2011年电工杯数学建模竞赛 一等奖论文

2011年电工杯数学建模竞赛 一等奖论文

第五届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

承 诺 书

我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛队号为：#1215 参赛队员 (签名) ：

队员2：樊宪标

队员3： 程凯

参赛队教练员 (签名)： 无

参赛队伍组别：研究生组

队员1：付聪

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第五届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛 编 号 专 用 页

参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：

#1215

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

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2012年第五届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

题 目 基于网络传播机制的新型奥运会商业模式研究 关 键 词 社交网络；网络传播；SIR模型；微分方程；“蒲公

英”式传播模型；最优化

摘 要：

关于运用社交网络进行公司宣传已成为未来奥运会一项新型商业模式，如何运用有限的资源，同时高效的使公司信息在网络中被更多的人得知并能够进一步推广，是公司所关心的重要内容。本文围绕社交网络中信息传播方式，从两种不同的角度——基于网络传播动力学中改进的传染病理论——SIR随机理论，以及三级“蒲公英”式传播理论，构建了两组社交网络信息传播模型。通过模拟信息在网络中的传播过程，探讨节点在网络传播中的行为规律。

对于问题（1），本文分别建立了SIR随机模型和三级“蒲公英”式传播模型。首先基于SIR随机模型建立了社交网络中信息传播的动力学演化方程组，用于刻画信息在未知节点、传播节点和免疫节点的密度随时间的变化关系。并通过探讨不同的人群接触并被传播信息的概率这一指标，得出通过增加此概率可以有效的使信息在人群中扩散这一结论。进而，基于SIR随机模型所求得的相关结果，本文运用优化思维构建了甲公司成本最小化的用人模型。其次，基于三级“蒲公英”式传播模型，本文刻画了当甲公司的专业推广者“不发生培训、不转投到乙公司”的情况下，网络中不同时刻、不同初始推广者情境下的日均信息蔓延程度，并构建了含有甲乙竞争机制的成本最优化模型。

对于问题（2），本文参考问题一中“蒲公英”式传播理论，建立软件推广的信息传播模型，得出甲公司采用软件推广比人力推广性价比更好的结论。

进而，本文对问题一中“不培训，不转投”的“蒲公英”式模型进行改进，建立“培训，不转投”和“培训，转投”两种情境下的0-1整数规划模型，更好的同实际相结合。

本文研究表明两种不同的模型符合社交网络的特性，有助于更深刻地理解发生在社交网络中的传播行为，同时在资源限制的约束下推动公司信息在网络中更好的推广。

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所选题目 C题

英文摘要（选填）

ABSTRACT

Business advocacy on the use of SNS (social network service) has become a new business model in future Olympic Games.

The major care of enterprises is how efficient the information will spread in the network that more people will aware of and can be further promoted. This paper focuses on information dissemination in SNS, from two points builds a SNS information dissemination model——based on the SIR Random theory of network transmission dynamics and three level dandelion propagation, simulates information spread in order to explore the behavioral of the nodes in the network .

For question (1), we build SNS dynamical evolution equations for the dissemination of information based on the SIR Random model and dandelion propagation Draw the conclusion that network will finally reach steady state and enlarge p1 will make more people to know information.

For question (2), a reference to question one of" Dandelion" communication theory, build software to promote information dissemination model, we get the conclusion that the enterprise should use software to promote information better than human promotion

This study has shown that the dynamical evolution of SNS dissemination model are with social networking features, and contribute to a deeper understanding of the propagation behavior in social networks, thereby promoting better propagation of the enterprise information in the network.

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目录

1 问题重述 ................................................................................................................................ 1 2 问题假设 ................................................................................................................................ 1 3 符号说明 ................................................................................................................................ 2 4 问题一模型的建立与求解 .................................................................................................... 2

4.1 问题一分析 ................................................................................................................ 2 4.2 数据处理过程 ............................................................................................................ 4 4.3 SIR随机模型 ............................................................................................................. 6

4.3.1 SIR随机模型理论分析 ................................................................................. 6 4.3.2模型建立 ......................................................................................................... 7 4.3.3 数值模拟及结论分析 .................................................................................... 8 4.4“蒲公英”式传播模型 ............................................................................................ 10

4.4.1 模型理论分析 .............................................................................................. 10 4.4.2 模型建立 .......................................................................................................11

5 问题二模型的建立与求解 .................................................................................................. 13

5.1 问题二分析 .............................................................................................................. 13 5.2 “蒲公英”传播模型 .............................................................................................. 13

5.2.1模型建立 ....................................................................................................... 13 5.2.2 数值模拟及结论分析 .................................................................................. 14

6 模型的改进方向 .................................................................................................................. 15

6.1 模型假设 .................................................................................................................. 15 6.2 改进模型之一 ——“不跳槽，有培训”情形 .................................................... 15 6.3 改进模型之二 ——“跳槽，有培训”情形 ........................................................ 17 7 模型评价 .............................................................................................................................. 19 参考文献 .................................................................................................................................. 19 附录 .......................................................................................................................................... 20

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1 问题重述

从 1984 年的美国洛杉矶奥运会开始，奥运会就不在成为一个“非卖品”，它在向观众诠释更高更快更强的体育精神的同时，也在攫取着巨大的商业价值，它与电视结盟，在运动员入场仪式、颁奖仪式、热门赛事、金牌榜发布等受关注的时刻发布赞助商广告，它在每个行业中仅挑选一家奥运全球合作伙伴，这就是“Top赞助商”的前身。然而，昂贵的宣传费用的门槛把绝大多数公司排除在了奥运会之外。但是越来越多的公司不甘心错过奥运会这个吸引大众眼球的宣传机会，他们在寻找新的新闻传播渠道。现在是一个机会，电视正在受到冲击，观众不在只关注电视，他们利用社交网络可以获得更加丰富的比赛信息和网友的评论。这也为更多的公司提供了在奥运期间宣传自己的机会。

一家公司想利用社交网络在奥运会期间进行公司宣传，假设现在距离奥运会开幕还有 100 天，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增 500 个粉丝，这些粉丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己的粉丝们，普通网络用户平均每天可以新增 20 个粉丝。

问题一： 专业推广者是一种稀缺资源，假设能够找到的专业推广者仅有 10人，他们是否愿意为公司工作，取决于公司开出的薪水。由于工资是按日结2算，他们随时可能转投工资更高的其他公司。兼职推广者可以大量雇到，但他们必须由专业推广者培训后才能上岗工作，一个专业推广者一天最多培训20 人，培训将占用专业推广者的工作时间。甲公司现有网络推广资金 20 万元，想利用网络推广扩大产品的知名度。该公司的一个竞争对手乙公司也同样计划利用奥运期间进行商品的网络推广，他们同样预算了 20 万元的推广资金，乙公司目前产品的市场占有率是甲公司的 1.5 倍。请建立合理的数学模型，帮助甲公司制定一份奥运期间的网络推广的资金使用和用人方案，使得产品推广的效果能够达到最大。

问题二： 某黑客公司研制了一个能够自动添加粉丝的软件，售价 10000 元，该软件一天可以自动发出 100000 个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优先的原则搜索到的，但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意接受邀请。请建立数学模型说明这个软件的出现对上一问的用人和资金使用方案是否有影响？如果有影响，该如何对方案进行调整？

2 问题假设

假设1. 在大规模的社交网络中，不考虑节点的自然死亡现象，即社交网络上的用户总数在所研究的时间段内保持数目不变；

假设2. 专业推广者和兼职推广者因为任务要求，需要每天发布或者转发含有公司广告的奥运消息；而对于普通的网络用户，一旦转发该消息后，如果再次看到同样的消息，则不会再次转发相同的新闻；

假设3. 传播期间，潜在用户（潜在节点）都有同等机会接触到推广的消息； 假设4. 专业推广者的粉丝均为普通网络用户；

假设5. 个体只能从与其有联系的其他个体处获得信息，即宣传推广途径仅限于社交网络，粉丝们都只从社交网络中得到公司发布的推广信息，不考虑其他传媒因素如电视、广播等；

假设6. 网络中只有甲乙两家公司发布各自的奥运公司信息，且专业推广人士只能从甲公司转投到乙公司；

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假设7. 假设社交网络中不同群体（推广者、粉丝）内的个体之间是均质的；即为推广者群体中不同推广者的影响力是一样的，粉丝群体中不同粉丝的影响力是一样的

3 符号说明

符号 i N

含义

社交网络中任一节点，即任意自然人 网络中人口总数，N足够大

未知节点集合，即该节点虽然没有接受过来自社交网络中邻居节点的信息，但是有机会接受该信息

S类人群在t时刻占总人数的比例

传播节点集合，即该节点接受了来自邻居节点的信息，并具有传播的能力 I类人群在t时刻占总人数的比例

免疫节点结合，即该节点接受了来自邻居节点的信息，但是不会向下一级粉丝进行传播

R类人群在t时刻占总人数的比例 S类人群与I类人群接触的概率 S类人群容易被传播信息的概率

S类人群与I类人群接触并被传播信息的概率，即p1 p I类人群变为R类人群的概率

粉丝看到信息后愿意转发信息概率

对于自动添加粉丝的软件，粉丝愿意接受邀请的接受率 甲公司的用人成本

甲公司雇佣专业推广者的人数 乙公司雇佣专业推广者的人数 甲公司跳槽到乙公司的人数

对于甲公司系统达到稳态的天数 对于乙公司系统达到稳态的天数

在第k天的时候，甲公司的推广效果可能比乙强，k 100

甲公司雇佣的m1个人中，第i个人从第一天开始连续培训了j天 甲公司的专业推广者平均工作了g天后跳槽到乙公司 甲公司专业推广者的平均工作率，定义 g/k

S S(t) I I(t)

R

R(t) p

p1

C m1 m2 m3 n1 n2 k xij g

4 问题一模型的建立与求解

4.1 问题一分析

在碎片化趋势下的社交网络中，公司利用社交网络进行宣传已经成为一种新型的奥运会商业模式。

社会性网络服务(Social Network Service，SNS)通过网络聊天、博客、播客和社区共享等途径，实现个体社交圈的逐步扩大，最终形成一个联结“熟人的熟人”的大型网络社

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交圈。社交网络的传播机理是以人为中心，依靠人与人之间的好友关系进行信息的传播。在SNS网络中，一个人发布的消息会被其好友看到，并以一定的概率分享、传播。同时，若其好友对其内容不感兴趣则成为“免疫者”且不会传播[1]。

含有公司广告的奥运新闻在社交网络中的传播模型可以抽象为图4.2所示，信息为在社交网络中不同节点（专业推广者，普通网络用户）间的流动过程。如图所示，消息的传播方式分为两类： 直接传播（一次传播）：以公司的专业推广者为中心，由专业推广者最先发布或者转

发含有公司信息的奥运新闻。从而将广告信息直接推向其基础粉丝（即普通网络用户），同时，网络中每天专业推广者新增的粉丝也是专业推广者直接传播信息的对象。这种公司广告由专业推广者直接到普通网民的流动过程，视为信息的直接传播过程，即为专业推广者→普通网民（基础粉丝+每天新增粉丝）。 间接传播（二次传播）：普通网民通过转发该条新闻，从而将广告信息推给其下一级

粉丝，即由专业推广者引起的，经普通网民转发信息，为间接传播过程。即专业推广者----基础粉丝→普通粉丝；专业推广者----新增粉丝→普通粉丝。

由图4.2所示，信息在网络上传播的具有一定程度的复杂性，如何利用有限的资金成本有效的使公司推广信息被更多的人看到并进行进一步推广，同时在同其对手的竞争中处于优势地位，是公司所关注的问题。故本文针对问题一，利用SIR传染病动力学理论及“蒲公英式”信息传播模式，分别对社交网络中的信息传播行为进行详细的理论建模和数值仿真研究，有助于更深刻地理解发生在社交网络中的传播行为，达到公司在奥运会期间进行宣传推广的目的。本问题模型建立思路如下图所示：

图4.1 问题一模型建立思路

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资料来源：参考2553队第一阶段论文图形

图4.2 社交网络信息传播模式

4.2 数据处理过程

附件中参考数据给出了Twitter 社交网站用户之间的链接关系，共有835436种follow 关系，数据量庞大，因此，本文预先对此数据进行处理。其中我们视为第一列为专业推广者，第二列为专业推广者的基础粉丝。

① 运用EXCEL中分类统计功能对推广者进行统计，得出每个专业推广者的基础粉丝数量，我们发现出现103行异常数据，即基础粉丝前无专业推广者说明，故首先将异常数据剔除。

② 接下来我们共统计出2502个推广者有自己固定的基础粉丝。将基础粉丝的数量进行排序，得到前10名专业推广者如表4.1所示。

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参赛队号

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③ 通过观察推广者和粉丝数量的关系，我们发现某一数量的粉丝会有多个专业推广者，进而再次运用EXCEL中分类统计功能对粉丝数量进行统计，得出每种数量的粉丝所对应的专业推广者的数量，并按粉丝数量降序排列，得到数值模拟图如下所示：

图4.3 每种粉丝对应推广者的数量分布图

④ 问题中所限制条件为目前能够找到专业推广者仅有10人，又依据假设7推广者

群体中不同推广者的影响力是一样的，故设定每个推广者的基础粉丝人数相同。依据图4.3，粉丝数量在460人以上推广人数较多，所得统计数据如表4.2所示，

表4.2 粉丝数量与推广者数量对应情况

故此利用加权平均法

粉丝基数 推广者数量得出每个专业推广者的基础粉丝数量

推广者数量

为488人。

同时，依据资料和题目中所给出的信息，总结相关数据如下： 时间限制：距离奥运会开幕还有100天； 人力资源限制：可找到专业推广者10人； 资金限制：甲乙各自资金预算20万元；

专业推广者：日工资500元/天，平均基础粉丝488人，日新增粉丝500人/天，

培训兼职推广者20人/天，且培训占用专业推广者工作时间；

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兼职推广者：日工资50元/天，日新增粉丝35人/天，由于兼职推广者需要经过

培训后上岗，可视其无基础粉丝；

普通网络用户：无工资，日新增粉丝20人/天

自动添加粉丝的软件：成本1万元，每日自动发出粉丝添加邀请10万人。 4.3 SIR随机模型

4.3.1 SIR随机模型理论分析

本文将SNS网络上的用户定义为节点，个体之间的好友关系则可以抽象地用节点之间的边来表示，信息只沿着边传播[2]。进而基于流行病传播的动力学模型SI R(Susceptive-Infected-Recovered)模型进行建模。

在此模型中，网络中表示真实体系中个体的节点能够处于三种状态：公司信息未知状态，信息传播状态，信息免疫状态。在每一个时间步，处于未知状态的节点如果连接到一个或多个处于传播态的节点，那么它们将以一定的概率被感染而成为传播状态；同时处于传播态的节点将不得反向成为未知的节点，它只能够在每一个时间步以一定的概率去感染与它们存在相互联系的个体[3]，同时，处于免疫状态的节点将不会继续往下传播含有公司信息的奥运新闻。

而在实际问题中，有些变量具有随机性，有时有必要建立随机模型。因此本问题中基于SIR基本模型做进一步深化，建立随机性质的SIR模型。

人群中未知者和传播者任何两人之间的接触是随机的，当未知者与传播者接触时是否被传播也是随机的，为此，需要求出一名未知者和一名传播者接触并被传播的概率，故此概率等于一名未知者与一名传播者接触的概率乘以接触时感染的概率，记为

p1 p （4.1）

若社交网络上的总用户数为 N，在短期内保持不变，则 (1) 未知节点、传播节点、免疫节点在t时刻的关系为：

S(t) I(t) R(t) 1 （4.2） (2) 单位时间内还未观看到公司信息的人群数量为：

dS(t)

N p1NS(t)I(t) （4.3）

dt

(3) 单位时间内传播信息的人群数量为：

dI(t)

N p1NS(t)I(t) NI(t) （4.4）

dt

(4) 单位时间内对信息免疫（不会传播信息）的人群数量为：

dR(t)

N NI(t) （4.5）

dt

(5) 初始时刻未知者和传播者的比例分别为S0和I0，则

S(0) S0,I(0) I0 （4.6） 综上，将方程简化后得到在任意t时刻SIR随机模型为：

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S(t) I(t) R(t) 1 dS(t) p1S(t)I(t) dt dI(t)

p1S(t)I(t) I(t) （4.7） dt dR(t)

dt I(t) S(0) S0,I(0) I0

4.3.2模型建立

对于问题一中所给信息，专业推广者在100天的推广时间内可能发生三种情况：1.

自身推广公司信息；2. 培训兼职推广者；3. 转投到工资更高的乙公司。故本文首先讨论最简单的一种情形：甲公司所雇佣的所有专业推广者全部推广信息，不发生培训兼职人员和跳槽的现象。

针对问题一的条件显示，乙公司目前产品的市场占有率是甲公司的1.5倍，故对于此条件，可视为乙公司的知名度比甲更高，因而在推广的过程中，由于公众的从众心理更愿意接受并转发乙公司的奥运信息，因此在传播期间，当潜在用户都有同等机会接触到推广的消息的情况下，乙公司信息被传播的概率为甲的1.5倍，即对于p1 这个概率而言，p1乙=1.5p1甲。

又通过比赛第一阶段的结论可得出，网络中各种状态的人群在一定时间后会趋于定值，即系统会达到稳态，因此需先借助甲乙公司各自的SIR随机模型，通过数据模拟得出甲乙公司信息推广中各自系统达到稳态的时间。甲乙公司的SIR随机模型如下所示：

S(t)' I(t)' R(t)' 1 S(t) I(t) R(t) 1

dS(t)dS(t)' 1.5p1S(t)'I(t)' p1S(t)I(t) dt dt

dI(t) dI(t)'

甲 p1S(t)I(t) I(t)乙 1.5p1S(t)'I(t)' I(t)' （4.8）

dtdt dR(t) dR(t)'

I(t)' dt I(t)

dt

''''

S(0) S0,I(0) I0 S(0) S,I(0) I 00

继而通过数值模拟求得达到稳态时甲需要n1天，乙需要n2天后，建立资源约束的甲公司用人成本最小化的线性优化模型。又乙公司的知名度大于甲企业，因此初始时刻甲公司可能需要雇佣更多的专业推广者，才有可能使推广的效果比乙强。设初始时刻甲雇佣m1个专业推广者，乙雇佣m2个专业推广者，优化模型如下所示：

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minC 500m1n1

s.t.

m1 m2 10500m1n1 20 104500m2n2 20 104m1 m2

m1,m2,n1,n2为整数

(4.9) (4.10)

(4.11) (4.12) (4.13) (4.14)

其中，式（4.9）为目标函数，所求甲公司雇佣专业推广者的最低成本；式（4.10 ）为人力资源约束，目前可找到的专业推广者仅有10人；式（4.11）为甲公司推广资金不多于20万元；（4.12）为乙公司推广资金不多于20万元；式(4.13)为甲乙雇佣推广者的限制关系； (4.14)为变量取值约束。 4.3.3 数值模拟及结论分析

基于SIR随机模型中，随机变量p1为一个重要指标，因此，我们选取三组不同的p1

数据对模型进行数值模拟，获得结果及变化趋势图如下：

表4.3 数值模拟结果一

p1

I(0) S(0)

达到稳态时间（天）

86 60

稳态时I(t) 0.0001 0.0001

稳态时S(t) 0.2030 0.0594

I(t)达到

峰值所需天数

34 21

I(t)峰值

0.1534 0.2974

甲

0.6 0.3 0.00004 0.99996

公司 乙

0.9

0.3 0.00001

0.99999

公司

图4.4 甲公司S-I关系 图4.5 乙公司S-I关系

可见当接触并传播的概率越大时，信息越容易在短时间内传播。并且由上表可见，在初始时刻，即便甲公司的专业推广人员比乙公司多，甲公司的信息推广效果仍然没有乙公司好。

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表4.4 数值模拟结果二

p1

I(0) S(0)

达到稳态时间（天） 稳态时I(t) 稳态时S(t) 无稳态

I(t)达到

峰值所需天数

I(t)峰值

甲

0.4 0.3 0.00004 0.99996

公司 乙

0.6 0.3 0.00001 0.99999

公司

90 0.0001 0.2020 40 0.1516

图4.6甲公司甲公司S-I关系 图4.7 乙公司甲公司S-I关系

由上述数值模拟可以看出，当接触并传播的概率低于0.5时，甲的网络在100天的时间内无法达到稳态。同时，当p1相同（诸如0.6）时，对于甲乙公司而言，甲公司的初始传播人群大于乙公司，因而甲公司可以提前达到稳态，并且传播效果好于乙公司。

表4.5 数值模拟结果三

p1

I(0) S(0)

达到稳态时间（天）

稳态时I(t) 稳态时S(t) 无稳态

I(t)达到

峰值所需天数

I(t)峰值

甲

0.2 0.3 0.00004 0.99996

公司 乙

0.3 0.3 0.00001 0.99999

公司

无稳态

图4.8甲公司甲公司S-I关系 图4.9 乙公司甲公司S-I关系

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而由上两图可知，当接触并传播的概率较小时，信息几乎在网络中无法扩散。 因此，我们用第一组数据探讨企业雇佣专业推广者的人数及成本。

当甲公司需要86天而乙公司需要60天达到稳态的时候，又因为初始时刻我们给定甲的推广人数I(0)甲=0.00004，乙公司I(0)乙=0.00001，可视为甲的推广者近似为乙的4倍，故算出在第一组数值模拟下甲公司需要专业推广者4人，最小成本172000元。

而此种结果是在特定数值下的特定解，故需要通过大量数值模拟分析达到稳态的天数，进而求得所需人数，从而以求得人数和天数乘积的最小值，即最低的用人成本。 4.4“蒲公英”式传播模型 4.4.1 模型理论分析

“蒲公英”式传播是一种结合“中心式”和“关键点式”的较为复杂的传播模式,这些本身有一定的传播力,同时在二次或者三次转发中,又有很多关键点帮助传播,最后往往达到几千或者上万的转发数量。以这种方式传播往往是很多热门话题或者内容非常吸引人,得到了很多人的推荐,这样的推广具有强大的影响力,而且传播的可靠性也非常高[4]。

图4.10 “中心式”传播 图4.11 多关键点传播

依据本题中所给条件，专业推广者在初始时刻拥有众多的基础粉丝，同时其每日又会新增500粉丝，而这些基础粉丝和新增粉丝又会再次将信息转发给他们的下一级粉丝，假设一天中的传播状态只达到此种等级为止，不考虑同一天中信息在层层粉丝中无限传播情况，故本问题中可建立三级“蒲公英”式传播模型，形象表示如下图所示：

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图4.12 三级“蒲公英”式传播模型

4.4.2 模型建立

同样本文讨论最简单的一种情形：甲公司所雇佣的所有专业推广者全部推广信息，不发生培训兼职人员和跳槽的现象。

现讨论一个专业推广者在k天中一共可以推广的效果。

在第一天中，专业推广者的488个粉丝会以概率 推广信息，同时，基础粉丝中已经推广信息的人群每人会增加20个下级粉丝，这些粉丝同样以概率 推广信息，故设由基础粉丝引起的在第一天共推广的人群数量记为A1，则

A1 488 (488 20) （4.15）

同时，专业推广者在第每日会增加500个粉丝，这些粉丝会以概率 推广信息，同时，这500个粉丝中已经推广信息的人群每人会增加20个下级粉丝，这些粉丝同样以概率 推广信息，故设由日增500粉丝引起的在当日共推广的人群数量记为B1，则

B1 500 (500 20) （4.16）

记第一天一共推广的人群数量为T1，则

T1 A1 B1 （4.17） 而此部分人群会在第二天继续每人增加20个粉丝，则

T2 T1 20 （4.18）

同理，由T1人群所引发的在未来第k天所带来的新增传播人群为

Tk Tk 1 20 （4.19）

以上为专业推广者在第一天由基础粉丝和新增粉丝推广后，在未来的k天时间里由这些

粉丝所引起的新增消息转发者情况。

依据假设2可知，基础粉丝在第二天不会再转发新闻，因此第二天专业推广者只能

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新增加500粉丝，这些粉丝会继续以概率 推广信息，计算如式（4.16），此部分人群在第三天所引起的新增消息转发者情况为

B2 B1 20 （4.20）

如此，在未来第k 1天所带来的新增传播人群为

Bk 1 Bk 2 20 （4.21）如上所述，由一个专业推广者所引发的k天中每日消息蔓延数量如下表所示：

上表中，横向求和为某一天的传播人群在未来的k天时间里由这些人群所引起的新增消息转发者情况。纵向求和为某一天当天时间内所有新增消息转发者情况，记为Cw,故由一个专业推广者所引发的k天中消息蔓延总和为

Ttotal甲 Cw （4.22）

w 1k

对于乙公司目前产品的市场占有率为甲公司的1.5倍，视作粉丝看到信息后愿意转

发信息概率为1.5 ， 同理可得乙公司中：

A1' 488 1.5 (488 1.5 20) 1.5 B1' 500 1.5 (500 1.5 20) 1.5

Tk' Tk 1' 20 1.5 Bk 1' Bk 2' 20 1.5

并按上述方法计算Ttotal乙

又我们想使甲公司同乙公司的竞争中处于优势地位，则k天以后甲公司相对于最大竞争者的市场份额需大于100%，即甲公司的信息传播量与乙公司的信息传播量之比需高于100%。故建立的甲公司资本最小化模型为：

minC 500m1k(4.23) s.t.m1 m2 10(4.24)

k 100

500m1k 20 10 500m2k 20 10

4

4

(4.25) (4.26) (4.27) (4.28) (4.29)

m1 Ttotal甲

100%

m2 Ttotal乙m1,m2,k为整数

2011年电工杯数学建模竞赛 一等奖论文

其中，式（4.23）为目标函数，所求甲公司雇佣专业推广者的最低成本；式（4.24）为人力资源约束，目前可找到的专业推广者仅有10人；式（4.25）为甲公司的推广效果可能比乙强时不超过100天；式（4.26）为甲公司推广资金不多于20万元；（4.27）为乙公司推广资金不多于20万元；式(4.28)要使k天中甲的推广人数比乙多；式(4.29)为变量取值约束。

5 问题二模型的建立与求解

5.1 问题二分析

在本问中，虽然软件一天可以自动发出 100000 个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优先的原则搜索到的，但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意接受邀请。因此如果粉丝愿意接受邀请的接受概率为 ，则每天发出 100000 个粉丝添加邀请所能传播的人群为105 。而用软件进行信息传递仅涉及购买软件的基本费用1万元，故而可运用问题一中“蒲公英”式传播模式的思想，探讨软件使用100天时间内可传播的人群数量，进而同问题一的方案进行对比分析。

5.2 “蒲公英”传播模型 5.2.1模型建立

为简化模型，本问仅考虑由每天发出 100000 个粉丝添加邀请所能传播的人群为105 ，不考虑105 人群在当天继续每人增加20个粉丝的数量，即每天只有软件传播→普通粉丝两级传播模式，但是此部分人群在第二天能够每人继续增加20个粉丝。

故而每日产生的粉丝添加邀请所能传播的人群L1为

L1=105 （5.1）

L1人群在第二天所能新传播的人数为

L2 （L1 20） 20 105 2 （5.2）

L1人群在第100天所能新传播的人数为

L100 （L99 20） (20)99 105 100 (5.3)

如上所述，由软件所引发的100天中每日消息蔓延数量如下表所示：

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上表中，每一行横向求和为某一天的传播人群在未来到100天的时间里由这些人群所引起的新增消息转发者情况。每一列纵向求和为某一天当天时间内所有新增消息转发者情况，记为Cw,故由软件推广所引发的100天中消息蔓延总和为

Ttotal Cw （5.4）

w 1100

5.2.2 数值模拟及结论分析

对于粉丝愿意接受邀请的接受率设为定值 0.1，下面我们对不同的传播率进行模

拟。取 从0.01到0.05，得到每日推广人群趋势如下图所示：

图5.1 每日推广人群趋势

从图中可以看出当传播率高于0.05时，网络中蔓延的信息数量呈直线增长，此与实际情况不符合，故探讨 从0.01到0.04的情况，传播趋势如图5.2所示。

图5.2

从0.01到0.04时每日推广人群趋势

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又 从0.01到0.04时，数值模拟结果的相关结论如下表所示：

表5.2 数值模拟结果

传播率为0.01 传播率为0.02

8 15 125 333 12469 33111

稳态所需天数 稳态时定值 100天共传播人数 传播率为0.03

28 750 73875 传播率为0.04

58 2000 192000

相对于问题一中甲公司用最小成本172000元，可使网络中80天以后得知甲公司信息的人群数量不会发生变化而言，用软件在传播率为0.04的情况下，仅使用1万元的资金成本，就能使甲公司的网络中58天以后得知甲公司信息的人群数量不会发生变化，因此甲公司可采用软件传播代替人力传播，获得更好的传播性价比。

6 模型的改进方向

在问题一的“蒲公英”式传播模型中，我们仅考虑了甲公司所雇佣的所有专业推广者全部推广信息，不发生培训兼职人员和跳槽的现象。下面，我们将对模型进行深化，探讨“不跳槽，有培训”和“跳槽，有培训”的情况，并进一步建立0-1整数规划模型。 6.1 模型假设

假设1. 专业推广人员在某一天不论培训兼职推广人员还是自行推广信息，都将产生500元的雇佣费用；此外，若是进行培训，额外的培训费用将不予考虑；

假设2. 每天按最多培训20人计算；

假设3. 如有培训，则从第一天起开始，不考虑中间某天开始培训的状况；

假设4. 兼职推广者无基础粉丝，兼职推广者在培训下一天才开始推广，且兼职推广者被培训当天无雇佣费用，下一天产生雇佣费用；

假设5. 乙公司一直只雇佣专业推广者，乙公司推广者只负责推广信息，不会有培

训情况存在，且乙公司的专业推广者不会跳槽到甲公司。 6.2 改进模型之一 ——“不跳槽，有培训”情形

设甲公司雇佣m1个专业推广者，推广者在某一天只有一种状态：培训或推广信息，二者不可同时发生，因为培训将占用专业推广者的工作时间。因此，设

甲公司第i个专业推广者从第一天开始培训到第j天 1,

xij

0，无培训，专业推广者在j天中只负责推广信息

则考虑有培训情形后，基于三级“蒲公英”模式的兼职推广者信息传播方式如图6.1所示：

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图6.1 基于三级“蒲公英”模式的兼职推广者信息传播方式

因此，若某一个专业推广者从第1天起开始培训，记所培训的20个兼职推广者在培训时推广数量为Q1，则Q1=0

记培训后第一天的推广情况为Q2，则

Q2=20 35 +（20 35 ） 20 （6.1）

在培训后的第二天时，系统中不仅包含前一天Q2人群在新一天每人增加的20个粉丝，同时初始的20个兼职推广者在当天还会每人增加35个粉丝，故在第三天（即培训后的第二天）推广情况为

Q3 Q2 20 Q2 （6.2） 故第k天由兼职推广者蔓延的信息推广数量为

Qk Qk 1 20 Q2 （6.3） 以上为某一个专业推广者从第1天起开始培训，第一天产生的20个兼职推广者从第二天到第k天所信息所蔓延的人群数量，同时，此专业推广者第二天还会再次培训20个兼职推广者，一直培训到第j天为止，从第j 1天起为专业推广者自己推广信息（所涉及信息传播公式及参量详见问题一），故某一专业推广者通过培训所产生的每日消息蔓延数量如下表所示：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p651.html