数值分析课程第五版课后习题答案（李庆扬等）1

第一章 绪论（12）

1、设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差。

[解]设x*?0为x的近似值，则有相对误差为?r*(x)??，绝对误差为?*(x)??x*，从而lnx的误差为?*(lnx)?(lnx*)??(x*)?相对误差为?(lnx)?*r1*?x??， *x?*(lnx)lnx*??lnx*。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为?r*(x)?2%，绝对误差为?*(x)?2%x*，从而x的误差为?(lnx)?(x)?相对误差为?(lnx)?*rn*nx?x*?(x)?n(x)**n?12%x?2n%?x**n，

?*(lnx)(x)*n?2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****?385.6，x4?7?1.0。 x1?1.1021，x2?0.031，x3?56.430，x5***?385.6有4?1.1021有5位有效数字；x2?0.0031有2位有效数字；x3[解]x1**?7?1.0有2位有效数字。 ?56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4****,x2,x3,x44、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给

的数。

***?x2?x4（1）x1；

??f?*******?e*(x1?x2?x4)????(x)??(x)??(x)??(xk124)??x?k?1?k?[解]；

111??10?4??10?3??10?3?1.05?10?3222n**x3； （2）x1*x2*??f***e*(x1x2x3)????k?1??xkn?**********??(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)k231132123??*[解]?(0.031?385.6)1?10?4?(1.1021?385.6)1?10?3?(1.1021?0.031)1?10?3；

222?0.59768?10?3?212.48488?10?3?0.01708255?10?3?213.09964255?10?3?0.21309964255**/x4（3）x2。

??f**e*(x2/x4)????k?1??xkn*?x21***??(x)??(x)??(xk24)**2?x4(x4)?*[解]?110.031156.4611?3?3。 ??10?3???10???102256.430222(56.430)(56.430)56.4611?3?5???10?0.88654?10(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

4?*(?(R*)3)43[解]由1%??r*(?(R*)3)?可知，

43?(R*)33?444???*(?(R*)3)?1%??(R*)3???(R*)3??*(R*)?4?(R*)2??*(R*)， 33?3??*(R*)111***?1%??从而?(R)?1%?R，故?r(R)?。 *3300R3**6、设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?1783(n?1,2,?)计算到Y100，若取100783?27.982（五位有效数字，）试问计算Y100将有多大误差？

[解]令Yn表示Yn的近似值，e*(Yn)?Yn?Yn，则e*(Y0)?0，并且由

11?27.982，Yn?Yn?1??783可知， 1001001Yn?Yn?Yn?1?Yn?1??(27.982?783)，即

10012e*(Yn)?e*(Yn?1)??(27.982?783)?e*(Yn?2)??(27.982?783)??，从

100100Yn?Yn?1?而e*(Y100)?e*(Y0)?(27.982?783)?783?27.982，

而783?27.982?11?10?3，所以?*(Y100)??10?3。 227、求方程x2?56x?1?0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783?27.982） [解]由x?28?783与783?27.982（五位有效数字）可知，

x1?28?783?28?27.982?55.982（五位有效数字）。

而x2?28?783?28?27.982?0.018，只有两位有效数字，不符合题意。 但是x2?28?783?128?783N?1N?1?1.7863?10?2。

55.9828、当N充分大时，怎样求?[解]因为?N?1N1dx？ 1?x21dx?arctan(N?1)?arctanN，当N充分大时为两个相近数相21?x减，设??arctan(N?1)，??arctanN，则N?1?tan?，N?tan?，从而

tan(???)?tan??tan?(N?1)?N1??2，

1?tan?tan?1?N(N?1)N?N?1因此?N?1N11。 dx?????arctan221?xN?N?19、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由?*((l*)2)?[(l*)2]??*(l*)?2l*?*(l*)可知，若要求?*((l*)2)?1，则

?(l)?**?*((l*)2)2l*?111?，即边长应满足l?100?。

2?10020020012gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t2增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 10、设S?[证明]因为?*(S)?(dS**)?(t)?gt*?*(t)?0.1gt*， dt?(S)?*r?*(S)S*gt*?*(t)2?*(t)1???，所以得证。 1t*5t**2g(t)211、序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n?1,2,?)，若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

??y?2[解]设yn为yn的近似值，?*(yn)?yn?yn，则由?0与

??yn?10yn?1?1?y0?1.411*可知，?(y)??10?2，yn?yn?10(yn?1?yn?1)，即 ?02?yn?10yn?1?1?*(yn)?10?*(yn?1)?10n?*(y0)，

11从而?*(y10)?1010?*(y0)?1010??10?2??108，因此计算过程不稳定。

2212、计算f?(2?1)6，取2?1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

1(2?1)6，(3?22)3，

1(3?22)3，99?702。

[解]因为?*(f)?11， ?10?1，所以对于f1?2(2?1)6?e*(f1)?f1e*(1.4)?611?1?4?2??10?6.54?10??10，有一位有效数字； 722(1.4?1)对于f2?(3?22)3，

11?e*(f2)?f2e*(1.4)?6(3?2?1.4)2??10?1?0.12?10?1??10?1，没有有效数

22字； 对于f3?1(3?22)3，

611?1?3??10?2.65?10??10?2，有一位有效数422(3?2?1.4)?e*(f3)?f3e*(1.4)?字；

11?对于f4?99?702，e*(f4)?f4e*(1.4)?70??10?1?35?10?1??101，没有

22有效数字。

13、f(x)?ln(x?x2?1)，求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)计算，求对数时误差有多大？

[解]因为302?1?899?29.9833（六位有效数字），?*(x)?1?10?4，所以 2e*(f1)?(f1?)*e*(x)???1??10?4(30?302?1)2，

111??10?4?0.2994?10?230?29.983321??10?4x?x2?12。

1e*(f2)?(f2?)*e*(x)???11??10?4?0.8336?10?630?29.98332?x1?1010x2?101014、试用消元法解方程组?，假定只有三位数计算，问结果是否

?x1?x2?2可靠？

10101010?2,x2?10[解]精确解为x1?10。当使用三位数运算时，得到

10?110?1x1?1,x2?1，结果可靠。

15、已知三角形面积s?1?absinc，其中c为弧度，0?c?，且测量a，b，c22?s?a?b?c???。 sabc的误差分别为?a,?b,?c，证明面积的误差?s满足

n[解]因为?(s)??k?1?f111?(xk)?bsinc?a?asinc?b?abcosc?c， ?xk222111bsinc?a?asinc?b?abcosc?c?s222?1sabsinc所以。 2??c?b?c?c?b?c?????cbtanccbc

第二章 插值法（40-42）

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

?1???Vn(x0,x1,?,xn?1,x)??1???1x0xn?1x2x0??2xn?1x2n??x0????，证明Vn(x)是n次多项式，它的n??xn?1?n?x??根是x1,x2,?,xn?1，且Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1)。

Vn(x0,x1,?,xn?1,x)???(xi?xj)??(x?xj)n?1i?1n?1[证明]由

i?0j?0j?0?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)??(x?xj)j?0n?1可得求证。

2、当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4，求f(x)的二次插值多项式。

L2(x)?y0(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)?y1?y2(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)[解]?0?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?(?3)??4?(1?1)(1?2)(?1?1)(?1?2)(2?1)(2?1)14537??(x2?3x?2)?(x2?1)?x2?x?23623。

3、给出f(x)?lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取x0?0.5，x1?0.6，

则y0?f(x0)?f(0.5)??0.693147，y1?f(x1)?f(0.6)??0.510826，则

L1(x)?y0x?x0x?x1x?0.6x?0.5?y1??0.693147??0.510826?x0?x1x1?x00.5?0.60.6?0.5，

?6.93147(x?0.6)?5.10826(x?0.5)?1.82321x?1.604752从而L1(0.54)?1.82321?0.54?1.604752?0.9845334?1.604752??0.6202186。 若取x0?0.4，x1?0.5，x2?0.6，则y0?f(x0)?f(0.4)??0.916291，

y1?f(x1)?f(0.5)??0.693147，y2?f(x2)?f(0.6)??0.510826，则

L2(x)?y0(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)?y1?y2(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)??0.916291?(x?0.5)(x?0.6)(x?0.4)(x?0.6)?(?0.693147)?(0.4?0.5)(0.4?0.6)(0.5?0.4)(0.5?0.6)(x?0.4)(x?0.5)，

?(?0.510826)?(0.6?0.4)(0.6?0.5)?25.5413(x2?0.9x?0.2)??45.81455?(x2?1.1x?0.3)?69.3147?(x2?x?0.24)??2.04115x2?4.068475x?2.217097从而

L2(0.54)??2.04115?0.542?4.068475?0.54?2.217097??0.59519934?2.1969765?2.217097??0.61531984。

4、给出cosx,0??x?90?的函数表，步长h?1??(1/60)?，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为x0?x?x1?x0?h，对应的cosx值为y0,y1，函数表值为

y0,y1，则由题意可知，y0?y0?11?10?5，y1?y1??10?5，近似线性插值多22项式为L1(x)?y0x?x0x?x1?y1，所以总误差为 x0?x1x1?x0R(x)?f(x)?L1(x)?f(x)?L1(x)?L1(x)?L1(x)x?x0x?x1f??(?)?(x?x0)(x?x1)?(y0?y0)?(y1?y1)2!x0?x1x1?x0??x?x0x?x1cos?(x?x0)(x?x1)?(y0?y0)?(y1?y1),???x0,x1?2x0?x1x1?x0x?x0x?x11cos?(x?x0)(x?x1)?y0?y0?y1?y12x0?x1x1?x0，从而

R(x)?x?x0x?x1111??(x?x0)(x?x1)??10?5???10?5?22x0?x12x1?x01h2111111???10?5????10?5??6.94?10?5??10?5?3.47?10?5242214400222。

5、设xk?x0?kh,k?1,2,3，求maxl2(x)。

x0?x?x2x0?x?x3maxl2(x)?max(x?x0)(x?x1)(x?x3)x0?x?x3(x?x)(x?x)(x?x)202123[解]?max?(x?x0)(x?x0?h)(x?x0?3h)x0?x?x3(2h)h(?h)1max(x?x0)(x?x0?h)(x?x0?3h)2h3x0?x?x3220230。

令

f(x)?(x?x0)(x?x0?h)(x?x0?3h)?x?(3x0?4h)x?(3x?8x0h?3h)x?(x?4hx?3hx0)3202，则

2f?(x)?3x2?2(3x0?4h)x?(3x0?8x0h?3h2)，从而极值点可能为

x??22(3x0?4h)?4(3x0?4h)2?12(3x0?8x0h?3h2)6，又因为

(3x0?4h)?7h4?7?x0?h334?74?71?7?5?71h)?h?h?h?(147?20)h3， 3333274?74?71?77?51h)?h?h?h??(20?147)h3， 333327f(x0?f(x0?显然f(x0?4?74?7h)?f(x0?h)，所以 3314?71110?773f(x?h)?(20?147)h?。 0333272h2h27x0?x?x3maxl2(x)?6、设xjn(j?0,1,?,n)为互异节点，求证：

kl(x)?x1）?xkjjj?0n(k?0,1,?,n)；

2）?(xj?x)klj(x)?xkj?0(k?1,2,?,n)；

[解]1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设f(y)?(y?x)k，则左侧是f(y)?(y?x)k的n阶拉格朗日多项式，令y?x，即得求证。

17、设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0，求证maxf(x)?(b?a)2maxf??(x)。

a?x?ba?x?b8[解]见补充题3，其中取f(a)?f(b)?0即得。

8、在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10?6，问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点x0?x1?h，x1，x2?x1?h进行二次插值，则

R2(x)?f???(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)3!插值余项为

?e[x?(x1?h)](x?x1)[x?(x1?h)],???x0,x2?6?，

令f(x)?[x?(x1?h)](x?x1)[x?(x1?h)]?x3?3x1x2?(3x12?h2)x?x1(x12?h2)，则f?(x)?3x2?6x1x?(3x12?h2)，从而f(x)的极值点为x?x1?333233h?(1?)h?(1?)h?h，而 33393h，故3x0?x?x2maxf(x)?e?e42333e43R2(x)?maxf(x)?h?h，要使其不超过10?6，则有

6x0?x?x269273e43h?10?6，即h?276243e23.4863?2?10??10?2?0.472?10?2。 27.389e9、若yn?2n，求?4yn及?4yn。

4?4?4?jj?4??yn?(E?I)yn??(?1)??j??Eyn??(?1)??j??yn?4?jj?0j?0?????4?1?4?2?4?3?4?4?4?[解]?(?1)0?????????y?(?1)y?(?1)y?(?1)y?(?1)?0?n?4?1?n?3?2?n?2?3?n?1?4??yn。 ???????????2n?4?4?2n?3?6?2n?2?4?2n?1?2n444j?16?2n?32?2n?24?2n?8?2n?2n?2n?4?2(4?j)?2j?yn?(E?E)yn??(?1)?Eyn?j??Ej?0??44j?4?2?jj?4?????(?1)?Ey?(?1)?n?j??j??yn?2?jj?0j?0????4?44j121211?4?1?4?2?4?3?4?4?4??????????(?1)0?y?(?1)y?(?1)y?(?1)y?(?1)?0?n?2?1?n?1?2?n?3?n?1?4??yn?2。 ???????????2n?2?4?2n?1?6?2n?4?2n?1?2n?2?16?2n?2?32?2n?1?24?2n?2?8?2n?2?2n?2?2n?210、如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?lf(x)?0（l为正整数）。

[证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明?(fkgk)??fkgk?1?fk?gk。 [证明]

?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk?(fk?1?fk)gk?1?fk(gk?1?gk)??fkgk?1?fk?gkn?1n?1。

12、证明?fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk。

k?0k?0[证明]因为

?fk?0n?1k?gk??gk?1?fk??(fk?gk?gk?1?fk)k?0k?0n?1n?1n?1??[fk(gk?1?gk)?gk?1(fk?1?fk)]??(gk?1fk?1?fkgk)?fngn?f0g0k?0k?0n?1，故得证。

13、证明：??2yj??yn??y0。

j?0n?1[证明]??yj??(?yj?1??yj)??yn??y0。

2j?0j?0n?1n?114、若f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn，证明

?j?1n0?k?n?2?0,???1。 ?f(xj)?an,k?n?1nxkj[证明]由题意可设f(x)?an(x?x1)(x?x2)?(x?xn)?an?(x?xi)，故

i?1

f?(xj)?an?(xj?xi)，再由差商的性质1和3可知：

i?1i?jn?f?(xj?1nxkjj)??j?1nxkjan?(xj?xi)i?1i?jn1k1(xk)(n?1)?x[x1,?,xn]?，从而得证。 anan(n?1)!15、证明n阶均差有下列性质：

1）若F(x)?cf(x)，则F[x0,x1,?,xn]?cf[x0,x1,?,xn]；

2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F[x0,x1,?,xn]?f[x0,x1,?,xn]?g[x0,x1,?,xn]。

F[x0,x1,?,xn]??j?0nF(xj)?(xi?0i?jnj?xi)??j?0ncf(xj)?(xi?0i?jnj?xi)。

[证明]1）

?c?j?0nf(xj)?(xi?0i?jn?cf[x0,x1,?,xn]j?xi)F(xj)??j?0nF[x0,x1,?,xn]??j?0nf(xj)?g(xj)?(xi?0i?jnnj?xi)?(xi?0i?jnj?xi)。

2）

??j?0nf(xj)?(xi?0i?j7nj?xi)??j?0ng(xj)?(xi?0i?j?f[x0,x1,?,xn]?g[x0,x1,?,xn]j?xi)f(8)(?)0??0。16、f(x)?x?x?3x?1，求f[2,2,?,2]，f[2,2,?,2]? 8!8!4017018f(7)(?)7!??1，f[20,21,?,28]。 [解]f[2,2,?,2]?7!7!01717、证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,???xk,xk?1?，

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

8hmaxfk?。 [解]见P30与P33，误差限为?(h)?270?k?n18、XXXXXXXXXX．

19、求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)?P?(0)?0，

P(1)?P?(1)?1，P(2)?1。

[解]设P(x)?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0，则P?(x)?4a4x3?3a3x2?2a2x?a1，再由P(0)?P?(0)?0，P(1)?P?(1)?1，P(2)?1可得：

???0?a00?P(0)?a??0?0?P?(0)?a?0?a11????9解得1?P(1)?a?a?a?a?a???a2。从而 43210?1?P?(x)?4a?3a?2a?a?44321??3???2?a3?1?P(2)?16a4?8a3?4a2?2a1?a0??1?a4??4143392x22x2(x?3)2P(x)?x?x?x?(x?6x?9)?。

4244420、设f(x)?C[a,b]，把?a,b?分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)，并证明当n??时，?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x)。

supf(x)?inf[解]令?i(x)?xi?1?x?xixi?1?x?xif(x),i?1,2,3,?,n。

221、设f(x)?1/(1?x2)，在?5?x?5上取n?10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点中点处的Ih(x)与f(x)的值，并估计误差。 [解]由题意可知，h?1，从而当x??xk,xk?1?时，

Ih(x)?fklk?fk?1lk?1?x?xk1x?xk?11?1?k2xk?xk?11?(k?1)2xk?1?xk11??(x?x)?(x?xk)k?122h(1?k)h[1?(k?1)]。

22、求f(x)?x2在?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

[解]设将?a,b?划分为长度为h的小区间a?x0?x1???xn?b，则当

x??xk,xk?1?，k?0,1,2,?,n?1时，

Ih(x)?fklk?fk?1lk?1?x(x2k?12k22x?xk?1x?xkxk2?1(x?xk)?xk(x?xk?1)?x?xk?1?xk?xk?1xk?1?xkxk?1?xk2k2k?1k?x)?xx?xxk?1?xk2k?1kx

?x(xk?1?xk)?xk?1xk从而误差为R2(x)?f??(?)(x?xk)(x?xk?1)?(x?xk)(x?xk?1)， 2!h2故R2(x)?(x?xk)(x?xk?1)?。

423、求f(x)?x4在?a,b?上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

[解]设将?a,b?划分为长度为h的小区间a?x0?x1???xn?b，则当

x??xk,xk?1?，k?0,1,2,?,n?1时，

Ih(x)?fk?k?fk?1?k?1?fk??k?fk??1?k?1(x)4?x?xk?1???xk?x?x??k?1??k22?x?xk?1?2?xk?1?xk??4?x?xk??x?k?1??x?xk??k?12????2?x?xk?1???1?2??， x?xkk?1??3?x?xk?1?3?x?xk???4xk(x?x)?4xkk?1??x?x?k?1??k?xk?1?xk???(x?xk?1)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2?(x?xk)2(x?xk?1)2， 从而误差为R2(x)?4!h4故R2(x)?(x?xk)(x?xk?1)?。

162224、给定数据表如下： xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条函数S(x)，并满足条件： 1）S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868； 2）S??(0.25)?S??(0.53)?0。

[解]由h0?0.30?0.25?0.05，h1?0.39?0.30?0.09，h2?0.45?0.39?0.06，

h3?0.53?0.45?0.08，及（8.10）式?j?hjhj?1?hj,?j?hj?1hj?1?hj,(j?1,?,n?1)可知，?1?h1h20.0990.062????， ，?2?h0?h10.05?0.0914h1?h20.09?0.065?3?h30.084??，

h2?h30.06?0.087h0h10.0550.093????， ，?2?h0?h10.05?0.0914h1?h20.09?0.065h20.063??，

h2?h30.06?0.087?1??3?由（8.11）式gj?3(?jf[xj?1,xj]??jf[xj,xj?1])(j?1,?n?1)可知，

9f(x1)?f(x0)5f(x2)?f(x1)g1?3(?1f[x0,x1]??1f[x1,x2])?3[?]14x1?x014x2?x190.5477?0.500050.6245?0.5477?3?(???)140.30?0.25140.39?0.309477576819279?3?(???)??2.754114500149007000g2?3(?2f[x1,x2]??2f[x2,x3])?3[2f(x2)?f(x1)3f(x3)?f(x2)?]5x2?x15x3?x2。 。

20.6245?0.547730.6708?0.6245?3?(???)50.39?0.3050.45?0.39276834634?256?3?463?3?(???)??2.413590056001000g3?3(?3f[x2,x3]??3f[x3,x4])?3[4f(x3)?f(x2)3f(x4)?f(x3)?]7x3?x27x4?x340.6708?0.624530.7280?0.6708?3?(???)70.45?0.3970.53?0.45446334724?463?9?1181457?3?(???)???2.0814760078001400700。从而

5??209???14?2.7541??1.0000??2.1112????m1??14??23?????，解得 1）矩阵形式为：?2m?2.413?2.4132?????55?????????1.7871???m3???2.0814?3?0.6868??4?02?7????7???m1??0.9078?n?m???0.8278?，从而S(x)?[y?(x)?m?(x)]。

?jjjj?2???j?0??0.6570???m3???2）此为自然边界条件，故

g0?3f[x0,x1]?3?f(x1)?f(x0)0.5477?0.5000477?3??3??2.862；

x1?x00.30?0.25500f(xn)?f(xn?1)0.7280?0.6708572?3??3??2.145，

xn?xn?10.53?0.45800gn?3f[xn?1,xn]?3?

??2??9?14?矩阵形式为：?0???0???0?n005201423255402740071?0??0??m0??2.862???m???2.75411?????0??m2???2.413?，可以解得?????2.0814m?3??3???????7??m4??2.145??2???m0??m??1??m2?，从而???m3??m??4?S(x)??[yj?j(x)?mj?j(x)]。

j?025、若f(x)?C2[a,b]，S(x)是三次样条函数，证明

1）?[f??(x)]2dx??[S??(x)]2dx??[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx；

aaaabbbb2）若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n)，式中xi为插值节点，且a?x0?x1???xn?b 则?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx?S??(b)[f?(b)?S?(b)]?S??(a)[f?(a)?S?(a)]。

ab?ba[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dxabab??[f??(x)?S??(x)]2?2S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx[解]1）??{[f??(x)?S??(x)]?2S??(x)}[f??(x)?S??(x)]dxab。

??[f??(x)?S??(x)][f??(x)?S??(x)]dx??[f??(x)]2?[S??(x)]2dxaabb??[f??(x)]2dx??[S??(x)]2dxaabb2）由题意可知，S???(x)?A,x??a,b?，所以

?ba?????S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx?{S??(x)[f?(x)?S?(x)]}ba??[f(x)?S(x)]S(x)dxabab?S??(b)[f?(b)?S?(b)]?S??(a)[f?(a)?S?(a)]?A?[f?(x)?S?(x)]dx?S??(b)[f?(b)?S?(b)]?S??(a)[f?(a)?S?(a)]?A[f(x)?S(x)]ba?S??(b)[f?(b)?S?(b)]?S??(a)[f?(a)?S?(a)]

。

补充题：1、令x0?0，x1?1，写出y(x)?e?x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0?y(x0)?e?0?1，y1?y(x1)?e?1可知，

L1(x)?y0x?x0x?x1x?1?1x?0?y1?1??e?x0?x1x1?x00?11?0，

??(x?1)?e?1x?1?(e?1?1)xf??(?)e??(x?x0)(x?x1)?x(x?1),???0,1?， 余项为R1(x)?2!2故R1(x)?1111?maxe???maxx(x?1)??1??。

0?x?120???12482、设f(x)?x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以?1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

R3(x)?f(4)(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)4!4!?(x?1)x(x?1)(x?2)?(x2?2x)(x2?1)?x4?2x3?x2?2x4!，

从而L3(x)?f(x)?R3(x)?x4?(x4?2x3?x2?2x)?2x3?x2?2x。 3、设f(x)在?a,b?内有二阶连续导数，求证：

maxf(x)?[f(a)?a?x?bf(b)?f(a)1(x?a)]?(b?a)2maxf??(x)。

a?x?bb?a8f(b)?f(a)(x?a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

b?a式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b)?f(a)1f(x)?[f(a)?(x?a)]?f??(?)(x?a)(x?b)，从而

b?a2[证]因为f(a)?f(b)?f(a)1(x?a)]?maxf??(?)?max(x?a)(x?b)a?x?ba?x?bb?a2a???b。

111?maxf??(?)?(b?a)2?(b?a)2maxf??(x)a?x?b2a???b48maxf(x)?[f(a)?4、设f(x)?x7?5x3?1，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21,?,27]和

f[20,21,?,28]。

[解]因为f(20)?f(1)?7，f(21)?f(2)?27?5?23?1?169，

f(22)?f(4)?47?5?43?1?16705，所以f[20,21]?f(2)?f(1)?169?7?162，

2?1f[21,22]?012f(4)?f(2)16705?169??8268，

4?22f[21,22]?f[20,21]8268?162f[2,2,2]???2702，

322?20f(7)(?)7!f(8)(?)0018f[2,2,?,2]???1，f[2,2,?,2]???0。

7!7!8!8!0175、给定数据表：i?1,2,3,4,5，

xi 1 2 4 6 7 f(xi) 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 [解]

xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 5 4 0 61 6 1 41? 7 1 0 6由差商表可得4次牛顿插值多项式为： 1 2 4 1 -3 1? 21 2 ?7 601? 12 1 18057N4(x)?4?3(x?1)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?4)6601?(x?1)(x?2)(x?4)(x?6)180，插值余项为

57?4?3(x?1)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?4)6601?(x?1)(x?2)(x?4)(x?6)180f(5)(?)R4(x)?(x?1)(x?2)(x?4)(x?6)(x?7),???1,7?。

5!6、如下表给定函数：i?0,1,2,3,4，

xi 0 1 2 3 4 f(xi) 3 6 11 18 27 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 [解]构造差分表：

xi fi ?fi ?2fi ?3fi ?4fi 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 3 5 7 9 2 2 2 0 0 0 t(t?1)2?f0??2N4(x0?th)?f0?t?f0?由差分表可得插值多项式为：

t(t?1)?3?3t??2?3?3t?t(t?1)?t2?2t?32。

第三章 函数逼近与计算（80-82）

1、（a）利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式；

???

（b）对f(x)?sinx在?0,?上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

?2?

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解]（a）令x?a?(b?a)t，则t??0,1?，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x)??f(k?0n?n?k(b?a)kn?k)Pk(x)，其中Pk(x)???。 x(b?a?x)?k?n??（b）令x??2nt，则t??0,1?，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x)??f(k?0?k?n?k?n?k)Pk(x)，其中Pk(x)???。 x(?x)??2n2?k?0?1?0????1?1???????B1(f,x)??f()Pk(x)?f(0)?x?x?f()x?x?????0??1?2222????k?0????；

????????sin0???x??sin?x?0???x??x?x2?2??2?1?kB3(f,x)??f(k?03?k6)Pk(x)?3?0???3?1?32?f(0)??0??x(2?x)?f(6)??1??x(2?x)??????3?2???3?3?10????f()?x(?x)?f()x(?x)??3?22?2?2??3?。

?????????sin0???x??sin?3x(?x)2?sin?3x2(?x)?sin?x362322?2?3?332?3?233?223?x(?x)?x(?x)?x?(x??x2?x3)?(x?x3)?x3222224223?231?x??(2?3)x2?(33?5)x38422、求证：（a）当m?f(x)?M时，m?Bn(f,x)?M； （b）当f(x)?x时，Bn(f,x)?x。

k[证明]（a）由Bn(f,x)??f()Pk(x)及m?f(x)?M可知，

nk?0n3m?Pk(x)??mPk(x)?Bn(f,x)??MPk(x)?M?Pk(x)，

k?0k?0k?0k?0nnnn?n?kn?kn?而?Pk(x)???x(1?x)?[x?(1?x)]?1，从而得证。 ?k?k?0k?0??nn（b）当f(x)?x时，

nkk?n?k?Bn(f,x)??f()Pk(x)??f()?x(1?x)n?k??nn?k?k?0k?0nf(0)?0nkn!(n?1)!kn?k????x(1?x)??xxk?1(1?x)(n?1)?(k?1)。

k!(n?k)!k?1nk?1(k?1)![(n?1)?(k?1)]!n?x?(n?1)!xk(1?x)(n?1)?k?x[x?(1?x)]n?1?xk?0k!(n?1?k)!n?13、在次数不超过6的多项式中，求f(x)?sin4x在?0,2??的最佳一致逼近多项式。 [解]由sin4x,x??0,2??可知，?1?sin4x?1，从而最小偏差为1，交错点为

?3579111315此即为P(x)?H6的切比雪夫交错点组，从而,?,?,?,?,?,?,?，

88888888P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x)?0。

4、假设f(x)在?a,b?上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令m?inff(x)，M?supf(x)，则f(x)?a?x?ba?x?bM?m在?a,b?上具有最小偏差2M?m，从而为零次最佳逼近一次多项式。 25、选择常数a，使得maxx3?ax达到极小，又问这个解是否唯一？

0?x?1[解]因为x3?ax是奇函数，所以maxx3?ax?maxx3?ax，再由定理7可知，

0?x?1?1?x?1113当x3?ax?T3?(4x3?3x)时，即a?时，偏差最小。

444???

6、求f(x)?sinx在?0,?上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

?2?

f(b)?f(a)[解]由a1??f?(x2)?cosx2?b?a而最佳一次逼近多项式为

sin??22?sin0??02?2可得x2?arccos，从

?

11x1xa0??sin?1dx?(?2cos)1?1?0；

2?1222131x3x1x31x1sin?xdx?[(?2xcos)??2cosdx]?[(?4cos)?4sin|?1]?1???1?122222222；

31111?[(?4cos)?8sin]?12sin?6cos22222a1?51x1a2??sin?(3x2?1)dx?0；

2?122a3????????71x13sin?(5x?3x)dx??1222171xx12{[?2?(5x3?3x)cos]1??2cos?(15x?3)dx}?1??122222711x[?4cos??cos(15x2?3)dx]22?12171xx{?4cos?[2(15x2?3)sin]1?2sin?30xdx}?1??12222，

1711x[?4cos?48sin?60?xsindx]?122221711xx{?4cos?48sin?60[(2xcos)1?2cosdx]}?1??12222271111[?4cos?48sin?60(4cos?8sin)]2222271111(256cos?432sin)?896cos?1512sin22222从而三次最佳逼近多项式为

3xsin??akPk(x)?a1P1(x)?a3P3(x)2k?011111?(12sin?6cos)x?(896cos?1512sin)(5x3?3x)。

222221111?(2240cos?3780sin)x3?(2280sin?1340cos)x222225、把f(x)?arccosx在??1,1?上展成切比雪夫级数。

?C0??CkTk(x)，其中 [解]若按照切比雪夫多项式展开arccosx?2k?1?12??Ck??arccos(cos?)cosk?d????cosk?d??[(sink?)0??sink?d?]0k?0?0?k。

2122?(2cosk?)??[cosk??1]?[(?1)k?1]022?kk?k?2?2?24?1kT(x)。 从而arccosx??2[(?1)?1]Tk(x)???2k?k?1(2k?1)k?1?k?26、用最小二乘法求一个形如y?a?bx2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

xi 19 25 31 38 44 yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 [解]由d1???1(xi),f(xi)???yi?19.0?32.3?49.0?73.3?97.8?271.4。

i?15d2???2(xi),f(xi)???yixi2i?15?19.0?192?32.3?252?49.0?312?73.3?382?97.8?442。 ?6859?20187.5?47089?105845.2?189340.8?369321.5又??1(xi),?1(xi)???1?5，

i?15??1(xi),?2(xi)???xi2i?155?192?252?312?382?442，

?361?625?961?1444?1936?5327??2(xi),?2(xi)???xi4i?1?194?254?314?384?444，

?130321?390625?923521?2085136?3748096?72776995327??a??271.4??5?a?4.578故法方程为???b???369321.5?，解得?b?0.047。 53277277699????????S(xi)?f(xi)?均方误差为?i?152??a?bxi2?f(xi)i?15??2。

?6.477025?2.732409?0.555025?0.729316?4.9729?15.46667527、观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米） 0 10 30 50 80 110 [解]设直线运动为二次多项式f(x)?a?bx?cx2，则由

d1???1(xi),f(xi)???yi?0?10?30?50?80?110?280。

i?16d2???2(xi),f(xi)???yixii?16?0?0?10?0.9?30?1.9?50?3?80?3.9?110?5， ?9?57?150?312?550?1078d3???3(xi),f(xi)???yixi2i?16?0?02?10?0.92?30?1.92?50?32?80?3.92?110?52。 ?8.1?108.3?450?1216.8?2750?4533.2又??1(xi),?1(xi)???1?6，

i?16??1(xi),?2(xi)????2(xi),?1(xi)???xii?16?0?0.9?1.9?3?3.9?5?14.7，

??1(xi),?3(xi)????3(xi),?1(xi)????2(xi),?2(xi)???xi2?02?0.92?1.92?32?3.92?52?0.81?3.61?9?15.21?25?53.63i?16??2(xi),?3(xi)????3(xi),?2(xi)???xi3?03?0.93?1.93?33?3.93?53i?16

?0.729?6.859?27?59.319?125?218.907??3(xi),?3(xi)???xi4i?16?04?0.94?1.94?34?3.94?54，

?0.6561?13.0321?81?231.3441?625?951.032314.753.63??a??280??6?a??0.5837??b???1078?，解得?b?11.0814。 14.753.63218.907故法方程为?????????c?2.2488???53.63218.907951.0323????c????4533.2??故直线运动为f(x)??0.5837?11.0814x?2.2488x2。

28-31略。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：

I I1 I2 I3 …… In U U1 U2 U3 …… Un 试用最小二乘原理确定电阻R的大小。 [解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：U?IR。应用最小二乘原理，求R

??(R)?2?(IiR?Ui)Ii。使得?(R)??(IiR?Ui)达到最小。对?(R)求导得到：

2i?1i?1nn令??(R)?0，得到电阻R为R??UIi?1nnii。

?Ii?12i2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值x1,x2,?,xn，通常取平均值

x?1(x1?x2???xn)作为所求长度，请说明理由。 nn[解]令?(x)??(x?xi)2，求x使得?(x)达到最小。对?(x)求导得到：

i?11n??(x)?2?(x?xi)，令??(x)?0，得到x??xi，这说明取平均值

ni?1i?1nx?1(x1?x2???xn)在最小二乘意义下误差达到最小。 n3、有函数如下表，要求用公式y?a?bx3拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b。

xi -3 -2 -1 0 1 2 3 yi -1.76 0.42 1.20 1.34 1.43 2.25 4.38 [解]取?0(x)?1，?1(x)?x3，则

??0(x),?0(x)???1?7，??0(x),?1(x)????1(x),?0(x)???xi3?0，

i?0666i?0??1(x),?1(x)???xi6i?06?1588，而

6??0(x),y(x)???yii?0?9.26，??1(x),y(x)???xi3yi?180.65。故法方程为

i?00??a??9.26??7?a?1.3229?01588???b?????180.65??，解得?b?0.11376。 ???????4、在某个低温过程中，函数y依赖于温度?(?C)的实验数据为

?i 1 2 3 4 yi 0.8 1.5 1.8 2.0 已知经验公式的形式为y?a??b?2，是用最小二乘法求出a和b。 [解]取?0(?)??，?1(?)??2，则

??0(?),?0(?)????i?1442i?30，??0(?),?1(?)????1(?),?0(?)????i3?100，

i?14??1(?),?1(?)????i4i?1?354，而

4??0(?),y(?)????iyii?14?17.2，??1(?),y(?)????i2yi?55。故法方程为

i?1?30100??a??17.2??a?0.9497????，解得。 ??100354??b???55????????b??0.11295、单原子波函数的形式为y?ae?bx，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

X 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450 [解]对y?ae?bx两边取对数得lny?lna?bx，令Y?lny，A?lna，则拟合函数变为Y?A?bx，所给数据转化为 X 0 1 2 4 y 0.6981 0.1906 -0.3011 -0.7985 取?0(x)?1，?1(x)?x，则

??0(x),?0(x)???1?4，??0(x),?1(x)????1(x),?0(x)???xii?1444?7，

i?1??1(x),?1(x)???xi2i?1?21，而

4??0(x),y(x)???yii?14??0.2109，??1(x),y(x)???xiyi??3.6056。故法方程为

i?1?47??a???0.2109??A?0.5946????，解得。因而拟合函数为???721??b???3.6056????????b??0.3699Y?0.5946?0.3699x，原拟合函数为y?e0.5946?0.3699x?1.8123e?0.3699x。

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