(新课标)高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形理【含答案】

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1 第2讲 解三角形

正、余弦定理在平面几何中的应用

1.(2015广西南宁二模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=

,则B 等

于( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:由=及正弦定理得

=.

所以整理得a 2+c 2-b 2=ac,

所以cos B==,

所以B=.故选C.

2.(2015遵义市高三联考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b 2+c 2+bc-a 2

=0,

则

的值为( A ) (A) (B)- (C) (D)-

解析:因为b 2+c 2+bc-a 2=0,

所以b 2+c 2-a 2=-bc.

所以cos A==-.

所以A=.

由正弦定理可知,

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2 ==sin A=.故选A.

3.(2015河南六市联考)在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S △ABC =,则b 的值为( A ) (A) (B) (C)2 (D)2

解析:因为S △ABC =bcsin A=×bc ×=,

所以bc=3. ①

因为sin A=且A 为锐角,

所以cos A=.

所以由余弦定理得,a 2=b 2+c 2

-2bccos A,

即4=b 2+c 2-2×3×,

所以b 2+c 2=6. ②

由①②可解得b=c=.故选A. 4.(2015赤峰市高三统考)已知a,b,c 分别是△ABC 三个内角A,B,C 所对的边,且满足(2c+b)cos A+acos B=0,若a=4,则△ABC 面积的最大值是 .

解析:由(2c+b)cos A+acos B=0及正弦定理得,

(2sin C+sin B)cos A+sin Acos B=0.

所以2sin Ccos A+sin C=0.

又因为sin C ≠0,

所以cos A=-.

又A ∈(0,π),

所以A=.

由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A,

即16=b 2+c 2-2bc ·cos =b 2+c 2+bc ≥3bc.

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所以bc ≤,

当且仅当b=c=时,等号成立,

所以S△ABC =bcsin A=bc ≤×=.

答案:

三角恒等变换与解三角形的综合

5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则B等于( C )

(A)(B)(C)(D)

解析:因为acos C,bcos B,ccos A成等差数列,

所以acos C+ccos A=2bcos B,

根据正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,

即sin (A+C)=2sin Bcos B,

又A+B+C=π,

所以sin B=2sin Bcos B,

又sin B≠0,

所以cos B=,

又B∈(0,π),

所以B=,故选C.

6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin

C,S=(b2+c2-a2),则B等于( B )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

解析:根据正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,

即sin (A+B)=sin C=sin2C,

因为sin C≠0,

所以sin C=1,即C=90°.

由S=(b2+c2-a2),得bcsin A=(b2+c2-a2),

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即sin A==cos A,

即tan A=1,

又A∈(0°,180°),

所以A=45°,

所以B=45°.故选B.

7.(2015江西九江二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°.

(1)若sin C+cos C=cos B,求B和C的大小;

(2)若a=,求△ABC周长的取值范围.

解:(1)由A=60°,

得C=120°-B,代入sin C+cos C=cos B得,

sin(120°-B)+cos(120°-B)=cos B.

即sin B=cos B,

所以tan B=1.

又0°<B<120°,

所以B=45°,C=75°.

(2)法一由正弦定理得===2,

设△ABC的周长为y,

则y=2sin B+2sin C+

=2sin B+2sin(120°-B)+

=2sin(B+30°)+.

又因为0°<B<120°,即30°<B+30°<150°,

所以<sin(B+30°)≤1.

从而2<2sin(B+30°)+≤3,

所以△ABC周长的取值范围是(2,3].

法二由余弦定理得()2=b2+c2-2bccos,

即(b+c)2-3=3bc,

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