线性系统的可控性和可观性

线性系统的可控性和可观性

摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。 关键词:线性系统；可控性；可观性

Linear system controllability and observability

Hou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin Huan

Abstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.

Key words: Linear system；Controllable；Observability

0 引言

在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的[1]。

1 可控性

能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。

1.1 线性连续定常系统的可控性定义

线性连续定常系统

??Ax?Bu （1） x如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态

x(t0)，转移到指定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是

能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的[2]。 1.2 线性定常连续系统的可控性判据

线性连续定常单输入系统

??Ax?bu （2） x其可控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵

M?b?AbA2b?An?1b （3）

?满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。

下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态x(tf)为状态空间的原点，并设初始时间为零，即t0?0。

方程（1）的解为

x(t)?ex(0)??eA(t??)bu(?)d?

At0t由能控性定义，可得

x(tf)?0?eAtfx(0)??e0tfA(tf??)bu(?)d?

即 x(0)??注意到e?A??tf0e?A?bu(?)d? （4）

可写成

?A? e???k(?)Ak （5）

k?0n?1将方程（5）代入方程（4）中，可得

x(0)???Akb??k(?)u(?)d? （6）

k?00n?1tf设 那么方程（6）变为

?tf0?k(?)u(?)d???k

n?1x(0)???Akb?k

k?0 ??b???0????1?n?1?Ab?Ab （7） ???????n?1??要是系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式（7）解出?0,?1,?,?n?1来，因此，必须保证

M?bAbA2b?An?1b

的逆存在，亦即其秩必须等于n。

同理，可以证明，对于多输入系统

??Ax?Bu （8） x其能控的充分必要条件是由A,??B构成的能控性矩阵

M?B?ABA2B?An?1B （9）

?满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。

需要注意的是，对于单输入系统，M阵为n?n的方阵，rankM?n与M的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算M的行列式的值是否为零来判断M是否满秩。而对于多输入系统，此时M为n?nr的矩阵，其秩的确定一般的说要复杂一些。由于矩阵M和MTTT积MM是n?n方阵，而它的秩等价于M的秩，因此可以通过计算方阵MM的秩来确定

M的秩[3]。

2可观性

控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题 2.1 可观性概念

能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即

??Ax;x(t0)?x0xy?Cx （10）

如果对任意给定的输入u(t)，在有限的观测时间tf?t0，使得根据[t0,tf]期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观测的[4]。 2.2 线性定常连续系统的可观性判据

线性连续定常系统

??Axx （11）

y?Cx其能观的充分必要条件是由A,C构成的能观性矩阵

?C??CA?? （12） N??

????n?1??CA?满秩，即rankN?n。否则当rankN?n时，系统为不能观的。

证明 由式（11）可以求得

y(t)?CeAtx(0)

由于 e我们可得

At???k(t)Ak

k?0n?1y(t)???k(t)CAkx(0)

k?0n?1?C??CA?? （13） ???0(t)I?1(t)I??n?1(t)I??

????n?1??CA?因此，根据在时间区间t0?t?tf测量到的y(t)，要能从式（13）唯一地确定x(t0)，即完全能观的充要条件是矩阵

?C??CA?? N??????n?1??CA?满秩。

同样，对于单输出系统，N阵为n?n的方阵，rankN?n与N的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算N的行列式的值是否为零来判断N是否满秩。而对于多输出系统，此时N为nm?n的矩阵，由于矩阵N和N积NN是n?n方阵，而它的秩等价于N的秩，因此可以通过计算方阵NN的秩来确定N的秩。

TTT3 可控标准型和可观标准型

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：如约旦标准型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控标准型对于状态反馈来说比较方便，而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵T。这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为：

bn?1sn?1?bn?2sn?2????b1s?b0 W(s)? nn?1s?an?1s?????a1s?a0 （14）

的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型[5]。 3.1 可控标准型

当系统的传递函数如式（14），则可直接写出其能控标准型：

?1??0?x?x?2??0??? ??????????xn?1???0??n??x????a0 y??b010?0?a101?0?????a2?0??x1??0??x??0?0???2??????????0?u （15）

?????1??xn?1?????an?1??1?????xn???b1b2?bn?1?x

如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的，且并不具有能控标准型的形式，则可

用下面的方法将其化为能控标准型。

设系统的状态空间表达式为：

??Ax?buxy?cx （16）

若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换，

x?Tcx （17）

Tc?A?n?1b?1?a?n?1An?2b?b????a2??a101?a3?a2?an?1????? （18） ??1??其中ai为系统特征多项式中对应项系数。

使其状态空间表达式（16）化为：

??Ax?bux （19）

y?cx

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