2022年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课时作业 新

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实用文档 2021年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时作业 新人

教A 版必修4

课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期性及奇偶性．

1．函数的周期性

(1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的

____________时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__________________．

2．正弦函数、余弦函数的周期性

由sin(x ＋2k π)＝________，cos(x ＋2k π)＝________知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．

3．正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数y ＝

sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是______，定义域关于________对称．

(2)由sin(－x )＝________知正弦函数y ＝sin x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．

(3)由cos(－x )＝________知余弦函数y ＝cos x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．

一、选择题

1．函数f (x )＝3sin(x 2－π4

)，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2

B ．π C．2π D ．4π 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)的最小正周期为π5

，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20

3．设函数f (x )＝sin ?

????2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )

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实用文档 A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为π2

的奇函数 D ．最小正周期为π2

的偶函数 4．下列函数中，不是周期函数的是( )

A ．y ＝|cos x |

B ．y ＝cos|x |

C ．y ＝|sin x |

D ．y ＝sin|x |

5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈??????－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ? ??

??－5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32

6．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( )

A.π

B ．π C．2π D．4π 7．函数f (x )＝sin(2πx ＋π4

)的最小正周期是________． 8．函数y ＝sin ?

????ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝______. 9．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是______________． 10．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：

①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；

②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；

③存在φ，使f (x )是奇函数；

④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．

其中的假命题的序号是________．

三、解答题

11．判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝cos ? ??

??π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；

(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e

－sin x .

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12．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52

π，3π]时f (x )的解析式．

能力提升

13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．

14．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．

1．求函数的最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .

(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.

(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )

的周期T ＝2πω

. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

答案

精品文档 实用文档 知识梳理 1．(1)非零常数T 每一个值 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小正周期

2．sin x cos x 周期 2k π (k ∈Z 且k ≠0) 2π

3．(1)R 原点 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y 轴

作业设计

1．D 2.B

3．B [∵sin ? ????2x －π2＝－sin ? ??

??π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .

又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，

∴f (x )的最小正周期为π的偶函数．]

4．D [画出y ＝sin|x |的图象，易知．]

5．D [f ? ????－5π3＝f ? ????π3＝－f ? ????－π3＝－sin ? ??

??－π3＝sin π3＝32.] 6．B [cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )．

∴T ＝π.]

7．1

8．±3

解析 2π|ω|＝2π3

，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 9．f (x )＝sin|x |

解析 当x <0时，－x >0，

f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，

∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x .

∴f (x )＝sin|x |，x ∈R .

10．①④

解析 易知②③成立，令φ＝π2

，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立． 11．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ? ??

??π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )．

∴y ＝f (x )是奇函数．

(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，

∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.

∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 定义域为R .

∵f (－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x ＝1＋sin x ＋1－sin x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数．

(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，

∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .

∴定义域关于原点对称．

又∵f (－x )＝e sin －x ＋e －sin －x e sin －x －e －sin －x ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －e

sin x ＝－f (x )， ∴该函数是奇函数．

12．解 x ∈[52π，3π]时，3π－x ∈[0，π2

]， ∵x ∈[0，π2

]时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .

又∵f (x )是以π为周期的偶函数，

∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，

精品文档 实用文档 ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52

π，3π]． 13.1992

π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，

则y 在[0,1]上至少含49 34

个周期， 即????? 49 34T ≤1T ＝2πω，解得ω≥1992

π. 14．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，

若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾，

∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0.

∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )

＝ln(1＋sin 2x －sin x )

＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1

＝－ln(sin x ＋1＋sin 2 x )＝－f (x )，

∴f (x )为奇函数．32352 7E60 繠25293 62CD 拍{124485 5FA5 徥E

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