2019-2020年高考数学一轮复习第九单元不等式高考达标检测二十七简单的线性规划问题理

2019-2020年高考数学一轮复习第九单元不等式高考达标检测二十

七简单的线性规划问题理

一、选择题

x＋y≥1，??

1．若O为坐标原点，实数x，y满足条件?x－y≥－1，

??2x－y≤2，y)，则|OP|的最小值为( )

A．1 C.2

2

B.3 3D. 2

在可行域内任取一点P(x，

解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图 中阴影部分所示，

可知|OP|的最小值为点O到直线x＋y＝1的距离， 所以|OP|的最小值为

2. 2

x－y＋3≤0，??

2．(2017·山东高考)已知x，y满足约束条件?3x＋y＋5≤0，

??x＋3≥0，

值是( )

A．0 B．2 C．5 D．6

则z＝x＋2y的最大

解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示， 将直线y＝－＋进行平移，显然当该直线过点A时z取得最大值，

22

??3x＋y＋5＝0，由?

?x＋3＝0，?

xz

??x＝－3，

解得?

?y＝4，?

即A(－3,4)，

所以zmax＝－3＋8＝5.

2x－y≤0，

??x－3y＋5≥0，

3．已知x，y满足?x≥0，

??y≥0，

3B.

?1?y－x则z＝8·??的最小值为( )

?2?

A．1

2 4

C.

1 16

D.

1 32

解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z?1?y－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当－x＝8·??＝2

?2?

x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最

1

小，最小值为.

32

x≥0，??

4．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，

??x－2y≤0，

围是( )

A．[0,6] C．[6，＋∞)

B．[0,4] D．[4，＋∞)

则z＝x＋2y的取值范

解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分1z所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋，

22

z1z∴是直线y＝－x＋在y轴上的截距， 222

1zz根据图形知，当直线y＝－x＋过A点时，取得最小值．

222由?

?x－2y＝0，?

??x＋y－3＝0，

得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，

∴z＝x＋y的取值范围是[4，＋∞)．

x＋y≤1，??

5．已知不等式组?x－y≥－1，

??y≥0

表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区

域M有公共点，则k的取值范围是( )

?1?A.?－，0?

?3??1?C.?0，? ?3?

1??B.?－∞，? 3??

1??D.?－∞，－? 3??

解析：选A 画出可行域如图中阴影部分所示，

因为直线y＝kx－3k过定点(3,0)，结合图形可知 0－11

该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－，

3－03

?1?所以k的取值范围是?－，0?.

?3?

2x－y－2≤0，??

6．设变量x，y满足约束条件?x－2y＋2≥0，

??x＋y－1≥0，

则S＝

y＋1

的取值范围是( ) x＋1

?3?A.?1，? ?2??1?C.?，2? ?2?

?1?B.?，1? ?2?

D．[1,2]

解析：选C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)， 顶点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝的点与定点P(－1，－1)连线的斜率，

1

则Smin＝kPA＝，Smax＝kPB＝2.

2

y＋1

表示可行域内x＋1

x＋y≤4，??

7．(2018·大连期末)已知点P的坐标(x，y)满足?y≥x，

??x≥1，C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )

A．26 C.6

B．4 D．2

过点P的直线l与圆

解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d＝1＋3＝10，此时|AB|min＝214－10＝4.

8．已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，给出以下结论： ①3a－4b＋5>0；

②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值； ③a＋b＞1； ④当a＞0且a≠1时，正确的个数是( )

9??3b＋1??的取值范围是?－∞，－?∪?，＋∞?. 4??4a－1??

2

2

2

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选B 因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3a－4b＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a>0时，由图知，

a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0表示的区域

是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a＋b表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d＞

53＋－

22

2

＝1，故③正确；2

b＋1

表示阴影部分的点M(a，a－1

5＋14b＋13b＋19

b)和B(1，－1)连线的斜率，由图象得＞k1＝或＜kAB＝＝－，故④正确，故a－14a－10－14选B.

二、填空题

x≤3，??

9．(2017·北京高考)若x，y满足?x＋y≥2，

??y≤x，

的最大值为________．

则x＋2y解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．

设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.

答案：9

x＋y－2≥0，??

10．(2018·沈阳质监)已知不等式组?x－2≤0，

??ax－y＋2≥0

则a的值为________．

表示的平面区域的面积等于3，

解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示， 由图可知其表示的平面区域为△ABC，

1

所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，

21

又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.

21答案： 2

x≥0，??

11．点P(x，y)在不等式组?x＋y≤3，

??y≥x＋1

表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y＝kx－1(k>0)的最大距离为22，则实数k＝________.

解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y|0×k－3－1|

＝kx－1(k>0)的距离最大，所以＝22，又k>0，得k＝

k2＋11.

答案：1

3x－y－6≤0，??

12．设x，y满足约束条件?x－y＋2≥0，

??x≥0，y≥0，

2

2

若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的

最大值为10，则a＋b的最小值为________．

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线z＝ax＋by过点A(4,6)时，取得最大值10，即2a＋3b＝5，而a＋b表示原点(0,0)与直线2a＋3b＝5上的点的距离的平方，显然a＋b的最小值为原点到直线2a＋3b＝5的距离的平方，又原点到直线2a＋3b＝5的距离d＝25

答案： 13三、解答题

13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

513

，所以a＋b的最小值为

2

2

2

2

2

2

25. 13

甲 乙

连续剧播放时长(分钟) 70 60 广告播放时长(分钟) 5 5 收视人次(万) 60 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

??5x＋5y≥30，

≤2y，?xx≥0，??y≥0，

70x＋60y≤600，

??x＋y≥6，

即?x－2y≤0，

x≥0，??y≥0，

7x＋6y≤60，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

12z12

考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行

5255直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．

2525

又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大． 25

??7x＋6y＝60，

解方程组?

??x－2y＝0，

zzz

得点M的坐标为(6,3)．

所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，

可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．

(1)写出x，y满足的约束条件； (2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．

x＋y≤10，??0.3x＋0.2y≤2.4，

解：(1)x，y满足约束条件为?x≥0，

??y≥0，

(2)设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y取得最大值．

??x＋y＝10，

解方程组?

?0.3x＋0.2y＝2.4，?

得x＝4，y＝6.

此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．

x－y－2≤0，??

1．已知x，y满足约束条件?5x－3y－12≥0，

??y≤3，

2

2

当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞

0)在该约束条件下取得最小值1时，(a－1)＋(b－1)的最小值为( )

A.1

10310

10

B.10 109 10

C.D.

解析：选D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示， 把z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为y＝－x＋，

由图可知，当直线y＝－x＋过点A时，直线在y轴上的截距最小，

abzbabzbz有最小值1，

??x－y－2＝0，联立?

?5x－3y－12＝0，?

解得A(3,1)，

所以3a＋b＝1，

1因为a＞0，b＞0，所以0＜a＜.

3

1?29?22222

则(a－1)＋(b－1)＝(a－1)＋9a＝10a－2a＋1＝10?a－?＋. ?10?101922

则当a＝时，(a－1)＋(b－1)取得最小值，最小值为.

1010

x≥0，??

2．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组?y≥0，

??x＋y－4≥0

2

2

所确定的平面区域内的

动点，M，N是圆x＋y＝1的一条直径的两端点，则PM―→·PN―→的最小值为( )

A．4 C．42

2

2

B．22－1 D．7

解析：选D 因为M，N是圆x＋y＝1的一条直径的两端点， 所以可设M(a，b)，N(－a，－b)，则a＋b＝1.

―→―→2

设P(x，y)，则PM·PN＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x－a＋y－b＝x＋y－1，

设z＝x＋y，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示

|0＋0－4|2

．则原点到直线x＋y－4＝0的距离最小，此时d＝＝22，则z＝d＝8，

2―→―→22

则PM·PPN＝x＋y－1＝8－1＝7.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p6q5.html