2008年数学高考题

2008年数学高考题

2008年数学高考解答题汇编

（全国卷Ⅰ理）

17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

3设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且acosB bcosA c．

5

（Ⅰ）求tanAcotB的值；

（Ⅱ）求tan(A B)的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

四棱锥A BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 底面BCDE，BC

2，

CD AB AC．

（Ⅰ）证明：AD CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45 ，求二面角C AD E的大

E D

小．

19．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x) x3 ax2 x 1，a R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

21 （Ⅱ）设函数f(x)在区间 ， 内是减函数，求a的取值范围．

33

20．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

2008年数学高考题

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望． 21．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F

ABOB成等差数列，垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA且BF

与FA同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．设函数f(x) x xlnx．数列 an 满足0 a1 1，an 1 f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an an 1 1；

1)，整数k≥（Ⅲ）设b (a1，

a1 b

．证明：ak 1 b． a1lnb

17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 csinAcsinBa= ,b sinCsinC

sinAsinB

acosB-bcosA=( cosB cosA)c

sinCsinC = =

sinAcosB sinBcosA

c

sin(A B)

sinAcosB cosAsinB

c

sinAcosB cosAsinB(tanAcotB 1)c

=

tanAcotB 1(tanAcotB 1)c3

依题设得 c

tanAcotB 15

解得tanAcotB=4

(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0

tanA tanB

tan(A-B)=

1 tanAtanB

2008年数学高考题

3tanB

1 4tan2B3≤， 4

1

且当tanB=时，上式取等号，因此tan(A-B)的

2

3

最大值为

4

18．解：

(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，

=

由

OCCD1

知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

CDDE2

从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD， 由三垂线定理知，AD⊥CE

（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE 侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。

作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE 故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE=，得CF=

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。 由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。 CG=

AC CD2 22

AD61

DE AD2 (DE)2

2 2 ,CE 6, GE=

AD63

410

6

CG GE CE cos∠CGE=

2CG GE1022

2

2

2

所以二面角C-AD-E为arccos(

) 10

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE

，且

2008年数学高考题

O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A（0,0,t），由已知条件有 C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1, 2,0),

CE ( 2,2,0),AD (1,, t)

所以CE AD 0，得AD⊥CE

（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE， 设F（x,0,z）则CF=(x-1,0,z),

BE (0,2,0),CF BE 0

故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE， ∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE=，得CF=

又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，） 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=

222,故G[,]

333

122 523 GC , , ,GE ,,

333333

2

|AD| 3

又AD (1,2, 3)

GC AD 0,GE AD 0

所以GC与GE的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。 由cos(,

10

知二面角C-AD-E为arccos(

) 10

（19）解：

（Ⅰ）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式Δ=4(a2-3)

2008年数学高考题

a a2 3 上f´(x)>0，f(x)是增函（i）若a>3或a< ，则在 , 3

数；

a a2 3 a a2 3

内f´(x)<0，f(x)是减函数； 在 ,

33 a a2 3 在, 上f´(x)>0，f(x)是增函数。 3

（ii）若 3<a<，则对所有x∈R都有f´(x)>0，故此时f(x)在R上是增函数。

（iii）若a= ，则f´(

aa

)=0，且对所有的x≠ 都有f´(x)>0，故33

当a= 时，f(x)在R上是增函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>

3或a< 3时，f(x)在

a a2 3 a a2 3

内是减函数。 , 33

因此

a a2 32

≤ ①

33 a a2 31

≥

33

且 ②

当|a|>3时，由①、②解得a≥2

因此a的取值范围是[2,+∞）。

（20）解：

记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独立。

（Ⅰ）A A1 A2B2

1

A1C2121144 C2

P(A1) 1 ，P(A2) 2 ，P(B2) 31 。

A55C5 C35C55

P(A)=P(A1+A2²B2)

=P(A1)+P(A2²B2) =P(A1)+P(A2)²P(B2)

2008年数学高考题

112

=

5557

=

25

18

所以 P(A)=1-P(A)==0.72

25

（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.

2

C3C3234

341 ，P(B2)= P(B1)=3，P(ξ=2)=P(B1)=，P(ξC5C5 C3555

=3)=P(B2)=

2， 5

3212

所以Eξ=2 3 。 2.4（次）

555

（21）解：

x2y2

（Ⅰ）设双曲线方程为2 2 1(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则

ab

c2=a2+b2

不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0 则

|FA|

|b c a 0|

a b

2

2

b，

|| OF2 AF2 a。

因为||2+||2=||2，且 |OB|=2||-|OA|，

所以||2+|OA|2=(2||-|OA|)2，

4 。 于是得tan∠3

又BF与FA同向，故∠AOF=∠AOB， 所以 解得 因此

2tan AOF1 tan2 AOF

4 3

12

tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。

b1

,a 2b,c a2 b2 5b。

a2

12

2008年数学高考题

所以双曲线的离心率e==

ca 2

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x2-4y2=4b2 ① 由l1的斜率为，c=5b知，直线AB的方程为

y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得 15x2-32bx+84b2=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则

84b232b

x1+x2=，x1²x2= ③

1515

12

AB被双曲线所截得的线段长

l= ( 2)2 |x1 x2| [(x1 x2)2 4x1x2] ④ 将③代入④，并化简得l=

4b

，而由已知l=4，故b=3，a=6 3

x2y2

所以双曲线的方程为 1

369

22、解：

（I）当0<x<1时

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数， （II）当0<x<1时，f(x)=x-xlnx>x 又由（I）有f(x)在x=1处连续知， 当0<x<1时，f(x)<f(1)=1

因此，当0<x<1时，0<x<f(x)<1 ① 下面用数学归纳法证明： 0<an<an+1<1 ②

(i)由0<a1<1, a2=f(a1)，应用式①得0<a1<a2<1，即当n=1时，不等式②成立 (ii)假设n=k时，不等式②成立，即0<ak<ak+1<1 则由①可得0<ak+1<f(ak+1)<1，即0<ak+1<ak+2<1 故当n=k+1时，不等式②也成立 综合(i)(ii)证得：an<an+1<1

(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b

否则，若am<b(m≤k)，则由0<a1≤am<b<1(m≤k)知， amlnam≤a1lnam<a1lnb<0 ③ ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak ……

2008年数学高考题

=a1- amlnam

m 1k

k

由③知 amlnam<k (a1lnb)

m 1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1) =b

（全国卷Ⅰ文）

17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4． （Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S 10，求△ABC的周长l． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．四棱锥A - BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2

，CD AB AC．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设侧面ABC为等边三角形，求二面角C - AD - E的大小．

D

E

19．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

在数列{an}中，a1=1, an+1=2an+2n.

a

（Ⅰ）设bn nn．证明：数列 bn 是等差数列； 1

2（Ⅱ）求数列 an 的前n项和Sn． 20．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患

2008年数学高考题

病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 21．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x) x3 ax2 x 1，a R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

21 （Ⅱ）设函数f(x)在区间 ， 内是减函数，求a的取值范围．

33

22．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F

ABOB成等差数列，垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA且BF

与FA同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 17、解： （I）依题设得

ab

acosB3

bsinA4

由正弦定理得 所以

sinA

sinB

cosB3

sinB4cos2B

99

sin2B (1 cos2B) 1616

即 cos2B

9 25

依题设知 a2cos2B=9 所以 a2=25，得a=5 （II）因为S=bcsinA 2c, 所以，由S=10得c=5 应用余弦定理得

b=a2 c2 2accosB 25

故△ABC的周长

l=a+b+c=2(5+) 12

2008年数学高考题

18．解法一：

(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点， 由

OCCD1

知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

CDDE2

从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD， 由三垂线定理知，AD⊥CE

（II）作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。 由（I）知，CE⊥AD，

又CE∩CG=C，故AD⊥平面CGE，AD⊥GE， 所以∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

1

DE AD2 (DE)2

2 52 ,CE 6, GE=

AD6410

6

CG GE CEcos∠CGE=

2CG GE1022

2

2

2

所以二面角C-AD-E为arccos(

) 10

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，由题设知AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A（0,0,t），由已知条件有 C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1, 2,0),

CE ( 2,2,0),AD (1,, t)

所以CE AD 0，得AD⊥CE

（II）△ABC为等边三角形，因此A（0，0，3） 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得

2

|AG|=|AD|

3

2223

,故G（,）

333

2008年数学高考题

122 523 GC , , ,GE ,,

333333

又AD (1,2, 3)

GC AD 0,GE AD 0

所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。 由cos(GC,GE)=

10

知二面角C-AD-E为arccos( （19） 解：

（I）由已知an+1=2an+2n得 bn+1=

an 12

n

) 10

2an 2n

2

n

an2

n 1

1 bn 1

又b1=a1=1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列

an

（II）由（I）知

2n 1

n,即an n 2n 1

Sn=1+2³21+3³22+…+n³2n－1

两边乘以2得 2Sn=2+2³22+…+n³2n

两式相减得Sn=－1－21－22－…－2n－1+n³2n =－(2n－1)+n³2n =(n－1)2n+1

（20）解：

记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B表示依方案乙需化验3次，

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B独立，且A A1 A2B

21A1111C4 C224

P(A1) 1 ，P(A2) 2 ，P(B) 31 。

C5 C35A55C55

P(A)=P(A1+A2²B)

=P(A1)+P(A2²B) =P(A1)+P(A2)²P(B)

112

=

555

2008年数学高考题

=

7 25

18

=0.72 25

所以 P(A)=1-P(A)=

（21）解：

（I）f '(x)=3x2+2ax+1 判别式△=4(a2-3) (i)若a>或a<－

a a2 3

3，则在( ,

3

)上f '(x)>0，f(x)是增函数；

a a2 3 a a2 3在（,

33 a a2 3

在（， ）上

3

）内f '(x)<0, f (x)是减函数；

f '(x)>0， f(x)是增函数

(ii)若 3 a ，则对所有x R都有f '(x)>0，故此时f(x)在R上是增函数 (iii)若a=±，则f '( )=0，且对所有的x≠ 都有f '(x)>0，故当 a=±3时，f(x)在R上是增函数

（II）由（I）知，只有当a>或a< 时，

a a2 3 a a2 3

f(x)在（,

33 a a2 3

因此

3 a a2 3且

3

a3a3

）内是减函数

≤ ①

13

23

≥ ②

当|a|>3时，由①、②解得a≥2 因此a的取值范围是[2,+ )

22、解：

x2y2

（Ⅰ）设双曲线方程为2 2 1(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则

ab

c2=a2+b2

不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0 则

|FA|

|b c a 0|

a b

2

2

b，

|| OF2 AF2 a

2008年数学高考题

因为||+||=||，且||=2||-||， 所以|AB|2+|OA|2=(2|AB|-|OA|)2， 于是得tan∠ 4。 3

12

222

又与同向，故∠AOF=∠AOB， 所以 解得 因此

2tan AOF1 tan2 AOF

4 3

tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。

b1

,a 2b,c a2 b2 5b a2

ca

2

12

所以双曲线的离心率e==

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x2-4y2=4b2 ① 由l1的斜率为，c=5b知，直线AB的方程为

y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得 15x2-32bx+84b2=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则

84b232b

x1+x2=，x1²x2= ③

1515

12

AB被双曲线所截得的线段长

l= ( 2)2 |x1 x2| 5[(x1 x2)2 4x1x2] ④ 将③代入④，并化简得l=

4b

，而由已知l=4，故b=3，a=6 3

x2y2

1 所以双曲线的方程为

369

（全国卷Ⅱ理） 17．（本小题满分10分）

54

在△ABC中，cosB ，cosC ．

135

（Ⅰ）求sinA的值；

2008年数学高考题

（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC

33

，求BC的长 2

18．（本小题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1 0.999． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB 4，点E在CC1上且C1E 3EC．

D1

104

平面BED； （Ⅰ）证明：AC1

1 1

A1

（Ⅱ）求二面角A1 DE B的大小． 20．（本小题满分12分）

E

A

C

设数列 an 的前n项和为Sn．已知a1 a，an 1 Sn 3n，n N*． （Ⅰ）设bn Sn 3n，求数列 bn 的通项公式； （Ⅱ）若an 1≥an，n N*，求a的取值范围． 21．（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点，直线y kx(k 0)与

AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若ED 6DF，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

2008年数学高考题

22．（本小题满分12分）

sinx

设函数f(x) ．

2 cosx（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围． 17．解：

512，得sinB ， 1313

43

由cosC ，得sinC ．

55

（Ⅰ）由cosB

所以sinA sin(B C) sinBcosC cosBsinC （Ⅱ）由S△ABC

33

得 2

33

． ²²²²²²²²² 5分 65

133

， AB AC sinA

22

33

由（Ⅰ）知sinA ，

65

故 AB AC 65， ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 8分

AB sinB20

又 AC AB，

sinC13

2013

故 AB2 65，AB ．

132

AB sinA11

所以 BC ²²²²²²²²²²²²²²²²²² 10分 ．

sinC2

18．解：

各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为 ， 则 ~B(104，p)．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当 0， ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 2分

P(A) 1 P(A)

1 P( 0)

2008年数学高考题

1 (1 p)10，

4

又P(A) 1 0.99910，

故p 0.001． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000 50000，

盈利 10000a (10000 50000)，

盈利的期望为 E 10000a 10000E 50000， ²²²²²²²²²² 9分

10 3)知，E 10000 10 3， 由 ~B(104，

E 104a 104E 5 104

4

104a 104 104 10 3 5 104． E ≥0 104a 104 10 5 104≥0

a 10 5≥0

． a≥15（元）

故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ²²²²²²²²²²²²²² 12分

19．解法一：

依题设知AB 2，CE 1．

（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BD AC．

由三垂线定理知，BD AC． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 3分 1在平面A1CA内，连结EF交AC1于点G，

AAAC由于1

FCCE

CFE， 故Rt△A1AC∽Rt△FCE， AAC1

DA1

C1 CFE与 FCA1互余．

E

EF． 于是AC1

AC，EF都垂直， 1与平面BED内两条相交直线BD

2008年数学高考题

所以AC 平面BED． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分 1（Ⅱ）作GH DE，垂足为H，连结A1H．由三垂线定理知A1H DE， 故 A1HG是二面角A1 DE B的平面角． ²²²²²²²²²²²²²² 8分

EF

CG

CE CF

，EG EF1EF FDEG1

，GH

3DEEF3 AC CG 又A1C

AG11

．

tan A1HG

AG1

HG

所以二面角A1 DE

B的大小为arctan ²²²²²²²²²²²² 12分 解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz．

2，，0)C(0，2，，0)E(0，2，1)，A1(2，0，4)． 依题设，B(2，

DE (0，2，1)，DB (2，2，0)，

AC ( 2，2， 4)，DA1 (2，0，4)． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 3分 1

DB 0，ACDE 0， （Ⅰ）因为AC1 1

BD，AC DE． 故AC11

又DB DE D，

平面DBE． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分 所以AC1

（Ⅱ）设向量n (x，y，z)是平面DA1E的法向量，则

n DE，n DA1．

2008年数学高考题

故2y z 0，2x 4z 0．

令y 1，则z 2，x 4，n (41，， 2)． ²²²²²²²²²²²²² 9分

n，A1C等于二面角A1 DE B的平面角，

n AC1

． cosn，AC 1

nAC1

所以二面角A1 DE

B的大小为arccos20．解：

（Ⅰ）依题意，Sn 1 Sn an 1 Sn 3n，即Sn 1 2Sn 3n，

由此得Sn 1 3n 1 2(Sn 3n)． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 4分 因此，所求通项公式为

bn Sn 3n (a 3)2n 1，n N*．① ²²²²²²²²²²²²²²²² 6分

²²²²²²²²²²²² 12分 42

（Ⅱ）由①知Sn 3n (a 3)2n 1，n N*， 于是，当n≥2时，

an Sn Sn 1

3n (a 3) 2n 1 3n 1 (a 3) 2n 2 2 3n 1 (a 3)2n 2， an 1 an 4 3n 1 (a 3)2n 2 2n 2

n 2

3

12 a 3 ，

2

当n≥2时，

3

an 1≥an 12

2

n 2

a 3≥0

a≥ 9．

又a2 a1 3 a1．

2008年数学高考题

． ²²²²²²²²²²²²²² 综上，所求的a的取值范围是 9，12分

x2

21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为 y2 1，

4

直线AB，EF的方程分别为x 2y 2，y kx(k 0)． ²²²²²²²² 2分 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1 x2， 且x1，x2满足方程(1 4k2)x2 4，

故x2 x1

15

由ED 6DF知x0 x1 6(x2

x0)，得x0 (6x2 x1) x2 ；

77由D在AB上知x0 2kx0 2，得x0 所以

2 ，

1 2k2

． 1 2k

化简得24k2 25k 6 0，

23

或k ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分 38

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别

解得k

为h1

h2

． ²²²²²²²²²²²²²²² 9分

又AB ，所以四边形AEBF的面积为

S

1

AB(h1 h2) 2

1 2

2008年数学高考题

≤

当2k 1，即当k

1

时，上式取等号．所以S

的最大值为 ²²²² 12分 2

解法二：由题设，BO 1，AO 2．

设y1 kx1，y2 kx2，由①得x2 0，y2 y1 0， 故四边形AEBF的面积为

S S△BEF S△AEF

x2 2y2 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 9分

当x2 2y2时，上式取等号．所以S

的最大值为 ²²²²²²²² 12分 22．解： （Ⅰ）f (x) 当2kπ

(2 cosx)cosx sinx( sinx)2cosx 1

． ²²²²²²² 2分 22

(2 cosx)(2 cosx)

2π2π1

（k Z）时，cosx ，即f (x) 0； x 2kπ

3322π4π1

当2kπ （k Z）时，cosx ，即f (x) 0． x 2kπ

3322π2π

2kπ 因此f(x)在每一个区间 2kπ ， （k Z）是增函数， 33

2π4π

2kπ f(x)在每一个区间 2kπ ， （k Z）是减函数． ²²²²² 6分 33

（Ⅱ）令g(x) ax f(x)，则

g (x) a

2cosx 1

(2 cosx)2

2008年数学高考题

a

23

2

2 cosx(2 cosx)

2

11 1

3 a ．

3 2 cosx3

1

故当a≥时，g (x)≥0．

3

又g(0) 0，所以当x≥0时，g(x)≥g(0) 0，即f(x)≤ax． ²²²² 9分 当0 a

1

时，令h(x) sinx 3ax，则h (x) cosx 3a． 3

arccos3a 时，h (x) 0． 故当x 0，

arccos3a 上单调增加． 因此h(x)在 0，

故当x (0，arccos3a)时，h(x) h(0) 0， 即sinx 3ax．

于是，当x (0，arccos3a)时，f(x)

sinxsinx

ax．

2 cosx3

π π 1

当a≤0时，有f 0≥a ．

2 2 2

1

因此，a的取值范围是 ，12分 ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²

3

（广东理）

16．（本小题满分13分）

已知函数f(x) Asin(x )(A 0，0 π)，x R的最大值是1，其图像经

π1

过点M ．

32

（1）求f(x)的解析式；

312 π

（2）已知 ， 0 ，且f( ) ，f( ) ，求f( )的值．

513 2

17．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p7g4.html