《c语言数据结构》第6章 树和二叉树 自测卷解答
更新时间:2024-04-10 12:47:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第6章树和二叉树自测卷解答姓名班级
题号 题分 得分 一 10 二 15 三 11 四 20
五 20 六 24 总分 100 一、下面是有关二叉树的叙述,请判断正误(每小题1分,共10分)
(√)1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构,则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
(×)2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。 (√)3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
(×)4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
(×)5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树(若存在的话)所有结点的关键字
值,且小于其右非空子树(若存在的话)所有结点的关键字值。(应当是二叉排序树的特点)
(×)6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1,其中k是树的深度。
(×)7.二叉树中所有结点,如果不存在非空左子树,则不存在非空右子树。
(×)8.对于一棵非空二叉树,它的根结点作为第一层,则它的第i层上最多能有2i—1个结点。(应2i-1)
(√)9.用二叉链表法(link-rlink)存储包含n个结点的二叉树,结点的2n个指针区域中
有n+1个为空指针。
(正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树,结点共有2n个链域。由于二叉树中,除根结点外,每一个结点有且仅有一个双亲,所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针,还有n+1个空指针。)即有后继链接的指针仅n-1个。
(√)10.〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
最快方法:用叶子数=[n/2]=6,再求n2=n0-1=5
二、填空(每空1分,共15分)
1.由3个结点所构成的二叉树有5种形态。
2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1=n2=2k-1-1=31个分支结点和26-1=32个叶子。
注:满二叉树没有度为1的结点,所以分支结点数就是二度结点数。
3.一棵具有257个结点的完全二叉树,它的深度为9。 (注:用[log2n]+1(257≤2k-1)
4. 【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点,则共有350个叶子结点。
答:最快方法:用叶子数=[n/2]=350
5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点,则此完全二叉树有500个叶子结点,有499个度为2的结点,有1个结点只有非空左子树,有0个结点只有非空右子树。
答:最快方法:用叶子数=[n/2]=500,n2=n0-1=499。另外,最后一结点为2i属于左叶子,
右叶子是空的,所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况,所以非空右子树数=0.
6.【严题集6.7③】一棵含有n个结点的k叉树,可能达到的最大深度为n,最小深度为2。 答:当k=1(单叉树)时应该最深,深度=n(层);当k=n-1(k-1叉树)时应该最浅,深度=2(层).
(不可能只1层,那是只有根结点的情况。教材说是“完全k叉树”,指的是k≥n的情况。)
7. 【96程试题1】二叉树的基本组成部分是:根(N)、左子树(L)和右子树(R)。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种:前序法(即按N L R次序),后序法(即按L R N次序)和中序法(也称对称序法,即按L N R次序)。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH,中序序列是FEBGCHD,则它的后序序列必是F E G H D C B。
解:求D之法1:画图(见右图),由前序先确定root,由中序先确定左边的叶子,再慢慢推导),由图知,后序序列为FEGH??。。
求D之法2:其实不画图也能快速得出后序序列,只要找到根的位置特征。请看,前序遍历BEFCGDH中,根结点在最前面,是B;则后序遍历中B一定在最后面。
小结:方法1:由前序先确定root,由中序先确定左子树
方法2:递归计算。如B在前序序列中第一,中序中在中间(可知左右子树上有哪些元素),则在后序中必为最后。如法对B的左右子树同样处理,则问题得解。
8.【全国专升本统考题】中序遍历的递归算法平均空间复杂度为 O(树的深度k+1)或O(n)。
9.【计算机研2001】用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼(Huffman)树的带权路径长度是 33 。
解:先构造哈夫曼树,得到各叶子的路径长度之后便可求出WPL=(4+5+3)×2+(1+2)×3=33 (15) (9) (6) 4 5 3 (3) 1 2 (注:原题为选择题:A.32 B.33 C.34 D.15)
三、单项选择题(每小题1分,共11分)
(C)1.不含任何结点的空树。
(A)是一棵树;(B)是一棵二叉树;
(C)是一棵树也是一棵二叉树;(D)既不是树也不是二叉树
(C)2.二叉树是非线性数据结构,所以。
(A)它不能用顺序存储结构存储;(B)它不能用链式存储结构存储;
(C)顺序存储结构和链式存储结构都能存储;(D)顺序存储结构和链式存储结
构都不能使用
(A、C)3. 〖01年计算机研题〗具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为。
(A) ?log2(n)?(B) ? log2(n)?(C) ? log2(n) ?+1(D) ?log2(n)+1?
注:?x?表示不小于x的最小整数;?x?表示不大于x的最大整数,它们与[ ]含义不同!
(A)4.把一棵树转换为二叉树后,这棵二叉树的形态是。
(A)唯一的(B)有多种
(C)有多种,但根结点都没有左孩子(D)有多种,但根结点都没有右孩子
5. 【94程P11】从供选择的答案中,选出应填入下面叙述?内的最确切的解答,把相应编号写在答卷的对应栏内。
树是结点的有限集合,它A 根结点,记为T。其余的结点分成为m(m≥0)个 B 的集合T1,T2,?,Tm,每个集合又都是树,此时结点T称为Ti的父结点,Ti称为T的子结点(1≤i≤m)。一个结点的子结点个数为该结点的 C 。 供选择的答案
A:①有0个或1个②有0个或多个③有且只有1个④有1个或1个以上 B: ①互不相交 ②允许相交③允许叶结点相交④允许树枝结点相交 C:①权 ②维数③次数④序 答案:ABC=1,1,3
6. 【95程P13】从供选择的答案中,选出应填入下面叙述?内的最确切的解答,把相应编号写在答卷的对应栏内。
二叉树 A 。在完全的二叉树中,若一个结点没有 B ,则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里,一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的 C ,而N的右子女是它在原树里对应结点的 D 。 供选择的答案 A:①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④有是只有二个根结点的树形结构 B: ①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点④兄弟
C~D:①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟 ⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟 答案:A= B= C= D= 答案:ABCDE=2,1,1,3
C的结点类型定义如下:
struct node
{char data; 四、简答题(每小题4分,共20分)
struct node *lchild, rchild; 1. 【严题集6.2①】一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别?
}; 答:度为2的树从形式上看与二叉树很相似,但它的子树是无序的,
而二叉树是有序的。即,在一般树中若某结点只有一个孩子,就无
C算法如下: 需区分其左右次序,而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。
void traversal(struct node *root)
{if (root) 2.〖01年计算机研题〗设如下图所示的二叉树B的存储结构为二叉
{printf(“%c”, root->data); 链表,root为根指针,结点结构为:(lchild,data,rchild)。其中lchild,
traversal(root->lchild); printf(“%c”, root->data); traversal(root->rchild); } } rchild分别为指向左右孩子的指针,data为字符型,root为根指针,试回答下列问题: 1. 对下列二叉树B,执行下列算法traversal(root),试指出其输出结果; 2. 假定二叉树B共有n个结点,试分析算法traversal(root)的时间复杂度。(共8分) A B D 二叉树B C F G E
解:这是“先根再左再根再右”,比前序遍历多打印各结点一次,输出结果为:A BC CE E B A D F F D G G
特点:①每个结点肯定都会被打印两次;②但出现的顺序不同,其规律是:凡是有左子树的结点,必间隔左子树的全部结点后再重复出现;如A,B,D等结点。反之马上就会重复出现。如C,E,F,G等结点。
3. 〖01年计算机研题〗【严题集6.27③】给定二叉树的两种遍历序列,分别是:
前序遍历序列:D,A,C,E,B,H,F,G,I;中序遍历序列:D,C,B,E,H,A,G,I,F,
试画出二叉树B,并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。
解:方法是:由前序先确定root,由中序可确定root的左、右子树。然后由其左子树的元素集合和右
子树的集合对应前序遍历序列中的元素集合,可继续确定root的左右孩子。将他们分别作为新的root,不断递归,则所有元素都将被唯一确定,问题得解。
D A
C F E G B H I
4.【计算机研2000】给定如图所示二叉树T,请画出与其对应的中序线索二叉树。
28 28 25 33 25 33 40 60 08 54 55 40 60 08 54 55 解:要遵循中序遍历的轨迹来画出每个前驱和
后继。
中序遍历序列:55 40 25 60 28 08 33 54
N5423N6054 2
五、阅读分析题(每题5分,共20分)
1. (P60 4-26)试写出如图所示的二叉树分别按先序、中序、后序遍历时得到的结点序列。
答:DLR:ABDFJGKCEHILM LDR: BFJDGKACHELIM LRD:JFKGDBHLMIECA
2. (P60 4-27)把如图所示的树转化成二叉树。
答:注意全部兄弟之间都要连线(包括度=2的兄弟),并注意原有连线结点一律归入左子树,新添连线结点一律归入右子树。 A B
E C
K F H D L G I
M J
BiTreeInSucc(BiTree q){ 答:这是找结点后继的程序。 //已知q是指向中序线索二叉树上某个结点的指针, 共有3处错误。 //本函数返回指向*q的后继的指针。 注:当rtag=1时说明内装后继指针,可r=q->rchild; 直接返回,第一句无错。 if(!q->rtag)//若q内装右孩子,r不一定为后继结点,当rtag=0时说明内装右孩子指针,但孩需要找到中序遍历q的右子树时第一个访问的结点 子未必是后继,需要计算。中序遍历应当while(!r->rtag)r=r->rchild; 先左再根再右,所以应当找左子树直到叶return r; // 子处。r=r->lchild; 直到LTag=1; }//ISucc 应改为:while(!r->Ltag)r=r->Lchild; 3.【严题集6.17③】阅读下列算法,若有错,改正之。
4.【严题集6.21②】画出和下列二叉树相应的森林。
答案:注意根右边的子树肯定是森林, 而孩子结点的右子树均为兄弟。
六、算法设计题(前5题中任选2题,第6题必做,每题8分,共24分)
1.【严题集6.42③】编写递归算法,计算二叉树中叶子结点的数目。
解:思路:输出叶子结点比较简单,用任何一种遍历递归算法,凡是左右指针均空者,则为叶子,将其打印出来。可作为实验二内容。 核心部分为:
DLR(liuyu *root) /*中序遍历递归函数*/ {if(root!=NULL)
{if((root->lchild==NULL)&&(root->rchild==NULL)){sum++; printf(\ DLR(root->lchild); DLR(root->rchild); } return(0); }
法二:
intLeafCount_BiTree(Bitree T)//求二叉树中叶子结点的数目 {
if(!T) return 0; //空树没有叶子
else if(!T->lchild&&!T->rchild) return 1; //叶子结点
else return Leaf_Count(T->lchild)+Leaf_Count(T->rchild);//左子树的叶子数加 上右子树的叶子数 }//LeafCount_BiTree
但上机时要先建树!
① 打印叶子结点值(并求总数)
思路:先建树,再从遍历过程中打印结点值并统计。
步骤1 键盘输入序列12,8,17,11,16,2,13,9,21,4,构成一棵二叉排序树。叶子
结点值应该是4,9,13,21,总数应该是4. 12
7 17 2 11 16 21 4 9 13
编程:生成二叉树排序树之后,再中序遍历排序查找结点的完整程序如下: 说明部分为: #include
typedefstructliuyu{intdata;structliuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root;
int sum=0;int m=sizeof(test);
void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树?参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s; s=(test*)malloc(m); s->data=x;
s->lchild=NULL; s->rchild=NULL;
if(!root){root=s; return;} p=root;
while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p;
if(p->data==x){printf(\else if(x
if(x
DLR(liuyu *root) /*中序遍历递归函数*/ {if(root!=NULL)
{if((root->lchild==NULL)&&(root->rchild==NULL)){sum++; printf(\ DLR(root->lchild); DLR(root->rchild); } return(0); }
main() /*先生成二叉排序树,再调用中序遍历递归函数进行排序输出*/ {inti,x; i=1;
root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf(\
i++;
scanf(\ /*从键盘采集数据,以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){ DLR(root);
printf(\ return(0); }
else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return(0);} 执行结果:
若一开始运行就输入-9999,则无叶子输出,sum=0。
2.【全国专升本统考题】写出求二叉树深度的算法,先定义二叉树的抽象数据类型。(10分) 或【严题集6.44④】编写递归算法,求二叉树中以元素值为x的结点为根的子树的深度。 答;设计思路:只查后继链表指针,若左或右孩子的左或右指针非空,则层次数加1;否则函数返回。
但注意,递归时应当从叶子开始向上计数,否则不易确定层数。 int depth(liuyu*root) /*统计层数*/
{intd,p; /*注意每一层的局部变量d,p都是各自独立的*/ p=0;
if(root==NULL)return(p); /*找到叶子之后才开始统计*/ else{
d=depth(root->lchild);
if(d>p) p=d; /*向上回朔时,要挑出左右子树中的相对大的那个深度值*/ d=depth(root->rchild); if(d>p)p=d; }
p=p+1; return(p); }
法二:
intGet_Sub_Depth(BitreeT,int x)//求二叉树中以值为x的结点为根的子树深度 {
if(T->data==x) {
printf(\找到了值为x的结点,求其深度 exit 1; } } else {
if(T->lchild) Get_Sub_Depth(T->lchild,x);
if(T->rchild) Get_Sub_Depth(T->rchild,x); //在左右子树中继续寻找 }
}//Get_Sub_Depth
intGet_Depth(Bitree T)//求子树深度的递归算法 {
if(!T) return 0; else {
m=Get_Depth(T->lchild); n=Get_Depth(T->rchild); return (m>n?m:n)+1; }
}//Get_Depth
附:上机调试过程
步骤1 键盘输入序列12,8,17,11,16,2,13,9,21,4,构成一棵二叉排序树。层数应当为4
12 817 2 11 16 21 4 9 13
步骤2:执行求深度的函数,并打印统计出来的深度值。 完整程序如下: #include
typedefstructliuyu{intdata;structliuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root;
int sum=0;int m=sizeof(test);
void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树?参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s;
s=(test*)malloc(m); s->data=x;
s->lchild=NULL; s->rchild=NULL;
if(!root){root=s; return;} p=root;
while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p;
if(p->data==x){printf(\else if(x
if(x
int depth(liuyu*root) /*统计深度*/
{intd,p; /*注意每一层的局部变量d,p都是各自独立的*/ p=0;
if(root==NULL)return(p); /*找到叶子之后才开始统计*/ else{
d=depth(root->lchild);
if(d>p) p=d; /*向上回朔时,要挑出左右子树中的相对大的那个深度值*/ d=depth(root->rchild); if(d>p)p=d; }
p=p+1; return(p); }
void main() /*先生成二叉排序树,再调用深度遍历递归函数进行统计并输出*/
{inti,x; i=1;
root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf(\i++;
scanf(\ /*从键盘采集数据,以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){
printf(\ else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return;} 执行结果:
3. 【严题集6.47④】编写按层次顺序(同一层自左至右)遍历二叉树的算法。 或:按层次输出二叉树中所有结点;
解:思路:既然要求从上到下,从左到右,则利用队列存放各子树结点的指针是个好办法。 这是一个循环算法,用while语句不断循环,直到队空之后自然退出该函数。
技巧之处:当根结点入队后,会自然使得左、右孩子结点入队,而左孩子出队时又会立即使得它的左右孩子结点入队,??以此产生了按层次输出的效果。 level(liuyu*T)
/* liuyu *T,*p,*q[100]; 假设max已知*/ {intf,r;
f=0; r=0; /*置空队*/ r=(r+1)%max;
q[r]=T; /*根结点进队*/ while(f!=r) /*队列不空*/ {f=(f+1%max);
p=q[f]; /*出队*/
printf(\ /*打印根结点*/
if(p->lchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->lchild;} /*若左子树不空,则左子树进队*/ if(p->rchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->rchild;} /*若右子树不空,则右子树进队*/ }
return(0); }
法二:
void LayerOrder(Bitree T)//层序遍历二叉树 {
InitQueue(Q); //建立工作队列
EnQueue(Q,T);
while(!QueueEmpty(Q)) {
DeQueue(Q,p); visit(p);
if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild);
if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild); }
}//LayerOrder
可以用前面的函数建树,然后调用这个函数来输出。
完整程序如下(已上机通过) #include
typedefstructliuyu{intdata;structliuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root,*p,*q[max];
int sum=0;int m=sizeof(test);
void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树?参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s; s=(test*)malloc(m); s->data=x;
s->lchild=NULL; s->rchild=NULL;
if(!root){root=s; return;} p=root;
while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p;
if(p->data==x){printf(\else if(x
if(x
level(liuyu*T)
/* liuyu *T,*p,*q[100]; 假设max已知*/ {intf,r;
f=0; r=0; /*置空队*/ r=(r+1)%max;
q[r]=T; /*根结点进队*/ while(f!=r) /*队列不空*/ {f=(f+1%max);
p=q[f]; /*出队*/
printf(\ /*打印根结点*/
if(p->lchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->lchild;} /*若左子树不空,则左子树进队*/
if(p->rchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->rchild;} /*若右子树不空,则右子树进队*/ }
return(0); }
void main() /*先生成二叉排序树,再调用深度遍历递归函数进行统计并输出*/
{inti,x; i=1;
root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf(\i++;
scanf(\ /*从键盘采集数据,以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){
printf(\
else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return;}
4. (P60 4-25)已知一棵具有n个结点的完全二叉树被顺序存储于一维数组A中,试编写一个算法打印出编号为i的结点的双亲和所有的孩子。
答:结点i的左孩子为2i,右孩子为2i+1; 用循环算法打印即可。 由于是完全二叉树,不必担心中途会出现孩子为null的情况。
5.【严题集6.49④】编写算法判别给定二叉树是否为完全二叉树。
答:intIsFull_Bitree(Bitree T)//判断二叉树是否完全二叉树,是则返回1,否则返回0 {
InitQueue(Q); flag=0;
EnQueue(Q,T); //建立工作队列 while(!QueueEmpty(Q)) { {
DeQueue(Q,p); if(!p) flag=1;
else if(flag) return 0; else {
EnQueue(Q,p->lchild);
EnQueue(Q,p->rchild); //不管孩子是否为空,都入队列
} }//while return 1; }//IsFull_Bitree
分析:该问题可以通过层序遍历的方法来解决.与6.47相比,作了一个修改,不管当前结点 是否有左右孩子,都入队列.这样当树为完全二叉树时,遍历时得到是一个连续的不包含空 指针的序列.反之,则序列中会含有空指针.
6. 【严题集6.26③】假设用于通信的电文仅由8个字母组成,字母在电文中出现的频率分
别为0.07,0.19,0.02,0.06,0.32,0.03,0.21,0.10。试为这8个字母设计哈夫曼编码。使用0~7的二进制表示形式是另一种编码方案。对于上述实例,比较两种方案的优缺点。
解:方案1;哈夫曼编码
先将概率放大100倍,以方便构造哈夫曼树。 w={7,19,2,6,32,3,21,10},按哈夫曼规则:【[(2,3),6], (7,10)】,??19,21,32
(100)
0 1 (40)(60)
0 1 0 1 19 21 32 (28)
19 21 32 (17) (11)
0 1 7 10 6 (5)
0 1 0 1 2 3 7 10 6 0 1
2 3
方案比较:
字母编号 对应编码 出现频率 字母编号 对应编码 出现频率 1 1100 0.07 1 000 0.07 2 00 0.19 2 001 0.19 3 11110 0.02 3 010 0.02 4 1110 0.06 4 011 0.06
10 0.32 5 100 0.32 5 11111 0.03 6 101 0.03 6 7 110 0.21
方案1的WPL=2(0.19+0.32+0.21)+4(0.07+0.06+0.10)+5(0.02+0.03)=1.44+0.92+0.25=2.61 方案2的WPL=3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3 结论:哈夫曼编码优于等长二进制编码
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