包装食盐，按规定每袋标准重量为1公斤，标准差不得超过0.02公斤．某日开工后，为了检查机器工作是否正常，从装好的食盐中抽取9袋，称得其重量（单位：公斤）为

0.994 1.014 1.020 0.950 1.030 0.968 0.976 1.048 0.982 假定食盐的袋装重量服从正态分布，问当日机器工作是否正常（取??0.05）？

解：由题意知需要对这天包装的每袋食盐净重的期望和方差分别作假设检验。 亦即分别检验假设H0:??1及H1:?2?0.022.

设一袋食盐的净重为X，则X~N(?,?2).

⑴ 检验假设H0:??1，由于?未知，采用t检验法.

由样本值计算得x?0.998，s?0.32. 对于自由度为n?1?8，

222?2?0.025， 查

t分布表得临界点 t0.025(9?1)?2.306.计算统计值得：

t?x??s/n?0.998?10.32/9?0.1875?2.306?t0.025(8)

由于t?0.1875?t0.025?8??20306，故应接受假设H0:??1. ⑵ 检验假设H1:?2?0.022，采用?2检验法

22对于自由度为n?1?8，??0.025，查?分布表得临界点?0.05(8)?15.5.

??22(n?1)s2?2(9?1)?0.3222??20.48?15.5??0.05(8) 20.022 所以?落在拒绝域之内，故拒绝假设H1:??0.022.

综合⑴和⑵可以认为，这天包装机工作不正常．

7. 甲乙两个铸造厂生产同一种铸件，铸件的重量都服从正态分布．分别从两厂的产品

5

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