2011北京市门头沟区2011年中考一模数学试题

2011年门头沟区初三年级第一次统一练习

数 学 试 卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．-6的绝对值等于 A．6 B．

11 C．? D．?6 662．温家宝总理在十一届人大四次会议上所作的政府工作报告中指出，我国社会生产力、 综合国力显著提高． “十一五”期间，国民经济迈上新的台阶，国内生产总值达到398000万亿元．将398000用科学记数法表示应为

A．3.98?103 B．398?103 C．3.98?104 D．3.98?105 3．把多项式x3?6x2?9x分解因式，结果正确的是

A．x(x?3)(x?3) B．x(x2?6x?9) C．x(x?3)2 D．x(x?3)2 4．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点， 点E、F分别是OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8， 那么EF的长为

A．6 B．5 C．4 D．3

5．某学习小组的7名同学积极捐出自己的零花钱支援玉树地震灾区，他们捐款的数额分别

是（单位：元）：50，20，50，30，50，40，60，则这组数据的众数和中位数分别是 A．50，50

6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D． 若∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长是

AODCEBAOBEFDC B．50，30 C．50，20 D．60，50

3A． B．3 C．23 D．9

27．一个口袋中装有八个除标号不同外其它完全相同的小球，小球上分别标有数字 1，2，3，

4，5，6，7，8，从口袋中随机地摸出一个小球，则摸出的小球上的数字是偶数的概

率是 A．

8．如图1是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第

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1113 B． C． D． 42382格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是

建

设 生 态 家

园

图1

图2

建设生123 A．生 B．态 C．家 D．园 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 在函数y?1中，自变量x的取值范围是 ． x?110．若(m?3)2?n?2?0，则m－n的值为 ．

11．将二次函数y?x2?4x?6化为y?(x?h)2?k的形式，则y= ． 12．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻

等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．

??

n=3

n=4

n=5

当n = 8时，共向外作出了 个小等边三角形； 当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用 含k的式子表示）．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1?13．计算：18?2sin45??2011???．

?3?0?1

14．解分式方程

15．已知：如图，EF∥BC，点F、点C在AD上， AF=DC， EF=BC．

求证：AB=DE．

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6x??1． x?3x?3A F E Ｂ Ｃ D 16．已知x?x?6，求代数式x(x2?2)?x(x?1)2?3x2?7的值．

17．列方程或方程组解应用题：

“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、

企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．

18．如图，正比例函数y=mx和反比例函数y=2n的图象 xy 都过点A（1，a），点B（2，1）在反比例函数的图象上． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）过A点作直线AD与x轴交于点D，且△AOD的

面积为3，求点D的坐标．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交

AD于点F、E，DF与AE相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

A 1 O 1 B · x GBFEC第 3 页 共 13 页

20．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD．

（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径 AB的长；

（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并

证明你的结论．

[来源学+科+网]ADOB图1CADOB图2EC

21．甲、乙两校的学生代表参加区教委举办的中学生科普知识竞赛，且两校的参赛人数相

同．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 表1 甲校成绩统计表

分 数 7 分 11 8 分 0 9 分 10 分 8

人 数

乙校成绩扇形统计图

7分 40% 7分 9分 % 8分 % 图1 10分 25% 8 6 4 2 0 乙校成绩条形统计图 人数 8 4 5 7 分 请你根据以上信息解答下列问题：

（1）乙校参加比赛的学生代表有 人；

（2）甲校学生成绩为10分的人数比乙校学生成绩为10分的人数多 人； （3）请你将表1、图1和图2补充完整．

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8分 9分 10分 分数 图2

22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，

顶点E在边AB上，且AE=1. 将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、?连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的．．P．

DC起始位置.

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么

这一翻转过程可以看作是等边三角形PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时, 顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．

DPACB(E)CDABC图2DABCAP…E图1B…D（2）若k=3，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．

第一次回到原来的起始位置；

（3）使顶点第一次回到原来的起始位置时，若等边三角形PAE沿正方形的边连续翻．．P．

转的次数是60，则正方形ABCD的边长AB= .

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程(m?2)x2?2x?1?0．

（1）若此一元二次方程有实数根，求m的取值范围；

（2）若关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象都

经过x轴上的点（n，0），求m的值；

（3）在（2）的条件下，将二次函数y1?(m?2)x2?2x?1的图象先沿x轴翻折，再向

下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象．请你直接写出二次函数y3的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数y3的值大于y 二次函数y2的值．

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

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24．在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，对角线

AC和BD相交于点O．在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转．

（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一

条直线上时，线段AF与CE的位置关系是 ，数量关系是 ； （2） 将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转, 旋转角为?（0?

请你在图2 中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；

[来源学科网Z,X,X,K]

（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时,

三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形．

①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明； ②若OF?

5，求BM的长． 6AADEODOADOFB图1CB图2CB图3Cy654321–6–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6123456x第 6 页 共 13 页

25．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y??m?12x?(m?2)x?4m?7 与3x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．

（1）求抛物线的解析式及点P的坐标； （2）若E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E

在点F的上面），且EF＝2，当四边形PBEF 的周长最小时，求点E、F的坐标； （3）若Q是线段AC上一点,且SΔCOQ?2SΔAOQ，

M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的 平面内存在一点N，使得以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N 的坐标．

2011年门头沟区初三年级第一次统一练习

数学试卷评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C 源:Z+xx+k.Com][来8 D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 答案 9 x?1 10 5 11 (x-2)2?2 12 18 3(k-2) 3(k?2)s k2三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1?13．计算：18?2sin45??2011???．

?3?0?145 解： 18?2sin??0?1?2?0?11? ?3??1=32?2?2?1?3 ?????????????????????????2?4分

=42?2 ． ?????????????????????????????

5分

14．解分式方程

6x??1． x?3x?32分

解：去分母，得 6(x?3)?x(x?3)?(x?3)(x?3)． ??????????????

整理，得 9x?9． 解得 x?1． ??????????????????????????

4分

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经检验，x?1是原方程的解． 所以原方程的解是x?1． ?????????????????????

5分

15． 证明：∵AF?DC，

∴AC?DF． ??????????1分 ?EF∥BC，

A ∴?EFD??BCA． ???????2分

F E 在△ABC与△DEF中，

[来源:Z#xx#k.Com]?BC?EF, ???BCA??EFD,

?AC?DF,?Ｂ Ｃ D ∴△ABC≌△DEF． ????????????????????4分

∴AB=DE． ??????????????????????????

5分 16． 解：x(x2?2)?x(x?1)2?3x2?7

?x3?2x?x(x2?2x?1)?3x2?7 ????????????????2分 ?x3?2x?x3?2x2?x?3x2?7 ???????????????????

3分

?x2?x?7． ?????????????????????????????

4分

当x2?x?6时，原式?6?7??1． ???????????????????? 5

分

17．解：设中国内地去年有x个城市参加了此项活动，今年有y个城市参加了此项活动．?1分

x?y?119, 依题意，得? ??????????????????????????y?3x?13.3分

x?33, 解得 ? ?????????????????????????????y?86.4分

答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动． ????5分

18. 解：（1）∵反比例函数y?n的图象经过点B（2，1）,

x ∴n?2．

∴反比例函数的解析式是y?2． ????1分

xy A 1 Ｂ ．Ｄ２ x ?点A（1，a）在反比例函数y?2的图象上，

xＤ１ O 1 ∴a?2．

∴A(1，2)．??????????????2分

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∵正比例函数y=mx的图象经过点A(1，2)， ∴ m?2．

∴正比例函数的解析式是y=2x．??????????????????3分

（2）依题意，得1?OD?2?3．

2 ∴OD?3．

∴ D点坐标为D1(?3,0)或D2(3,0)． ?????????????????5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：（1）在□ABCD中，AB∥DC，

∴∠ADC+∠DAB=180°．

?DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，

11∴?ADF??CDF??ADC，?DAE??BAE??DAB．

221∴?ADF??DAE?(?ADC??DAB)?90?．

2∴?AGD?90?．

∴AE⊥DF．????????????????????????????

2分

（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，

DA则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH． ∴DH=AE=4，EH=AD=10.

G在□ABCD中，AD∥BC，

CHBFE∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA． ∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA． ∴DC=FC，AB=EB．

在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6， ∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4． ∴FE=BE－BF=6－4=2． ??????????????????????

3分

∴FH= FE+EH= 12． ????????????????????????

4分

DF?FH2?DH2?122?42?82.????????????在Rt△FDH中，

5分

20．解：（1）如图1，∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°．

则∠CDB=∠ADB=90°． ∴∠C+∠CBD=90°． ∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°． ∴∠C=∠ABD．

A D O· B C 图1

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∴△ADB∽△BDC． ∴

ADBD． ?BDCD∵BD：CD =3：4，AD=3， ∴BD=4．

在Rt△ABD中，AB?AD2?BD2?32?42?5． ??????????3

分

（2）直线ED与⊙O相切．

证明：如图2，连结OD．

A 由（1）得∠BDC=90°．

D ∵E是BC的中点，

O· ∴DE=BE．

∴∠EDB=∠EBD．

B E C ∵OB=OD，

图2 ∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．

∴ED是⊙O的切线． ???????????????????????

5分

21．解：（1）20． ?????????????????????????????1分

（2）3． ??????????????????????????????2分

（3）补全表1、图1和图2． ????????????????????

5分

22．解：（1）12． ???????????????????????????????2分

（2）12． ??????????????????????????????3分

（3）5或15. ?????????????????????????????5分

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）

图3 ?m?2?0,23．解：（1）根据题意，得? 2Δ?(?2)?4(m?2)?(?1)?0.??m??2,

解得??m??3. ∴m的取值范围是m≥－3且m≠－2．????????????????2

分

（2）?关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象

都经过x轴上的点（n，0），

∴(m?2)n2?2n?1?(m?2)n2?mn?m?1．

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解得n=－1． ???????????????????????????3分

当n=－1时，m?2?2?1?0， 解得m=－3． ?????????????????????????4

分

（3）y3?x2?2x?2． ?????????????????????????

5分

5时，二次函数y3的值大于二次函数y2的值． 2 ??????????????????????7分 24．解：（1）垂直，相等 ??????????????????????????2分

（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

证明：如图2，过D作DG?BC于G． ∵?ABC?90o， ∴DG∥AB. ∵AD∥BC，

∴四边形ABGD为矩形.

当x的取值范围是x>0或x

∵tan∠DCB=DG=2,

CG∴CG?A2DODG2??1. 22oE543∴ CB = AB =2.

∵?ABC??EBF?90，

∴?ABC??ABE??EBF??ABE. ∴?CBE??ABF. 在△ABF和△CBE中，

1BFG图2C?AB?CB,???ABF??CBE, ?BF?BE,?∴△ABF≌△CBE. ∴AF?CE，?2??1.

∵?1??3?90o，?3??4， ∴?2??4?90o. ∴?5?90o.

?AF?CE. ????????????????????????4

分

（3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

②如图3，?AD∥BC， ∴△AOD∽△COB．

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AFO2DB13M EC∴

ADOD． ?CBOB?AD＝1，BC＝2，

∴

OD1?． OB2在Rt△DAB中，BD?AB2?AD2?1?4?5． ∴OB?25．

3∵OF?5, 6 ∴BF?BE?5．

2?∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,

??1??2．

又??3??OAB?45o, ∴△BME∽△BOA. BMBE?. ∴

BOBA5BM?2. ∴2253∴BM?. ???????????????????????????7

分

25. 解：（1）∵抛物线y??∴m－2=0．

∴m=2．

56m?12x?(m?2)x?4m?7关于y轴对称, 31∴抛物线的解析式是y??x2?1.??????????????????

32分

令y＝0，得x??3. ∴A(?3,0)，B(3,0)．

在Rt△BOC中，OC＝1, OB＝3,可得∠OBC＝30o. 在Rt△BOD中，OD＝3, OB＝3,可得∠OBD＝60o. ∴BC是∠OBD的角平分线.

∴直线BD与x轴关于直线BC对称.

因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，

1则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y??x2?1 的交点.

3设直线BD的解析式为y?kx?b.

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??k??3,?3k?b?0,∴? ∴ ?????b?3.?b?3.∴直线BD的解析式为y??3x?3.

∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x,?3x?3).

1又因为点P (x,?3x?3)在抛物线y??x2?1上，

3∴?3x?3??1x2?1.

3解得x1?3, x2?23. ∴y1?0, y2??3.

∴点P的坐标是(23,?3).???????????????????????3

分

（2）过点P作PG⊥ x轴于G，在PG上截取PH?2，连结AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF?2. ∵ PH∥EF，PH?EF，

∴ 四边形PHEF为平行四边形，有HE?PF. 又 ∵ PB、EF的长为定值，

∴ 此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小. ∵ OE∥GH，

∴ Rt△AOE∽Rt△AGH. ∴

OEAO. ?GHAG333?1. 3y D

G

-1 E F H

x

∴ OE?17∴ OF?OE?EF??2?.

3317∴ 点E的坐标为（0，?），点F的坐标为（0，?）. ??????????

335分

241831233或（3）点N的坐标是N（或.??????8N（-3，）N（57，19）3，）3211919191982分

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