信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 第七章

第七章 习 题

7.1 已知频谱包含有直流分量至1000 Hz分量的连续时间信号f(t)延续1 min，现对f(t)进行均匀抽样以构成离散信号。求满足抽样定理的理想抽样的抽样点数。

答案

7.2 已知序列

f(k)?{?2,?1,2,7,14,23,???}?k?0

试将其表示成解析（闭合）形式，单位序列组合形式，图形形式和表格形式。

答案

k f(k) 0 -2 1 -1 2 2 3 7 4 14 5 23 6 34 … … 7.3 判断以下序列是否为周期序列，若是，则其周期N为何值？

(1) f(k)?Acos(3??k?) k?Z 78(2) f(k)?ekj(??)8 k?Z

(3) f(k)?Acos?0kU(k)

答案

解答：若存在一个整数N，能使

f(k?N)?f(k)

则f(k)即为周期为N的周期序列；

若不存在一个周期N，则f(k)即为非周期序列。

(1)f(k?N)?Acos[3??3?3??(k?N)?]?Acos[k?N?] 78778取

3?N?2n?,n?0,1,2,...7

故得

N?2n?73

可见当取n=3时，即有N=14。故f(k)为一周期序列，其周期为N=14。

k?N???)8kj(??)8N8(2)f(k)?ej(?eej N欲使f(k)为周期序列，则必须满足?2n?，即N?16n?，但由于n为整数，?8不是整数，故N不可能是整数，因此f(k)不可能是周期序列。

（3）因f(k)?Acos?0kU(k)为因果序列。故为非周期序列。也可以理解为是在

k=0时刻作用于系统的周期序列，其周期为N?2??0。

7.4 求以下序列的差分。

(1) y(k)?k2?2k?3, 求?2y(k); k(2) y(k)??f(i), 求?y(k); i?0

(3) y(k)?U(k), 求?[y(k?1)],?y(k?1),?[y(k?1)],?y(k?1).

答案

解答：（1）方法一

?y(k)?y(k?1)?y(k)?(k?1)2?2(k?1)?3?[k2?2k?3]?2k?1

?2y(k)??y(k?1)??y(k)?2(k?1)?1?[2k?1]?2 方法二

?2y(k)??[?y(k)]??[y(k?1)?y(k)]??y(k?1)??y(k)?y(k?2)?y(k?1)?[y(k?1)?y(k)]?y(k?2)?2y(k?1)?y(k)?(k?2)2?2(k?2)?3?2[(k?1)2?2(k?1)?3]?[k2?2k?3]?2

k(2) y(k)??f(i)?f(0)?f(1)?f(2)?...?f(k) i?0y(k?1)??f(i)?f(0)?f(1)?f(2)?...?f(k)?f(k?1) i?0k?1故

?y(k)?y(k?1)?y(k)?f(k?1) (3) ?[y(k?1)]?y(k)?y(k?1)?U(k)?U(k?1)??(k) 。

这是先延迟后求差分。 因有

?y(k)?y(k?1)?y(k)

故有

?y(k?1)?y(k)?y(k?1)?U(k)?U(k?1)??(k)

这是先求差分后延迟。可见先延迟后求差分和先求差分后延迟是是一样的。

?[y(k?1)]?y(k?1)?y(k?2)?U(k?1)?U(k?2)??(k?1)

（这是先求差分后延迟）

?y(k?1)?y(k?1)?y(k?2)?U(k?1)?U(k?2)??(k?1)

（这是先求差分后延迟)

7.5 欲使图题7.5(a)与图题7.5(b)所示系统等效，求图题7.5(a)中的加权系数h(k)。

f(k)h(0)DDDDh(1)h(2)h(k)?y(k)(a)1f(k)D

y(k)?5DD-6(b)图题 7.5

答案

解答：两个系统等效，意即它们的单位响应相等。图题(b)的差分方程为

y(k)?5y(k?1)?6y(k?2)?f(k)?f(k?1)

故得转移算子

E2?EE?12??1H(E)?2?1?6?1?6??E?5E?6(E?2)(E?3)?E?2E?3??

故得

h(k)??(k)?6?1(2)k?1U(k?1)?2(3)k?1U(k?1)??11?? ??(k)?6??1(2)kU(k?1)?2(3)kU(k?1)?23?? ??(k)?3(2)kU(k?1)?4(3)kU(k?1)

因为当k?0时有

h(0)?1?0?0?1

故上式可写为

h(k)??3(2)k?4(3)kU(k)

因由此式也可得到

h(0)??3?4?1

??图题(a)的差分方程为

?y(k)?h(0)f(k)?h(1)f(k?1)?...?h(i)f(k?i)??h(i)f(k?i)?k(k)?f(k)i?0

欲使图题 (b)和(a)两个系统等效，图题 (a)的单位响应也应为

h(k)??3(2)k?4(3)kU(k)

7.6 已知序列f1(k)和f2(k)的图形如图题7.6所示。求

??y(k)?f1(k)?f2(k)

f1(k)21f2(k)211k11k51-5 -46-3 -2 0 1 2 3 4(a)-5 -4-3 -2 0 1 2 3 4(b)图题 7.6

答案

7.7 求下列各卷积和。

(1) U(k)?U(k) (2) (0.25)kU(k)?U(k) (3) (5)kU(k)?(3)kU(k) (4) kU(k)??(k?2) ) 答案

解答：

(1) U(k)?U(k)?(k?1)U(k) 1?(0.25)k?14(2) (0.25)U(k)?U(k)?U(k)?[1?(0.25)k?1]U(k) 1?0.253k(5)k?1?(3)k?11(3) (5)U(k)?(3)U(k)?U(k)?[(5)k?1?(3)k?1]U(k) 5?32kk(4) kU(k)??(k?2)?U(k)?U(k?1)?U(k?2) 7.8 求下列各差分方程所描述的离散系统的零输入响应y(k)。

(1) y(k?2)?2y(k?1)?y(k)?0,y(0)?1,y(1)?0 ;

(2) y(k)?7y(k?1)?16y(k?2)?12y(k?3)?0,y(1)??1,y(2)??3,y(3)??5。

答案

解答：（1）对差分方程进行移序变换得

(E2?2E?1)y(k)?0

特征方程为

E2?2E?1?0

得特征根为

p1?p2??1

故零输入响应的通解为

y(k)?(A1?A2k)(?1)kU(k)

故有

y(0)?A1?1，y(1)?A1?A2?0

故得

A1?1,A2??1

故得零输入响应为

y(k)?(1?k)(?1)kU(k)

（2）对差分方程进行移序变换得

(1?7E?1?16E?2?12E?3)y(k)?0即(E3?7E2?16E?12)y(k)?0

特征方程为

E3?7E2?16E?12?0

特征根为

p1?p2?2,p3?3

故零输入响应的通解为

y(k)?[(A1?A2k)2k?A3(3)k]U(k)

故有

y(1)?(A1?A2)2?3A3??1

y(2)?(A1?A2)22?A3?32??3 y(3)?(A1?A2)23?A3?33??5

联解得

A1??1,A2??1,A3?1

故得零输入响应为

y(k)?[(?1?k)2k?3k]U(k)

7.9 已知系统的差分方程为

y(k)?51y(k?1)?y(k?2)?f(k)?f(k?2)66

求系统的单位响应h(k)。

答案

解答：系统差分方程的转移算子为

1?E?2E2?1H(E)???5?11?25121?E?EE?E?6666E21??1111(E?)(E?)(E?)(E?)2323???????EE?1?E??E??11?11??(E?)(E?)??(E?)(E?)?23?23????????32?32??1?E???E???11?11??E??E?E??E??23?23?????EE32??1?3?2?E??1111??E?E?E?E??2323??

故得

1?1?1?1?h(k)??3()k?2()k?U(k)??3()k?2?2()k?2?U(k?2)3?3?2?2?

7.10 已知差分方程

y(k?2)?5y(k?1)?6y(k)?U(k)

系统的初始条件

yx(0)?1,yx(1)?5

求全响应y(k)。

答案

解答：（1）求零输入响应yx(k)

E2?5E?6?0

得特征根为

p1?2,p2?3

故

yx(k)?A1(2)k?A2(3)k yx(0)?A1?A2?1

yx(1)?2A1?3A2?5

联解得

A1??2,A2?3

故

yx(k)?[?2(2)k?3(3)k]U(k)?[?(2)k?1?(3)k?1]U(k)

（2）求h(k)

1?11??E2?5E?6E?2E?3

H(E)?故得

h(k)??(2k?1?3k?1)U(k?1)

（3）求零状态响应yf(k)

yf(k)?h(k)?f(k)?[?2k?1U(k?1)?3k?1U(k?1)]?U(k)??2k?1U(k?1)?U(k)?3k?1U(k?1)?U(k)

查卷积和表得

11yf(k)?[?(2)k?(3)k]U(k)22

全响应为

7?1?y(k)?yx(k)?yf(k)???3(2)k?(3)k?U(k)2?2?

7.11 某人每年初在银行存款一次，第1年存款1万元，以后每年初将上年所得利息和本金以及新增1万元存入当年，年利息为5%。(1)列此存款的差分方程；(2)求第10年底在银行存款的总数。

答案

解答：（1）设第k年初银行存款总额为y(k)，则差分方程为

5?U(k)100

y(k?1)?y(k)?y(k)?式中y(k?1)为k?1年初存款的总数，U(k)为第k?1年初新增存款1万元。整理之得

y(k?1)?1.05y(k)?U(k)

由于y(0)?0，故只存在零状态响应。传输算子为

H(E)?1E?1.05

故

k(k)?(1.05)k?1U(k?1)

故

y(k)?U(k)?h(k)?U(k)?(1.05)k?1U(K?1)?1?(1.05)Ku(K?1)?20[(1.05)K?1]u(K?1)1?1.05当k=10时有

y(10)?20[(1.05)10?1]?1?12.5779万元

故第10年底银行的存款总数为

5??y(10)??1??13.2068?100??万元

7.12 已知差分方程为

y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?f(k)

激励

f(k)?2kU(k)

初始值

y(0)?0,y(1)?2

试用零输入-零状态法求全响应y(k)。

答案

解答：（1）求零输入响应yx(k)。

系统的特征方程为

E2?3E?2?0

得特征根为

p1??1,p2??2

故得零输入响应yx(k)的通解为

yx(k)?A1(?1)k?A2(?2)k

待定系数A1,A2必须根据系统的初始状态来求，而不能根据全响应的初始值

y(0)?0,y(1)?2来求。又因为激励f(k)是在k?0时刻作用于系统的，故初始状

态应为y(?1),y(?2)。下面求y(?1),y(?2)。 取k?1，代入原差分方程有

y(1)?3y(0)?2y(?1)?2

即

2?0?2y(?1)?2

故得

y(?1)?0

取k?0，代入原差分方程有

y(0)?3y(?1)?2y(?2)?1

即

0?0?2y(?2)?1

故得

12

y(?2)?将所求得的初始状态y(?1)?0，

y(?2)?12代入式（1）有 1A2?02

yx(?1)??A1?yx(?2)?A1?11A2?42

联解得A1?1,A2??2。故得零输入响应为

yx(k)?(?1)k?2(?2)k,k?0

（2）差分方程的转移算子为

E2H(E)???1?3E?1?2E?2E2?3E?2E2???1E?E????(E?1)(E?2)?E?1E?2??E2E?E?1E?2

1kkh(k)??(?1)?2(?2)U(k) 故得单位响应为

??（3）零状态响应为

yf(k)?h(k)?f(k)?2k??(?1)k?2(?2)k?2k??(?1)k?2k?2(?2)k?11?(?1)k?(2)k?(?2)k,k?033（4）全响应y(k)?yx(k)?yf(k)，即

????

111 2y(k)?(?1)k?2(?2)k?(?1)k?(?2)k?(2)k?(?1)k?(?2)k?(2)k,k?03333 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应

7.13 已知离散系统的差分方程与初始状态为

y(k?2)?51y(k?1)?y(k)?f(?1k)?2f(k),y(0)?y(1)?1,f(k)?U(k)66

(1)求零输入响应yx(k)，零状态响应yf(k)，全响应y(k)； (2)判断该系统是否稳定；

(3)画出该系统的一种时域模拟图。

答案

解答：（1）

H(E)?E?2?910??5111E2?E?E?E?6623

故零输入响应的通解为

1??1yx(k)??A1()k?A2()k?U(k)3??2

故有

y(0)?A1?A2?1

y(1)?11A1?A2?123

联解得A1?4,A2??3。故得零输入响应为

1??1yx(k)??4()k?3()k?U(k)3??2

（2）系统的单位序列响应为

11??h(k)???9()k?1?10()k?1?U(k?1)

23??故零状态响应为

11??yf(k)?h(k)?f(k)?U(k)???9()k?1?10()k?1?U(k?1)?23???1k?1k?????181?()?151?()??U(k?1)?????2?3?????1k?1k?18()?15()?3U(k)??23??

（3）全响应为

1?1?y(k)?yx(k)?yf(k)??22()k?18()k?3?U(k)3?2?

11,2（4）由于差分方程的特征根3的绝对值均小于1，故系统是稳定的

（5）系统的一种时域模拟图如图题7.13所示

1f(k)?D5/6-1/6D-2?y(k)图题 7.13

7.14 已知系统的单位阶跃响应

114g(k)?[?(?1)k?(?2)k]U(k)623

求系统在

f(k)?(?3)kU(k)

激励下的零状态响应yf(k)，写出该系统的差分方程，画出一种时域模拟图。

答案

解答：先求单位响应h(k)。 因有

?(k)??U(k)?U(k)?U(k?1)

故根据系统的差分性有

h(k)??g(k)?g(k)?g(k?1)44?11??11? ???(?1)k?(?2)k?U(k)???(?1)k?1?(?2)k?1?U(k?1)

33?62??62? ??(?1)k?2(?2)kU(k)??故得

yf(k)?h(k)?f(k)?(?3)kU(k)??(?1)k?2(?2)kU(k)1?9? ??(?3)k?4(?2)k?(?1)k?U(k)2?2???

又由h(k)的表达式可求得转移算子为

?E2EE21H(E)???2?E?1E?2E?3E?21?3E?1?2E?2

故得系统的差分方程为

y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?f(k)

其模拟图如图题7.14所示

y(k)f(k)?-3-2DD图题 7.14

7.15 已知零状态因果系统的单位阶跃响应为

g(k)?[2k?3(5)k?10]U(k)

(1)求系统的差分方程； (2)若激励

f(k)?2G10(k)?2[U(k)?U(k?10)]

求零状态响应y(k)。

答案

解答：（1）由阶跃响应g(k)的表达式可知，特征方程有两个特征根：

p1?2,p2?5

故知该系统是二阶的。故可设系统的差分方程为

my(k)?a1y(k?1)?a2y(k?2)??bif(k?i),(i?0,1,2,...,m)

i?0系统的特征多项式为

E2?a1E?a2?(E?2)(E?5)?E2?7E?10

故得

a1??7,a2?10

故得差分方程为

my(k)?7y(k?1)?10y(k?2)??bif(k?i)i?0

下面再求系数bi。先求单位响应h(k)。当激励f(k)??(k)时，系统的差分方程变为

mh(k)?7h(k?1)?10h(k?2)??bi?(k?i)i?0

因有

?(k)??U(k)?U(k)?U(k?1)

故根据线性系统的差分性有

h(k)??g(k)?g(k)?g(k?1) ?2k?3(5)k?10U(k)?10?(2)k?1?3(5)k?1U(k?1) ?14?(k)?(2)k?1?12(5)k?1U(k?1)故得：

h(?2)?0,h(?1)?0,h(0)?14,h(1)?13,h(2)?62,h(3)?304,h(4)?1508,...

??????将这些值代入式（1）得

?14,k?0??85,k?1?h(k)?7h(k?1)?10h(k?2)??,k?2?111??0,k?3

故得系数

b0?14,b1??85,b2?111,b3?b4?...?bm?0

最后得差分方程为

y(k)?7y(k?1)?10y(k?2)?14f(k)?85f(k?1)?111f(k?2)

实际上，由于因果系统总是有m?n，今n?2阶，故必有

b3?b4?...?bm?0

（2）根据线性系统的齐次性与移序不变性可得

y(k)?2?g(k)?g(k?10)??22k?3(5)k?10U(k)?2k?10?3(5)k?10?10U)k?10 7.16 图题7.16所示(a)，(b)，(c)三个系统，已知各子系统的单位响应为

??????h1(k)?U(k)

h2(k)??(k?3)

h3(k)?(0.8)kU(k)

试证明三个系统是等效的，即

ha(k)?hb(k)?hc(k)。

h2(k)?(k)y1(k)h1(k)?+?y3(k)h3(k)ha(k)y2(k)(a)h2(k)?(k)y1(k)h1(k)h3(k)?+(b)h2(k)h1(k)?hb(k)y2(k)y1(k)?(k)h3(k)h1(k)?+(c)图题 7 . 16?hc(k)y2(k)

答案

解答：欲证明三个系统相互等效，只要证明三个系统的单位响应相同即可。 （1）求图题7.16(a)的单位响应ha(k)

y1(k)??(k)?h1(k)?h2(k)??(k)?U(k)??(k?3)?U(k?3)y2(k)??(k)?h1(k)??(k)?U(k)?U(k)y3(k)?y2(k)?y1(k)?U(k)?U(k?3)ha(k)?y3(k)?h3(k) ??U(k)?U(k?3)??0.8kU(k)?0.8kU(k)?U(k?3)?0.8kU(k) ?5(1?0.8k?1)U(k)?5(1?0.8k?2)U(k?3)

（2）求图题7.16(b)的单位响应hb(k)

y1(k)??(k)?h1(k)?h3(k)?h2(k) ??(k)?U(k)?0.8kU(k)??(k?3)?5(1?0.8k?2)U(k?3)y2(k)??(k)?h1(k)?h3(k)??(k)?U(k)?0.8U(k)?5(1?0.8hb(k)?y2(k)?y1(k)?ha(k)kk?1)U(k)

（3）求图题7.16(c)的单位响应hc(k)

y1(k)??(k)?h3(k)?h2(k)?h1(k) ??(k)?0.8kU(k)??(k?3)?U(k)?5(1?0.8k?2)U(k?3)y2(k)??(k)?h3(k)?h1(k)??(k)?0.8U(k)?U(k)?5(1?0.8hc(k)?y2(k)?y1(k)?ha(k)?hb(k)kk?1)U(k)

故三个系统是等效的。

7.17 试写出图题7-17(a)，(b)所示系统的后向与前向差分方程。

y(k)f(k)?Dy(k)f(k)?-5DD-1/5-6(a)图题 7.17(b)

答案

解： （a）

1y(k)?f(k?1) 5y(k?1)?1（b）

y(k)?5y(k?1)?f(k) y(k?2)?5y(k?1)?6y(k)?f(k?2)y(k)?5y(k?1)?6y(k?2)?f(k)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p74p.html