2010年高考数学计算题分类汇编 - 三角函数 - 图文

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2010年高考数学试题分类汇编——三角函数

（2010上海文数）19.（本题满分12分） 已知0?x??2，化简：

x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?lg[2cos(x?)]?lg(1?sin2x).

22解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)?0．

（2010湖南文数）16. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?sin2x?2sin2x （I）求函数f(x)的最小正周期。

(II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。

2

（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C??1 4 (I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sinC=?2

1，及0＜C＜π 4所以sinC=10. 4ac?，得 sinAsinC（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理c=4

1

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由cos2C=2cosC-1=?2

1，J及0＜C＜π得 4cosC=±6 42

2

2

由余弦定理c=a+b-2abcosC，得 b±6b-12=0 2

解得 b=6或26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4

（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD． 135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的

应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.

由正弦定理得 ，所以=.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）

在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得

2

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1AD2?DC2?AC2100?36?196??, cos?=

2?10?622AD?DC

??ADC=120°, ?ADB=60°

在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°，

ABAD?由正弦定理得,

sin?ADBsinBAD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?10?2232?56.

?AB=

（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）

在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c

即a?b?c?bc

由余弦定理得a?b?c?2bccosA 故cosA??2222221,A?120? 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.

又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?因为0??B?90?,0??C?90?，

1 2 故B?C

所以?ABC是等腰的钝角三角形。 （2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即 a?b?c?bc

3

2222河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有2侵权必究

由余弦定理得 a?b?c?2bccosA 故 cosA??2221，A=120° ……6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinB?sinC?sinB?sin(60??B)

31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD。 135【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

（2010江西理数）17.（本小题满分12分）

??????f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。 ?已知函数

??3??，??f?x?(1) 当m=0时，求在区间?84?上的取值范围；

f?a??35，求m的值。

(2) 当tana?2时，

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.

解：（1）当m=0时，f(x)?(1?cosx1?cos2x?sin2x)sin2x?sin2x?sinxcosx? sinx21??3??2?[2sin(2x?)?1]，由已知x?[,]，得2x??[?,1] 248442从而得：f(x)的值域为[0,1?2] 2 4

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cosx??)sin2x?msin(x?)sin(x?) sinx4411化简得：f(x)?[sin2x?(1?m)cos2x]?

222sinacosa2tana43??cos2a?当tan??2，得：sin2a?，，

sin2a?cos2a1?tan2a55（2）f(x)?(1?代入上式，m=-2.

（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）

?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA?12。 13???????? (Ⅰ)求AB?AC；

(Ⅱ)若c?b?1，求a的值。

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由cosA?12得sinA的值，再根据?ABC面积13????????222公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已知

条件c?b?1，及bc?156求a的值. 解：由cosA?121225，得sinA?1?()?. 1313131bcsinA?30，∴bc?156. 2????????12?144. （Ⅰ）AB?AC?bccosA?156?13又

222（Ⅱ）a?b?c?2bccosA?(c?b)?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?212)?25， 13∴a?5.

【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的面积是30，cosA?12，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问13中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.

（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)

设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc . (Ⅰ) 求sinA的值；

2222sin(A?)sin(B?C?)44的值. (Ⅱ)求

1?cos2A?? 5

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（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S?32(a?b2?c2)。 4（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

（2010重庆理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分） 设函数f?x??cos?x?（I） （II）

??2?x???2cos2,x?R。 3?2求f?x?的值域；

记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f?B?=1，b=1,c=3，6

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求a的值。

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B?故B?5?5?)?1?1,即sin(B?)?0，又因0?B??, 66?6.

2222解法一：由余弦定理b?a?c?2accosB，得a?3a?2?0，解a=1或2.

解法二：由正弦定理当C?bc3?2??，得sinC?. ,C?或sinBsinC233?322??当C??时，A=,又B=,从而a=b=1

366 故a的值为1或2.

（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin(???x)cos?x?cos2?x（??0）的最小正周期为?， （Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的

时，A=?,从而a=b2?c2=2；

1，纵坐标不变，得到2???函数y?g(x)的图像，求函数y?g(x)在区间?0,?上的最小值.

?16? 7

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（2010北京文数）（15）（本小题共13分） 已知函数f(x)?2cos2x?sin2x （Ⅰ）求f()的值；

?3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值 解：（Ⅰ）f()?2cos?32??31?sin2=?1??? 334422 （Ⅱ）f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx) ?3cosx?1,x?R

因为cosx???1,1?,所以，当cosx??1时f(x)取最大值2；当cosx?0时，

2f(x)去最小值-1。

（2010北京理数）（15）（本小题共13分）

www.@ks@5u.co 已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 （Ⅰ）求f?()的值；

2?3 8

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（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。

解：（I）f()?2cos?32???39?sin2?4cos??1??? 33344 （II）f(x)?2(2cos2x?1)?(1?cos2x)?4cosx =3cosx?4cosx?1 =3(cosx?)? 因为cosx?[?1,1]，

22327,x?R 3osx? 所以，当cosx??1时，f(x)取最大值6；当c

（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）

27时，f(x)取最小值? 331证明两角和的余弦公式C（Ⅰ）○???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； 2由C ○???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.

?????1???3（Ⅱ）已知△ABC的面积S?,AB?AC?3，且cosB?，求cosC.

52本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运

算能力。

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

2222

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα] 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分

w_w w. k#s5_u.c o*m??－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 22??sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22?? ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

22②由①易得cos(

＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝

11bcsinA＝ 22????????AB?AC＝bccosA＝3＞0

w_w w. k#s5_u.c o*m 9

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∴A∈(0,

?),cosA＝3sinA 22

又sinA＋cosA＝1，∴sinA＝2

10310,cosA＝ 1010由题意，cosB＝

34,得sinB＝ 55∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010w_w w. k#s5_u.c o*m

故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－

（2010天津文数）（17）（本小题满分12分） 在?ABC中，

10…………………………12分 10ACcosB?。 ABcosC1???，求sin?4B??的值。 33??（Ⅰ）证明B=C： （Ⅱ）若cosA=-

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角

的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分. （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinBcosB=.于是sinCcosCsinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.

（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=

1. 3又0<2B

99 所以sin(4B?

?3)?sin4Bcos?3?cos4Bsin?3?42?73 18（2010天津理数）（17）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1(x?R)

10

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（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,???上的最大值和最小值； ??2?（Ⅱ）若f(x0)?6????,x0??,?，求cos2x0的值。 5?42?【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。

（1）解：由f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1，得

f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)

6所以函数f(x)的最小正周期为?

?因为f(x)?2sin?2x?????6??在区间?0,???????上为增函数，在区间,?上为减函数，又 ??66???2????f(0)?1,f???2,?6?为-1

??????

f????1，所以函数f(x)在区间?0,?上的最大值为2，最小值?2??2?

（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)?2sin?2x0?????? 6?又因为f(x0)?6??3?，所以sin?2x0??? 56?5?由x0????2?7??????,?，得2x0???,?

6?36??42???从而cos?2x0?所以

????42? ??1?sin2x?????0?6?65??????????????3?43?? cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?6?6?6?66?610????（2010广东理数）16、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?Asin(3x??)(A?0,x?(??,??),0????在x?

11

?12时取得最大值4．

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(1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式； (3) 若f(

2?3α +12)=125,求sinα．[来源:高考资源网KS5U.COM]

sin(2???2)?35，cos2??35，1?2sin2??35，sin2??155，sin???5．[来 （2010广东文数）

12

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（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分) 已知VABC的内角A，B及其对边a，b满足a?b?acotA?bcotB，求内角C．

（2010四川文数）（19）（本小题满分12分）

w_w w. k#s5_u.c o*1证明两角和的余弦公式C（Ⅰ）○???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； 2由C ○???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.

（Ⅱ）已知cos???431?,??(?,?),tan???,??(,?),cos(???)，求cos(???) 5232解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始

边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

2222

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα] 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分

w_w w. k#s5_u.c o*m??－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 22??sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22?? ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

22②由①易得cos(

＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

43π

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

25 ∴sinα＝－

3 51π

∵β∈(，π),tanβ＝－

23 ∴cosβ＝－31010,sinβ＝ 1010 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝(－

4331010)3(－)－(－)3551010w_w w. k#s5_u.c o*m

13

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＝

310 10（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）

cos2x?sin2x11,g(x)?sin2x?. 已经函数f(x)?224(Ⅰ)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出？

（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值，并求使用h(x)取得最小值的x的集合。

（2010山东理数）

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（2010湖南理数）16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点的集合。

15

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（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(??11?x)cos(?x),g(x)?sin2x? 3324（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。

（2010福建理数）19．（本小题满分13分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，

轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度

? 16

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沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

而小艇的最OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设?COD=?(0?

30vcos?所以10?103tan?1031533?，解得v?， ?,又v?30,故sin(?+30)?30vcos?sin(?+30?)23，于是 3从而30???<90?,由于??30?时，tan?取得最小值，且最小值为

当??30时，t??210?103tan?取得最小值，且最小值为。

330此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）

设?ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

?sin2A?sin(?B) sin(?B) ? sin2B。

33 (Ⅰ)求角A的值；

??????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）。

17

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（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）HHHh?tan??AD?，同理：AB?，BD?。

tan?ADtan?tan? AD—AB=DB，故得

HHhhtan?4?1.24????124。 ，解得：H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h,tan????， dADDBd 18

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HH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?HH?hH(H?h)1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?dddH(H?h)d??2H(H?h)，（当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时，取等号）

d故当d?555时，tan(???)最大。 因为0??????2，则0??????2，所以当d?555时，?-?最大。

故所求的d是555m。

（2010江苏卷）23.（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，

2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。

2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，

211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。

2AB?AC

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（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，

2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，

及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

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