第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级(高二)第2试
更新时间:2023-03-14 23:25:01 阅读量: 教育文库 文档下载
归海木心 qq:634102564
第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级(高二)第2试
2007年5月13日 上午8:30至10:30
一、选择题:以下每题的四个选项中仅有一个是正确的,请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内(每小题6分,共36分). 1.若角?满足sin??cos?,且
A.第一象限
?2位于第二象限,则角?位于( ).
C. 第三象限
D. 第四象限
B. 第二象限
2. 从正方体的8个顶点中随机地取三个两两不同的点,这三个点恰好构成一个正三角形的概率为( ).
A.
1 6B.
1 7C.
1 8D.
1 93.若k、a是实数,则关于x的不等式|k?x|?|1?x|?a的解集为空集的充分必要条件是( ).
A.a?|k?1|
B. |a|?|k?1|
C. a?|k?1|
D. a?|k?1|
4.函数f(x)?(x?1)?x?(x?2)?(x?3)(x?R)的最小值等于( ).
A.?
95B. ?
94C. ?2 D. ?
2325.设an是以-1为首项,以7为公差的等差数列的第n项,bn是该等差数列的第n项,定义),则?bn与an?1之间的关系是?bn?bn?1?bn({?bn}叫做数列{bn}的“一阶差分”,且x?y等于( ). ?bn?x?an?1?y(x、y是常数)
A.11
B. 12
C. 13
D. 14
6.如图1,在平面凸四边形ABCD中,点E、F分别在直线AD、BC上,且DE???EA,BF???FC(?,??R,且均不等于-1)。若EF??????????????????????????1????(AB?DC),则???等于( ). 2A E D
图1
B
1 23C.
2A.
B. 1 D. 2
F
二、填空题(每题9分,共54分)
C
7.设等比数列{an}的前n项之和为Sn. 若S7?7,S14?2014,则S7?(S12?41S)等于_ ______. 8.如图2,多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,AB // CD // EF,CD⊥平面BCF,△FBC是边长为1的正三角形.
若EF = CD = 1,AB = 2,则该多面体的体积等于_________.
A 图2
D B E
F C
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9.若a为实数,关于?,?的方程组?xxx?acos??sin??1,有实数解,则a的取值范围为_________.
?cos??2sin??210.不等式8?2?4?4?2?3?0的解集为 . 11.在1、2、3、4、?、100中共有_________个正整数n,使得3?22n2n?1能被7整除.
?1,(m?0)?n!?*m12. 对于m?N,n?N,组合数(二项式系数)的定义为Cn??,(1?m?n).
?m!(n?m)!?(m?n)?0.其中阶乘n!?1?2?3???n.
1n?1in?ii另外,“二项式定理”指出:(a?b)n?an?Cnab???Cnab???bn.
2nn?12n?22n?442由此,可求得:9n?C2?C2?9n?2?C2???92?C2n?9nnn?9?C2n?1等于_________
(用关于n的最简式子表示).
三、解答题(每题15分,共60分)
13. (本题满分为15分)已知数列{an}中,a1?2,前n项之和为Sn.
若(n2?1)?an?1?(2n?1)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2,试求Sn及an的表达式(用关于n的最简式子表示).
14. (本题满分为15分)设R0?{x|x?R,x?0},R为全体实数的集合,函数f:R0?R对于任意的x,y?R0都有f()?f(x)?f(y),且对任意的x?(1,??)有f(x)?0.
(1) 比较f(x)与0的大小;
(2) 解关于实数t的不等式f(3t?2)?f(t?t?2).
2xy归海木心 qq:634102564
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15. (本题满分为15分)如图3,在凸四边形ABCD中,AD = AC,?DAC??ABC,过点D作经过△ABC的内心I的直线交直线AB于点E.
求证:AE = AD.
求f?x2?y2的取值范围(值域).
B
A
E
I C 图3
D
16. (本题满分为15分)设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax2?bxy?ay2?1,试
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第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案
十一年级(高二)第2试 2007年5月13日上午8:30至10:30
一、选择题:
题号 选项 二、填空题: 题号 选项 7 8 9 10 11 33 12 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 20072 3 3a?R ?1?log2(5?1)?x?log23 22n?1?24n?1 三、解答题:
13.解:因为an?!?Sn?1?Sn(n?1),????????????????????????????????3分
所以有(n2?1)?(Sn?1?Sn)?(2n?1)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2,
(n2?1)?Sn?1?(n2?2n?2)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2,
(n2?1)?Sn?1?[(n?1)2?1]?Sn?(n2?1)?[(n?1)2?1],????????????????? 5分
所以
Sn?1Sn??1,??????????????????????????????????6分
(n?1)2?1n2?1即??Sn??是一个公差为1的等差数列。???????????????????????????7分 2n?1??SnS1??(n?1)?1?n,???????10分 22n?11?1由S1?a1?2及等差数列的通项公式得:所以Sn?n?(n2?1)(n?1,2,3,?)。????????????????????????????11分
当n?2时,an?Sn?Sn?1?n?(n2?1)?(n?1)?[(n?1)2?1]?3n2?3n?2。????14分 当n?1时,a1?2?3?1?3?1?2。
总之,所求的an?3n?3n?2(n?1,2,3,?)。?????????????????????15分
14.解:(1)依题意有:
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?f(1)?f(1)?f(1)?0,即f(1)?0;??????????2分 ?1f(?1)?f()?f(1)?f(?1)??f(?1),即2?f(?1)?0,f(?1)?0.???1下证:f(x)为偶函数。
对于任何的x?R0,有f(?x)?f(x)?f(x)?f(?1)?f(x), ?1所以f(x)为偶函数。???????????????????????????????????????4分 再证:f(x)在(0,??)上是(严格)递增函数。 对任意的x1?x2?0,有
x1x?1,所以0?f(1)?f(x1)?f(x2),即f(x1)?f(x2),这
x2x2说明f(x)在(0,??)上是(严格)递增函数。????????????????????????????7分
再由f(x)为偶函数知:f(x)在(0,??)上是(严格)递减函数。????????????9分 再由f(1)?0,f(?1)?0知:
对于任何的x?(0,1),有f(x)?0;对于任何的x?(1,??),有f(x)?0;对于任何的
x?(??,?1),有f(x)?0;对于任何的x?(?1,0),有f(x)?0。另外,f(1)?0,f(?1)?0。???????????????????????????????????????????????10分
(2)显然t?t?2?(t?)?21223?1?1, 4由f(x)为偶函数及f(x)在(0,??)上是(严格)递增函数知:
不等式f(3t?2)?f(t?t?2)?f(|3t?2|)?f(t?t?2)??????????????11分
22?0?|3t?2|?t2?t?2????????????????????????????????????12分 ?2?2?2?2??t?t??t??t? ??3或?3??3或?3?t2?2t?4?0?t2?4t?0?(t?1)2?3?0??t?(t?4)?0????22?t?22?t?或?3?t?(0,)或t?(,??)或t?(??,?4)?????????15分
3?33t??4或t?0?归海木心 qq:634102564
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15.解:如图,连结AI,CI。本题的关键在于发现并证明:I、C、D、A四点共圆。 由AC = AD得:?ACD??ADC??(??90?) 又?ABC??CAD?180?2? 记?BAI??CAI??,则
?180???ABC??CAB180??(180??2?)?2??????。 ?ACI??BCI?22 (由?BAD?180得:2??180??2??180?,从而????0?)?????????.6分
由上可知:
??ICD??IAD?(?ICA??ACD)?(?IAC??CAD)?(?????)?(??180?2?)?180 于是I、C、D、A四点共圆,???????????9分 所以?ADI??ACI????,?????????11分
B
??
A
E
I
C 图3
D
在△ADE中,由内角和为180得:
?
?AED?180??(?EAD??ADE)?180??(?EAC??CAD??ADE)?180?(2??180?2?????)??????ACI?????.14分
因此AE = AD。??????????????????????????????????????15分
16.解:令x?m?nm?n,y?,??????????????????????????????3分 aa(m?n)2m2?n2(m?n)2?b??a??1, 则由题给等式得:a?aaa化简为(2a?b)?m?(2a?b)?n?a???①??????????????????????4分
22(m?n)2?(m?n)22??(m2?n2)???②???????????5分 这时,f?x?y?aa22(1) 若2a?b?0,即b?2a,则由①得:
(2a?b)?(m2?n2)?a?2bm2?a, (2a?b)?(m2?n2)?a?2bn2?a,
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aa?m2?n2?,???③????????????7分
2a?b2a?b222?f??(m2?n2)?从而,
2a?ba2a?b因为2a?b?0,所以有即f的值域为?2??2。??????????????????????????????9分 ,?2a?b2a?b??(2) 若2a?b?0,即b?2a,则由①得:
(2a?b)n2?a?(b?2a)?m2?a,??④
即n?2a,??⑤
2a?b2再由④可知:m可取任意的非负实数(?b?2a?0),???????????????????11分
22?2a?(b?2a)?m2?22b22??22所以f??(m?n)???m?????m2???, ?13?aa?2a?b?2a?b??2a?ba2a?b分
故f的值域为?,???。????????????????????????????????????14
2a?b??分
综合(1)和(2)得:
当b?2a时,f?x?y的值域为?; ,?2a?b2a?b??当b?2a时,f?x?y的值域为?,???。?????????????????????15分
?2a?b?注:①可利用“基本不等式”:xy?2222?2??22??2?122(x?y2),求得fmin?,建议给3分 22a?b②本题亦可利用三角替换法来求解,做对同样给分。(三角代换法)
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