几何画板教案

《几何画板》课程教学计划

一、教学目的和要求

《几何画板》是为数学师范专业学生开设的一门计算机基础课程，内容涉及几何画板这一数学微型课件制作软件的理论、操作和实践的方法，主要有计算机辅助教学概述、几何画板概述、几何画板的基本功能、应用范例等内容。通过本课程的教学，要求学生掌握利用几何画板制作中小学数学等课程内容多媒体课件的方法，提高学生从静态到动态、从抽象到形象、从微观到宏观、从定性到定量分析数学问题的能力，培养学生不断进取、积极探索、努力创新的精神。

本课程以上机实验为主，操作演示为辅，在教学过程中应充分调动学生的积极性，多实践、多操作，通过不断发现问题、解决问题、积累经验来巩固知识。

二、选用教材

《几何画板实用范例教程》，陶维林编著，清华大学出版社。 三、主要参考书

《几何画板课件制作教程》（第二版），刘胜利编，科学出版社。 《几何画板与中学数学微型课件制作》，许兴业编著，广东科技出版社。

《多媒体技术教程——案例、训练与课程设计》，胡伏湘、龚中良等编著，清华大学出版社。

四、课时计划

教学28课时，实验16课时。具体安排见《肇庆学院课程进度及执行计划》。 五、考核要求

本课程为考查课。平时成绩占总评成绩的30%，平时成绩由实验、作业、课堂及考勤等组成。期末成绩占总评成绩的70%，期末考试采用上机考试的形式，以考核基本理论、基本技能为主。

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教学内容 几何画板简介 工具箱介绍 文件、编辑菜单介绍 几何画板和其他程序交换信息 课时安排 教学重点 2课时＋2课时实验 1、熟练掌握利用工具箱绘制基本的几何图形。 教学难点 自定义工具的使用。 教法举要 讲授为辅，操作演示、上机实验为主。 作业与思考 1、试着在中文Windows系统环境下安装几何画板软件。 2、打开几何画板，观察窗口的组成。 教学后记 本章内容相对简单，要求不高。通过操作演示可以提高学生对学习几何画板的兴趣。

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一、 几何画板简介 1.1几何画板简介 几何画板具有的功能

1、计算机上的直尺和圆规 2、多种图形的变化功能 3、测量和计算功能 4、绘制多种函数图像 5、Windows应用程序中的众多功能 6、制作复杂的动画 7、制作脚本 8、保持和突出几何关系 几何画板是这样的一个工具

1、便捷的交流工具 2、优秀的演示工具 3、有力的探索工具 4、重要的反馈工具 5、简单的使用工具 1.2使用几何画板的准备工作

1、安装几何画板软件（演示） 2、启动几何画板（演示） 3、退出几何画板（演示） 1.3几何画板的窗口

1、绘图区 2、工具箱 3、状态栏 1.4几何画板的文件

1、新建、打开、保存gsp文件的方法。 1.5几何画板的用户参数设置

1、单位、颜色、文本参数设置。

2、导出、采样、系统参数设置（高级参数选项）。 二、工具箱简介

1、

：选择箭头工具。选择对象是它的主要功能。

，分别是：“移动”、“旋转”、“缩放”。

选择箭头工具展开有三个工具

1）选中一个对象。

2）选择两个或多个对象。 3）都不选中。

4）用选择工具修改对象的标签。 5）用选择工具作对象间的交点。 6）选择对象的父母或子女。

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7）旋转对象。 8）缩放对象。

注意：先选某一点作为旋转或缩放中心，再拖动对象旋转或缩放。

注意：画完一个对象后，要养成点击选择箭头工具或按下Esc键的习惯来返回选择状态。 2、3、

：点工具。将鼠标移动到绘图区中单击一下，就绘制一个点。

：圆规工具。将光标移动到绘图区中单击一下（确定圆心），然后移动鼠标到另

一位置（起点和终点间的距离就是半径）再单击一下鼠标，就绘制一个圆。

4、

：直尺工具。将光标移动到绘图区中单击一下（确定一个端点），然后移动鼠标

到另一位置再单击一下鼠标（确定另一个端点），就绘制一条线段。

直尺工具展开有三个工具5、

，分别是：“画线段”、“画射线”和“画直线”。

：文本工具。加标注（即说明性的文字，注意数学符号面板的使用）或给对象标

标签。单击文本工具，光标由箭头变为白手）。当白手移到某对象处，变为（黑手）单击鼠标，对象显示标签，再单击鼠标，对象隐藏标签。当白手或选择箭头移到某标签处，变为，双击鼠标可以修改标签。

请将图3中的所有对象添上标签。去掉标签也容易，只需对上图的每一个对象，单击，标签就没有了。在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时，系统会自动给您画的对象配标签。文本工具就是一个标签的开关，可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏。选中某对象，可在文本工具栏里改变该对象的标签的字号和颜色。 6、：自定义工具。可以使用自定义工具快速画出预先设定好的图形，可以通过创建新工具建立新的作图模板，可以将某图选中然后创建新工具并显示脚本视图来查看其绘图过程。

建立自己的自定义工具的方法：画出图形并全选图形，在自定义工具中选创建新工具；删除全部图形；重复这样的操作可以在本文件中创建多个自定义工具，也可以在工具选项中复制其他工具到本文件，最后把文件保存到几何画板的工具目录（Gsptools或Tool Folder）；在自定义工具中选择工具目录。

参照脚本一步步作图的方法：在自定义工具中选中某工具并显示其脚本；按脚本中的先决条件作出相应的对象，然后按先决条件中的顺序逐个选中这些对象；点击脚本窗口中的应用下一步骤就可以一步步按照脚本的提示作出图来。

7、

带内部的多边形。

8、

：标记工具。给一些图形加标记或直接在绘图区画图。当给某个角加了标记后，

：多边形工具。画带内部不带边框、带内部和边框、带边框不

选中该标记，就可以度量该角的角度值了。

9、：信息工具。可以用信息工具直接显示某对象的父对象和子对象信息，就象在属性对话框中看到的那样。

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三、文件菜单

1、文档选项。管理本文档中的页面和自定义工具。 四、编辑菜单 1、分离/合并。

1）文本的分离与合并（举例两个文本框内容的合并）5.0版利用热对象合并文本功能：把鼠标光标放在第一个文本插入点处，然后按住shift键，接着点击要合并的另一文本。类似地，还可以合并参数到文本、关联按钮、关联点、线、圆、多边形等等。

2）图形的分离与合并（举例将线外一点合并到线上）

3）合并文本到点（举例将一个文本框合并到线上一点。在高级菜单中实现） 4）从定义分离点（如将经反射变换得到的点分离，在高级菜单中实现） 2、编辑定义

允许编辑一个选定的计算、函数、数字参数或绘制的点的定义。如果选定了一个参数、一个计算或一个函数，就会出现“计算器”，允许修改其值或表达式。如果选定了一个绘制的点，就会出现“绘制点”对话框，允许改变该点的坐标。5.0版本不能改点的坐标。

3、同时选中多边形内部和图片(两者要重合,有交集),点菜单[编辑]中的[剪裁图形至多边形]。通过多边形剪裁图片，只取图片的特定部分。你可以改变裁剪形状和大小。

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五、和其它Windows应用程序交换信息

1、从其他应用程序（如Word）粘贴内容 1）粘贴文本内容：

（1）编辑/粘贴图片。文本信息以图形方式被粘贴到画板上，用鼠标拖动粘贴的内容，可放置到画板的任何位置。

（2）先在画板中用文本工具拖曳出一个文本框，然后编辑/粘贴文本，文本信息以文本方式粘贴到画板上。注意：一些文本格式信息会丢失。

2）粘贴图形。比如各种图片、艺术字、特殊字符等，需要借助其他软件制作好，然后粘贴到几何画板中使用。

（1）静态粘贴。直接粘贴在画板中，将图片缩放为合适大小，再拖动到指定位置。 （2）动态粘贴。粘贴在一个动点上，拖动图片右下角控制点，将图片缩放为合适大小，可以实现图块的动画或移动。

（3）缩放粘贴。同时选中定点和动点，将图形粘贴在这两点之间，作动点在某路径上的移动或动画，可以实现图块的缩放效果。(5.0版还可以粘贴到3个点，可以将图片直接拖到绘图区，要将图片从2或3个点中分离，必须按下shift键)

3）粘贴声音、电影、PPT等各种文件。通过编辑/操作类按钮/链接实现。

2、在Powerpoint中链接几何画板文件：使用超链接、动作按钮调用几何画板文件。使用几何画板控件直接在PPT上打开几何画板文件。

3、将几何画板中生成的表的数据复制到EXCEL中进行处理。 4、文件/另存为菜单：

另存为一种掌上电脑几何画板支持的文件gs4；

另存为网页文件htm（需和几何画板安装目录中的jsp目录放在一起，一些几何画板对象目前还不能显示）；

另存为图片（emf或wmf格式）。

子对象与父对象的关系：子对象与父对象间存在某种依赖关系，如互相垂直，当父对象移动时，子对象相应移动以保持相互关系。当父对象删除时，子对象失去依赖也会自动删除。为此，可以采用隐藏功能。

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教学内容 显示、构造与度量菜单介绍 课时安排 教学重点 2课时＋2课时实验 1、掌握构造菜单各功能的使用。 2、掌握度量菜单各功能的使用。 3、踪迹和轨迹的区别。 教学难点 作多边形内部（依次选择多边形的顶点构造）。 构造轨迹的方法。 教法举要 讲授为辅，操作演示、上机实验为主。 作业与思考 1、制作三角形的垂心。 2、制作三角形内心（角平分线交点）和内切圆图形。 教学后记 注意点移到线上的特征。 有些学生作三角形内切圆时半径出错。

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一、显示菜单

1、运动控制台

使用运动控制台可生成对象的动画，并控制选定对象的动画参数。 2、参数颜色

可以用一个“参数化颜色”使 “颜色数字化” 。该数字由几何画板的值（如度量）给出。当该值改变时，颜色也改变。

这个命令仅当已经选定了一个或三个数值（度量、计算或参数），并且一个或更多可以参数形式着色的对象（点、圆、弧、直线型对象或内部）也被选定时可用。

如果选定了一个度量，则该度量可用于从光谱（从紫色排列到深红色）中设置一种彩色或灰色。可以设置“参数范围”——即相应于可用颜色或深浅的一个完整周期的数字间隔。也可以设置“颜色范围”，使循环方式分别为不要循环、单向循环或双向循环。

如果选定了三个度量，除了可以设置参数范围和颜色范围外，还可以设置是将三个度量作为RGB（红、绿、蓝）的值还是HSV（色调、饱和度、亮度）的值。

操作演示并解说用一个参数和三个参数改变圆颜色的例子。 二、作图菜单

作图 功能描述 对象上的点 中点 交点 线段 射线 直线 平行线 垂线 角平分线 以圆心和圆周上的点画圆 以圆心和半径画圆 圆上的弧 过三点的弧 内部 轨迹 在选中的一个或一个以上对象上随机取一点 作出选中的一条或多条线段的中点 作出选中的两个相交的对象所有的交点。5.0可以做出函数曲线间的交点。 对选中的2个以上的点，按顺序用线段连接 对选中的2个以上的点，按顺序用射线连接 对选中的2个以上的点，按顺序用直线连接 过某点作某线的平行线 过某点作某线的垂线 作过3点的角的平分线，第二个点为角的顶点 对选中的2个点，作以第一个点为圆心，过第二个点的圆 对选中的一点和一条线段（或带长度单位的数值），作以点为圆心，线段长为半径的圆 对选中的圆和圆上2点，按逆时针方向作弧 按选中的3个点顺序作弧 对选中的3个以上点，按顺序作出以这些点为顶点的多边形内部；对选中的一个圆，作出圆的内部；对选中的一段弧，作出弧的扇形内部或弓形内部 选中某任意点和与它对应的一个对象，作出该对象的轨迹 8

关于轨迹

1、用显示/追踪功能，追踪轨迹上的动点（线、圆等对象），在动画中留下的踪迹（不能保存），可以动态演示轨迹形成的过程。操作步骤为：先选中要进行追踪的任何对象、多个对象将其设为追踪状态，再执行显示/追踪。要取消追踪，先选中要取消的追踪对象，然后再执行一次显示/追踪。通过显示/擦除追踪踪迹或按下Esc，可以清除踪迹。

2、用构造/轨迹功能，构造某对象轨迹：选定在某路径上的一个任意点和能够跟随此点运动的一个对象，生成该对象的轨迹。

注意：决定路径的父对象是特殊点，不是任意点，例如决定圆的半径的点、决定线段的两个端点等。路径可以是线、圆周、圆弧、轨迹、函数图象或多边形内部的边界。一次只能作一个轨迹。

3、动画与轨迹追踪。在设定好追踪对象后，再作自变量动点的动画，可以直观的看到轨迹的形成过程。

4、由两个动点产生的轨迹。对于由两个自变量动点确定的轨迹，只能用显示/追踪来实现。

三、度量菜单

度量 功能描述

长度 距离 周长 圆周长 角度 面积 弧度角 弧长 半径 比 点的值 坐标 横坐标 纵坐标 坐标距离 斜率 方程 度量选中的一条或多条线段的长度 度量选中两点之间或选中点到选中线的距离 度量选中的多边形内部、扇形、弓形的周长 度量选中的一个或多个圆周的长度 度量选中的三个点，以第二个点为顶点的角度值 度量选中的多边形内部、圆、圆内部或弧内部的面积 度量选中的一个或多个弧、扇形、弓形所对应的弧度角 度量选中的一个或多个弧的长度 度量选中的弧、圆、圆内部、扇形、弓形所对应圆的半径 度量选中的两条线段比值或一条线上三点距离的比值 度量某点到某对象的端点的相对值。（5.0功能） 度量选中的一个或多个点的坐标值 度量选中的一个或多个点的横坐标值 度量选中的一个或多个点的纵坐标值 度量选中的两个点之间相对坐标刻度的距离 度量选中的一条或多条线的斜率 度量选中的一个或多个圆、直线的方程 9

强调：1、作平行线时不要选中线的两端点。2、三角形、多边形的内部通过依次选中其顶点构造。3、选择圆和圆上的弧的切换。4、两点距离不受坐标系影响，坐标距离受坐标系改变的影响。 教学内容 操作类按钮介绍 变换菜单介绍 数据和绘图菜单介绍 课时安排 教学重点 2课时＋2课时实验 1、掌握变换菜单各功能的使用。 2、掌握动画和移到功能的使用。 教学难点 1、迭代。 2、自定义变换。 教法举要 讲授为辅，操作演示、上机实验为主。 作业与思考 尝试作一个动画和一个移动的例子。 通过自定义变换构造前进的脚印。 教学后记 注意区分选择箭头工具中的旋转、缩放与变换菜单中的旋转、缩放的不同。

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如何控制立体图形的旋转

以四棱柱为例：

1、作圆O，在该圆上取任意点A、B，并在直径AO上取点C。

2、任取点O/，让点O/按标记向量OB平移两次得点F。以点O/、F作大圆，再以O/为圆心，二倍OC长为半径作小圆。作射线O/F（标签为l），交小圆于点E。）

3、把射线l绕点O/旋转90度（若是正n棱柱，旋转角为360度/n），得到射线l/，再依次旋转2次得到射线l//、l///，得与小圆的交点G、I、K，与大圆的交点H、J、L。

5、分别过点E、G、I、K作OA的平行线，再过点F、H、J、L作OA的垂线，得四个交点M、N、R、P。

6、用粗线连接M、N、R、P，得四边形MNRP。

7、过点O/作OA的垂线，在该垂线上任画一点Q，标记向量O/Q，把四边形MNRP按标记向量O/Q平移，得到四边形M/N/R/P/，用粗线连接MM/、NN/、RR/、PP/，得到四棱柱M/N/R/P/－MNRP。

8、最后隐藏不必要的圆、线、点，其中点B控制左右旋转，点A控制上下翻转，点C控制前后翻转。

旋转几何体中的虚线问题

将大圆划分为几段弧，和某些弧的交点的投影决定的线显示为虚线，这样增强立体感。以四棱柱为例：

1、作圆O，在该圆上取任意点A、B，并在直径AO上取点C。 2、任取点O/，让点O/按标记向量OA平移两次得点A/。

3、以点O/、A/作大圆，再以O/为圆心，二倍OC长为半径作小圆。

4、标记点O/为旋转中心，把点A/旋转45度得A//（若是正n棱柱，旋转角为180度/n）；再把A//旋转90度得A///；分别作出劣弧A//A///和优弧A///A//；隐藏大圆；过点O/作OB的平行线，交小圆于点E；隐藏该平行线，作射线O/E（标签为l），交优弧于点F。

5、把射线l绕点O/旋转90度（若是正n棱柱，旋转角为360度/n），得到射线l/，再依次旋转2次得到射线l//、l///；分别作出射线l/、l//、l///与小圆的交点G、I、K，与大圆的优弧或劣弧的交点H、J、L。

6、过点F作半径OA的垂线，过点E作半径OA的平行线，作两直线的交点M，隐藏两直

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线，则M为F的投影。同理作出H、J、L的投影N、R、P。用粗线连接M、N、R、P，得四边形MNRP。

7、过点O/作OA的垂线，在该垂线上任画一点Q，标记向量O/Q，把四边形MNRP按标记向量O/Q平移，得到四边形M/N/R/P/，用粗线连接MM/、NN/、RR/、PP/，得到四棱柱M/N/R/P/－MNRP，把劣弧上的投影点N所决定的NR、NM、NN/设置为虚线。

8、缓缓拖动点B逆时针转动，四棱柱会出现不全的现象。补全射线l、l/、l//、l///与大圆的优弧或劣弧的四个交点，并作出相应的投影，再补全四棱柱，把劣弧上的投影点所决定的线设置为虚线。

9、最后隐藏不必要的圆、线、点，作点A、B、C的动画按钮，其中点B控制左右旋转，点A控制上下翻转，点C控制前后翻转。

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教学内容 立体图形的展开： 1、五棱柱侧面展开 2、圆柱侧面展开 课时安排 教学重点 2课时+2课时实验 1、掌握旋转体侧面展开的方法。 教学难点 变半径圆上的定长弧线。 教法举要 讲授为辅，操作演示为主。 作业与思考 1、操作练习无棱柱侧面展开和圆柱侧面展开。 教学后记 为使卷动展开具有较好的视觉效果，可调节点B的位置，分段用不同速度移动点O。

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五棱柱侧面展开

五棱柱侧面展开

首先作以五边形ABCDE为底的五棱柱，再以AB为不动边，其它各边沿两个方向同时展开，让它的右边（左边）两条边的上端点，分别沿相应的圆作顺时针（逆时针）方向移动，移动到过其下端点并与AB平行的直线上，就实现了棱柱的侧面展开。制作步骤如下：

1、用画线段工具画五边形ABCDE，标签改名为abcde。 2、画以五边形abcde为底的五棱柱的立体图：

（1）标记向量a到b，另画一点A，让点A按标记向量平移得点B，作线段AB。 （2）作五棱柱侧面的立体图：以A为圆心，线段ae为半径画圆c1，在圆c1上任取一点E，连接AE；以B为圆心，线段bc为半径画圆c2，在圆c2上任取一点C，连接BC；以C为圆心，线段cd为半径画圆c3，在圆c3上任取一点D1，连接CD1；以E为圆心，线段ed为半径画圆c4，在圆c4上任取一点D2，连接ED2；在上下方向画线段MN，标记向量MN，将点A、B、C、D1、D2、E及它们的连线按标记向量平移，得到五棱柱的另一个底，隐藏其标签；连接两底相应的点，作相应的四边形内部，给各侧面着上不同的颜色（浅色）。

（3）作五棱柱的侧面复原：让点A按标记向量ae平移，得到圆c1上的点E/；让点B按标记向量bc平移，得到圆c2上的点C/；让点C按标记向量cd平移，得到圆c3上的点D1/；让点E按标记向量ed平移，得到圆c4上的点D2/；选择点C和点C/、点E和点E/、点D1和点D1/、点D2和点D2/，作移动按钮，标签为复原。

（4）作五棱柱的侧面展开：过点E、B、C作线段ab的平行线，分别交圆c1于点E//、交圆c2于点C//、交圆c3于点D1//、交圆c4于点D2//（取能使各底边和AB平行的交点）；选择点D1和点D1//、点D2和点D2//、点C和点C//、点E和点E//，作移动按钮，标签为展开。

（5）隐藏掉不必要的对象。

圆柱侧面展开

以圆柱的侧面展开为例介绍各种旋转体和棱柱、棱锥、棱台的侧面的统一展开方法。 基本思路：用变半径圆上一段定长的弧线，当半径逐渐变大时，动态演示这段弧线的展开过程。当半径逐渐变小时，动态演示这段弧线的卷缩过程。

作图步骤：

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1、确定与展开相关的参数

（1）在y正半轴上作点A、o，以点A和o作射线，在该射线上取一个任意点O和一个远点B。

（2）度量点A、o的距离，改标签为r，计算2×π×r的值，改标签为l。度量点A、O的距离，改标签为R，在弧度制（参数选项中设角度单位为弧度）下计算l/R×1弧度的值，改标签为Q（在大圆O上弧l所对应的圆心角）。计算Q/2、－Q/2。

2、在大圆上绘制定长弧线

（1）让点A以点O为中心按标记角Q/2旋转，再按标记角－Q/2旋转一次，得到点A/、A//，过点A/、A、A//作弧。

（2）过点A作AO的垂线k，在圆弧A/AA//上任取一点F，过点F作直线k的垂线段FG，并取FG的中点H。同时选中点F、H作轨迹，得到相应的椭圆弧。

3、作还原和展开按钮

（1）将点o向上平移0.001cm，得o/点（目的是保证椭圆弧的显示），作点O到点o/的移动按钮，改标签为还原；作点O到点B的移动按钮，改标签为展开。

（2）只保留椭圆弧、点o、B和操作按钮，隐藏不必要的点、线、圆等。 以该椭圆弧为基础，构造圆柱、锥、台，棱柱、锥、台的展开。

拖动点o，改变椭圆弧的长短和方向，调节点B的位置，使展开具有较好的视觉效果（可采取分段用不同速度移动）。

4、构造圆柱的展开

（1）画线段EF并标记向量，用来控制圆柱母线的长短和方向。

（2）在椭圆弧上画三点X、Y、Z，其中X为椭圆弧的左端点，Z为椭圆弧的右端点，Y为中间任一点。

（3）选中点X、Y、Z，按标记向量平移，得到点X/、Y/、Z/，并用线段连接XX/、YY/、ZZ/。 （4）选中点Y/和点Y，作轨迹；选中线段YY/和点Y，作轨迹，得到圆柱侧面。 按展开或还原按钮，即可动态演示圆柱侧面的展开。

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教学内容 函数图像及其变换一：函数f(x)?4?x、f(x)?ax x?1?x2,(a?x?1) f(x)?ax、f(x)?x(x?[?1,2])、f(x)??2?1?(x?1),(1?x?b)22的图像 课时安排 教学重点 2课时+2课时实验 1、掌握绘制各种函数图像的方法。 2、掌握构造函数自变量、常数和参数的方法。 教学难点 构造函数自变量、常数和参数的方法。 教法举要 操作演示为辅，上机实验为主。 作业与思考 1、上机练习绘制各种函数曲线。 教学后记 分段函数临界点问题的解释？

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函数曲线的绘制

当自变量没有限制且无需提供改变自变量的措施时，一般用绘制函数功能。否则一般用先画轨迹上一点，再画轨迹的方法。 轨迹法绘制函数图像的一般步骤： 1）设置函数作图的支持环境 （1）直角坐标系下的图形

单击图表/网格/方形（或矩形）网格选项；

单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。 （2）极坐标系下的图形

单击图表/网格/极坐标网格选项；

单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。 2）建参数、定范围

根据函数式中的系数、参数、自变量的变化规律，构造系数、参数、自变量。 3）计算函数式的值。

4）根据自变量和函数式的值绘制出一点。 5）作出该点的轨迹，即得函数的图像。

范例10：函数f(x)?4?x的图像 x?14?x，然后就可以直接x?11、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入f(x)?绘制出函数曲线，并显示直角坐标系。

2、隐藏网格，设原点标签为0，单位点标签为1，在函数曲线旁边加上文字说明，内容为函数式f(x)?

范例11：函数f(x)?ax的图像

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4?x x?1

1、单击菜单数据/新建参数，生成参数a，设其初值为2。

2、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入f(x)?ax，然后就可以直接绘制出函数曲线，并显示直角坐标系。

3、隐藏网格，设原点标签为0，单位点标签为1，在函数曲线旁边加上文字说明，内容为函数式f(x)?ax

4、选中参数a后，可以通过按下键盘的+/-键改变a值。

范例12：函数f(x)?ax2的图像

1、单击菜单绘图/定义坐标系，生成直角坐标系。将原点标签改为0，单位点标签改为1。 2、在x轴上任取一点B，过点B构造x轴的垂线，在垂线上任作一点C，度量C点的纵坐标yc，改标签为a。

3、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入f(x)?ax2，然后就可以直接绘制出函数曲线。

4、拖动点C，可以改变参数a的大小。

范例13：函数f(x)?x2(x?[?1,2])的图像

1、单击菜单绘图/绘制点，绘制点B，坐标为（-1，0），绘制点C，坐标为（2，0）。将生成的直角坐标系原点标签改为0，单位点标签改为1。

2、构造线段BC，在BC上构造一任意点D，度量点D的横坐标xD 3、单击菜单数据/计算，计算xD2

4、依次选中xD和xD2，单击菜单绘图/绘制点（x,y），绘制出点E。

5、同时选中点D和点E，构造出点E的轨迹，得函数f(x)?x2(x?[?1,2])的图像。 6、在函数图像旁加一文本框，内容为f(x)?x2(x?[?1,2])

?x2,(a?x?1)范例14：分段函数f(x)??的图像 2?1?(x?1),(1?x?b)利用符号函数将分段函数转换成一条式子，然后再绘制图像。

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?f1(x),x?a对于F(x)??，

f2(x),x?a?若s1(x)=(sgn(a-x)+1)/2，s2(x)=(sgn(x-a)+1)/2 则F(x)=s1(x)*f1(x)+s2(x)*f2(x)

?f1(x),x?a?对于F(x)??f2(x),a?x?b

?f3(x),x?b?若s1(x)=(sgn(a-x)+1)/2，s2(x)=(sgn(x-a)+sgn(b-x))/2，s3(x)=(sgn(x-b)+1)/2 则F(x)=s1(x)*f1(x)+s2(x)*f2(x)+s3(x)*f3(x) 注意：x=a、x=b时公式不成立。

?x2,(a?x?1)下面以绘制f(x)??的图像为例。 2?1?(x?1),(1?x?b)1、通过绘图/定义坐标系建立直角坐标系，隐藏网格，将原点标签改为0，单位点标签改为1。

2、在x轴上构造线段CD，其中点C在1的左侧，点D在1的右侧。度量点C的横坐标并设标签为a，度量点D的横坐标并设标签为b。在线段CD上任取一点F，度量点F的横坐标，标签改为x。

3、计算((sgn(1-x)+1)/2)*x2+((sgn(x-1)+1)/2)*（1-（x-1）2。

4、依次选中x值和((sgn(1-x)+1)/2)*x2+((sgn(x-1)+1)/2)*（1-（x-1）2值，用绘图/绘制点功能绘出相应的点G。

5、同时选中点F和点G，构造点G的轨迹，即得分段函数的图像。在图像旁边加文本框，

?x2,(a?x?1)内容为f(x)??。 2?1?(x?1),(1?x?b)

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教学内容 函数图像及其变换二： 由原函数图像画反函数的图像 函数图像的平移 极坐标方程??课时安排 教学重点 ?x?asec(?)ep的图像、参数方程?的图像 1?ecos??y?btan(?)2课时+2课时实验 1、掌握绘制各种函数图像的方法。 2、掌握构造函数自变量、常数和参数的方法。 3、掌握对函数图像进行变换的方法。 教学难点 构造函数自变量、常数和参数的方法。 教法举要 操作演示为辅，上机实验为主。 作业与思考 1、上机练习绘制各种函数曲线及对函数图像进行变换。 教学后记

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范例17：由原函数的图像画反函数的图像

1、单击菜单绘图/定义坐标系，生成直角坐标系，隐藏网格，设原点标签为0，单位点标签为1。

2、在x轴上任作一点B，过点B向上作一条射线垂直x轴，在射线上任取一点C，度量点C的纵坐标yC并改标签为a。

3、单击菜单绘图/绘制新函数，直接绘制出函数f(x)?ax的图像。 4、用移动箭头工具双击原点0，将原点标记为旋转中心。 5、选中x轴，单击菜单变换/旋转，让x轴旋转45度得直线y=x。 6、选中直线y=x，在变换菜单中将其标记为镜面。

7、在函数f(x)?ax的图像上任作一点D，将其反射变换，得点D′。同时选中点D和点D′，构造点D′的轨迹，即得函数y?logax的图像。

范例18：函数图像的平移

1、单击菜单绘图/绘制新函数，直接绘制出函数f(x)?x2的图像。隐藏网格，设原点标签为0，单位点标签为1。

2、在y轴上任作一点B，过点B构造y轴的垂线，在垂线上任作一点C，标记向量BC。 3、在函数f(x)?x2的图像上任作一点D。将点D按标记向量BC平移。，得点D′。 4、同时选中点D和点D′构造点D′的轨迹，即得函数f(x)?x2平移后的图像。

范例39：极坐标方程??ep的图像

1?ecos?1、将角度的单位改为弧度。

2、通过绘图/网格样式/极坐标网格建立极坐标系。隐藏网格，设极点标签为0，设单位点标签为B。

3、作单位圆，作其半径OC。作弧BC并度量弧BC对应的弧度角，设其标签为θ。

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4、构造射线DE，在射线上任作一点F。

5、度量D、F的坐标距离，度量D、E的坐标距离，计算DF/DE，设其标签为e。 6、构造射线GH，在射线上认作一点I。 7、度量G、I的坐标距离，设其标签为p。 8、计算

ep。

1?ecos?ep和弧度角θ，单击菜单绘图/绘制（r, θ），绘制出点J。

1?ecos?ep10、同时选中点C和点J，构造点J的轨迹，即得极坐标方程??的图像。在

1?ecos?ep图像旁加一文本框，内容为??。

1?ecos?9、依次选中计算值

?x?asec?范例40：参数方程?（θ为参数）的图像

?y?btan?1、将角度的单位改为弧度。

2、通过绘图/网格样式/方形网格建立直角坐标系，隐藏网格，将原点标签改为0，单位点标签改为C。

3、在x轴上任取一点A，度量A点的横坐标xA，改标签为a。在y轴上任取一点B，度量B点的纵坐标yB，改标签为b。

4、作单位圆，在圆上任作一点D，作弧CD并度量弧对应的弧度角大小，改标签为θ。 5、计算a/cosθ的值。计算b*tanθ的值。

6、依次选中a/cosθ的值和b*tanθ的值，用绘图/绘制点功能绘出相应的点E。

?x?asec?7、同时选中点D和点E，作出点E的轨迹，即得参数方程的图像，旁边加注释?。

?y?btan?

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教学内容 函数图像及其变换三： 作两函数图像的交点、求方程f(x)=0的实根、求函数的极值和极值点、函数曲线的叠加、求圆锥内接圆柱的体积的极值 课时安排 教学重点 2课时 1、掌握作两个函数曲线的交点的方法。 2、掌握求方程f(x)=0的实根的方法。 3、掌握求函数的极值和极值点的方法。 4、掌握控制函数曲线叠加的方法。 教学难点 自定义坐标系的构造方法。 教法举要 讲授为辅，操作演示为主。 作业与思考 上机练习： 两函数图像的交点、求方程f(x)=0的实根、求函数的极值和极值点、函数曲线的叠加、求圆锥内接圆柱的体积的极值 教学后记 本内容为书本没有的内容，讲课速度注意放慢。

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一、作两个函数曲线的交点

下面以作f(x)=2*x2+3*x-3、g(x)=2*sin(x)的交点为例。

1、通过绘图/绘制新函数功能绘出f(x)=2*x2+3*x-3以及g(x)=2*sin(x)的曲线。 2、分别在两根曲线上任作一点C和D。分别度量C和D的坐标。

3、将点C和点D拖动到两轨迹相交的地方，可以用方向键进行微调，直到两动点的坐标值相同为止。为方便使两动点的坐标值相同，可以拖动坐标系的单位点，将轨迹相交的地方放大。

4、根据动点坐标值，用绘图/绘制点功能绘出该点。

在新版几何画板中，对于直接采用绘图/绘制新函数而不是采用轨迹法作出来的曲线，可以直接构造曲线的交点。 二、求方程f(x)=0的实根

实际就是求函数曲线和x轴的交点。下面以求f(x)=2*x3-5*x2-6*x+4=0的实根为例。 1、通过绘图/绘制新函数功能绘出f(x)=2*x3-5*x2-6*x+4的曲线。 2、选中函数曲线和x轴，构造其交点，然后度量交点的坐标。 三、求函数的极值和极值点

方法：求函数f(x)的导函数f/(x)，求f/(x)＝0的实根x0，则点（x0,f(x0)）可能为函数f(x)的一个极值点，其极值为f(x0)。下面以函数f(x)=x3-2*x2-3*x+3为例。

1、通过绘图/绘制新函数功能绘出f(x)=x3-2*x2-3*x+3的曲线。

2、选中f(x)=x3-2*x2-3*x+3函数式，通过数据/定义导函数功能求得导函数式f/(x)=3*x2-4*x-3。选中导函数式f/(x)=3*x2-4*x-3，通过绘图/绘制函数功能绘出f/(x)=3*x2-4*x-3的曲线。

3、构造f/(x)=3*x2-4*x-3的曲线和x轴的交点，度量交点的坐标。

4、建立参数x1和x2，设其值为两交点的横坐标。计算f(x1)和f(x2)的值，即为所求的极值。依次选中x1和f(x1)的值构造出函数f(x)的一个极值点E(x1,f(x1))，同理构造出另一个极值点F(x2,f(x2))。 四、函数曲线的叠加

下面以f(x)=sin(x)＋2、g(x)=cos(x)+1的曲线的叠加为例。

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1、通过绘图/绘制新函数功能绘出f(x)=sin(x)＋2、g(x)=cos(x)+1的曲线。建立函数h(x)=f(x)+g(x)并绘制其曲线。将上述曲线用虚线显示。

2、在g(x)曲线上任取一点A，分别度量点A的横坐标XA和YA。 3、计算Y1＝f(XA)+YA的值，依次选中XA和Y1的值，绘出点B。

4、作线段AB，在线段AB上任取一点C。选中点A、点C作轨迹，将轨迹用蓝色粗线显示。

5、在f(x)曲线上任取一点D，分别度量点D的横坐标XD和YD。 6、计算Y2＝YD+g(XD)的值，依次选中XD和Y2的值，绘出点E。

7、作线段DE，在线段DE上任取一点F。选中点D、点F作轨迹，将轨迹用红色粗线显示。

8、依次选中点对C和A、F和D作移动按钮，改标签为还原函数曲线。再依次选中点对C和B、F和E作移动按钮，改标签为叠加函数曲线。

五、求圆锥内接圆柱的体积的极值

1、作圆锥：利用两个同心圆作椭圆，椭圆的长半轴为OB，过点O作OB的垂线，在垂线上方任取一点H，作线段OH并隐藏垂线。在椭圆上作一任意点C，作线段OC、HC。选中点C和线段HC，构造出线段HC的轨迹，最终得圆锥HAB。

2、作圆锥内接圆柱：

1）在OC上取点K，选中点C、K作轨迹，得小椭圆，即内接圆柱的下底。

2）过点K作OH的平行线，交CH于点P，作线段KP并隐藏平行线。选中点C、P作轨迹，得小椭圆，即内接圆柱的上底。

3）选中线段KP和点C作轨迹，得内接圆柱的侧面。将点C移至点A。

3、度量OK的距离并改标签为r，度量KP的距离并改标签为h，计算V＝πr2h的值，计算V'=V/1cm2，标记该度量值。

4、作H-V坐标系：在OB的延长线上截取线段O'V作为横轴，即V轴，过点O'作O'V的垂线，在垂线上方取一点H，连接O'H作为纵轴，即H轴，隐藏垂线及延长线。用自定义工具/箭头工具/无线箭头（中）给两轴线加上箭头。

5、作v-h曲线：将O'点按标记向量KP平移，得h点，将O'点按标记值V'水平移动，得点v，将h点按标记值V'水平移动，得点x。选中点K、x作轨迹，得h、v关于r的函数曲线。

6、选中点K作动画按钮，设点x为追踪状态。

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