5 机械波习题

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习题五

一、选

x解：令波的表达式为 y?acos[2π(?t?)??]

?x当t?t?， y?acos[2π(?t??)??]

?ππ由图知，此时x?0处的初相 2π?t?????， 所以 ????2π?t?，

22由图得 ??2b，

故x?0处 y?acos[2π?t??]?acos[??u??u 2bπuπ(t?t?)?] b2

4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］

（A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等；（D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。 答案：D

解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势能也最大。运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。媒质质元的振动动能和弹性势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。所以答案应选D。

5．设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为?S。若声源S不动，而接收器R相对

于媒质以速度vR沿着S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为［ ］

u?vRuu?S； ?S。 （A）?S； （B） （D） ?S； （C）

u?vRu?vRu答案：A

解：位于S、R连线中点的质点P相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是声源的频率?S

二、填空题

1．已知一平面简谐波的表达式为 y?0.25cos(125t?0.37x) (SI)，则

x1= 10m点处质点的振动方程为________________________________； x1= 10m和x2= 25m两点间的振动相位差为_____________。

1

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答案：y?0.25cos(125t?3.7) (SI)；????5.55 rad。 解：（1）x1= 10m的振动方程为 yx?10?0.25cos(125t?3.7) （2）因x2= 25m的振动方程为 yx?25?0.25cos(125t?9.25) 所以x2与x1两点间相位差 ????2??1??5.55 rad

2．如图所示，一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动方程为yP?Acos(?t??)，则

O处质点的振动方程___________________________________； P该波的波动表达式_____________________________________。

LOux

Lx?L答案：y0?Acos[?(t?)??]；y?Acos[?(t?)??]

uuL解：（1）O处质点振动方程 y0?Acos[?(t?)??]

ux?L （2）波动表达式 y?Acos[?(t?)??]

u

3．图示为一平面简谐波在t?0时刻的波形图，则该波的波动表达 式__________________________________；

y (m) u = 0.08 m/s P处质点的振动方程

为_________________________________。 x (m) tx?)?] (SI)； 答案：y?0.04cos[2?(?50.423?yP?0.04cos(0.4?t?) (SI)。

2O -0.04 P 0.20 0.40 0.60 解：（1）O处质点，t?0时 y0?Acos??0， v0??A?sin??0 所以

???1π，

2故波动表达式为

0.40= 5s

u0.08txπ y?0.04coπ (SI) ] s[2?(?)50.42

又有 T???（2）P处质点的振动方程为 yP?0.04cos[2?(?

4．一平面简谐波，频率为1.0?103Hz，波速为1.0?103m/s，振幅为1.0?104m，在截面

t50.2?3?)?]?0.04cos(0.4?t?) (SI) 0.422 2

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面积为4.0?10?4m2的管内介质中传播，若介质的密度为8.0?102kg?m?3，则该波的能量密度__________________；该波在60 s内垂直通过截面的总能量为_________________。 答案：1.58?105W?m?2；3.79?103 J。 解： （1） I?（2）

1??A2?2?2?2??A2?2?1.58?105W?m?2 2?w?P??t?IS?t?3.79?103 J。

5．如图所示，两列相干波在P点相遇。一列波在B点引起的振动是 y10?3?10?3cos2πt；另一列波在C点引起的振动是y20?3?10?3cos(2?t?1?)；令BP2BP?0.45 m，CP?0.30 m，两波的传播速度u= 0.20 m/s。若不考虑传播途中振幅的减小，则P点的合振动的振动方程为 C ____________________________________。

1答案： y?6?10?3cos(2πt?π)(SI)。

2解：第一列波在P点引起的振动的振动方程为

1y1?3?10?3cos(2πt?π)

2第二列波在P点引起的振动的振动方程为

1y2?3?10?3cos(2πt?π)

2所以，P点的合振动的振动方程

1 y?y1?y2?6?10?3cos(2πt?π)

2

三、计算题

1．平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2cm，频率为50Hz，波速为 200 m/s．在t?0时，x?0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动，求x?4m处媒质质点振动的表达式及该点在t?2s时的振动速度。

1答案：（1）y?2?10?2cos(100πt?π)；（2）v?6.28 m/s。

2?(t??，) 解：设x?0处质点振动的表达式为 y0?Acos1已知 t?0时，y0 = 0，且 v0 > 0，所以???π，因此得

21y0?Acos(2π?t??)?2?10?2cos(100πt?π)

2由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为

x11y?Acos(2π?t???2π?)?2?10?2cos(100πt?π?πx)

u22x?4m处的质点在t时刻的位移

3

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1y?2?10?2cos(100πt?π)

2该质点在t?2s时的振动速度为

1v??2?10?2?100πsin(200??π)?2π= 6.28 m/s

2

2．一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为??，P处质点的振动规律如图所示．

（1）求P处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式；

（3）若图中 d?1?，求坐标原点O处质点的振动方程。

2yP (m)答案：（1）yP?Acos(?t??)；

（2）

12tx?dy?Acos[2?(?)??]；（3）

4?0-A1t (s)dPx

y0?Acos(1?t)。

2yP?Acos[(O解：（1）由振动曲线可知，P处质点振动方程为

2?1t)??]?Acos(?t??) 42tx?d?(?)??] （2）波动表达式为 y?Acos2[4?（3）O处质点的振动方程 y0?Acos(1?t)

2

x3．一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为 y?Acos2π(?t?)，而另一平面

?x简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为 y?2Acos2π(?t?)

?求：（1）x??4处介质质点的合振动方程；（2）x??4处介质质点的速度表达式。

答案：（1）y?Acos(2π?t?解：（1）在x?1π)；（2）v?2π?Acos(2π?t?π)。 2?4处

11?)，y2?2Acos(2??t??) 22因y1与y2反相，所以合振动振幅为二者之差： As?2A?A?A，且合振动的初相?与

1振幅较大者（即y2）的初相相同，为?。所以，

2y1?Acos(2??t?

4

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合振动方程 y?Acos(2π?t?（2）x?1π) 2?4处质点的速度

v?

dy1??2π?Asin(2π?t? π)?2π?Acos(2π?t?π) dt24．设入射波的表达式为 y1?Acos2?(x??t)，在x?0处发生反射，反射点为一固定T端。设反射时无能量损失，求

（1）反射波的表达式；（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置。

txt?)?π]??Acos2π(?)； ?T?T2ππ2ππ2πx2πt（2）y?2Acos(x?)cos(t?)??2Asin； sin?2T2?T111（3）波腹：x?(n?)? n?1,2,3,?；波节：x?n? n?1,2,3,?。

222解：（1）反射点是固定端，所以反射有相位?的突变，且反射波振幅为A，因此反

答案：（1）y2?Acos[2π(射波的表达式为

xxtxty2?Acos[2π(?)?π]??Acos2π(?)

?T?T（2）驻波的表达式是 2ππ2ππ2πx2πt y?y1?y2?2Acos(x?)cos(t?)??2Asinsin?2T2?T（3）波腹位置满足： 2?x/??1??n?，即 2

11 x?(n?)? n?1,2,3,?

22波节位置满足

2?x/??11??n???，即 22

5．在大教室中，教师手拿振动的音叉站立不动，学生听到音叉振动声音的频率

1x?n? n?1,2,3,?

2?0?1020Hz；若教师以速度v?0.5m/s匀速向黑板走去，则教师身后的学生将会听到拍

音，试计算拍频（设声波在空气中的速度为V?340m/s）。 答案：???3Hz。

解：因声源远离学生，所以由音叉直接传来至学生处的声波频率

???

V340?0??1020?1018.5Hz V?v340?0.55

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黑板接收到的音波频率（声源朝向黑板运动）

V340?0??1020?1021.5Hz V?v340?0.5黑板固定不动，所以黑板反射的声波频率????等于黑板接收到的声波频率???

????即

?????????1021.5Hz

故，学生听到的拍的频率为

???????????3Hz

6

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黑板接收到的音波频率（声源朝向黑板运动）

V340?0??1020?1021.5Hz V?v340?0.5黑板固定不动，所以黑板反射的声波频率????等于黑板接收到的声波频率???

????即

?????????1021.5Hz

故，学生听到的拍的频率为

???????????3Hz

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