高一数学 三角函数 公式

三角函数

1.特殊角的三角函数值：

sin 0

0= 0 cos 00= 1 tan 00= 0

sin30

0=

2

1 cos30

0=2

3

tan30

0=3

3

sin 045=2

2

cos 0

45=2

2

tan 0

45=1

sin60

0=2

3

cos60

0=

2

1 tan60

0=3

sin90

0=1 cos90

0=0 tan900无意义

2.角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=

00

30

045

60

90

0120 0135 0150 180

270

360

6π 4π 3π 2

π 3

2π 4

3π 6

5π π

2

3π π2

3.弧长及扇形面积公式

弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2

1

α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径

4.任意角的三角函数

设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=

r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x

y (2)各象限的符号：

sin α cos α tan α

x

y

+

cos sin 2παα-=O

— —

+

x y

O — +

+

— +

y O

— +

+ —

5.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：ααcos sin =tan α （z k k ∈+≠

,2ππα） 6.诱导公式：记忆口诀：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号

看象限。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2παα??-= ???，cos sin 2παα??-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

7.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

(1) 相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+

周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+

振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+

(2)求函数sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。

(3)三角函数最值类型：

① y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y = 22a b +sin （x +?） ② y =a sin 2x +b sin x +c 型：常通过换元法（令sinx=t ，[]1,1t ∈-）

转化为y =at 2+bt +c 型

8.三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系

sin(α±β)=sin α·

cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·

cos β sin α·sin β β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=± 倍角公式 s in2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1 =1-2sin 2α ααα2tan 1tan 22tan -=

降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos α=2cos 22

α cos 2α22cos 1α+= 1-cos α=2sin 22

α sin 2α2

2cos 1α-=

三角和公式

三倍角公式

应用欧拉公式：

万能公式

9.正弦定理 ：

2sin sin sin a b c R A B C ===. 10.余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;

2222cos b c a ca B =+-;

2222cos c a b ab C =+-.

11.三角形面积定理..

（1）△＝

21ah a ＝21bh b ＝2

1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2

1ac sin B ； （3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A B A c +； （4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径）

（5）△＝R

abc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；??

? ??++=

)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。

12.和差化积、积化和差

（1）和差化积

(2)积化和差

13.解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

（1）角与角关系：A +B +C = π；

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；

（3）边与角关系：

正弦定理

R C

c B b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ； 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b

a B A =sin sin ，bc a c

b A 2cos 222-+=。 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sin

C B A C B A =+=+； 2

sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ 221tan 1cos αα+=

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