方波信号的分解与合成

实验四 方波信号的分解与合成

任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波迭加而成的。1822年法国数学家傅里叶在研究热传导理论时提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。奠定了傅里叶级数的理论基础、揭示了周期信号的本质，即任何周期信号（正弦信号除外）都可以看作是由无数不同频率、不同幅度的正弦波信号叠加而成的，就像物质都是由分子或者原子构成一样。周期信号的基本单元信号是正弦谐波信号。

一、实验目的

1、通过对周期方波信号进行分解，验证周期信号可以展开成正弦无穷级数的基本原理，了解周期方波信号的组成原理。

2、测量各次谐波的频率与幅度，分析方波信号的频谱。 3、观察基波与不同谐波合成时的变化规律。

4、通过方波信号合成的实验，了解数字通信中利用窄带通信系统传输数字信号（方波信号）的本质原理。

二、实验原理

1、一般周期信号的正弦傅里叶级数

按照傅里叶级数原理，任何周期信号在满足狄利克雷条件时都可以展开成如式2-3-1所示的无穷级数

?a0?A0? f(t)???ancos(n?t)??bnsin(n?t)???Ancos(n?t??n) （2-4-1）

2n?12n?1n?1其中Ancos(n?t??n)称为周期信号的n谐波分量，n次谐波的频率为周期信号频率的n倍，每一次的谐波的幅度随谐波次数的增加依次递减。当n?0时的谐波分量为

a0（直流分量）。当n?1时的谐波分量为A1cos(?t??1)（一次谐波或基2波分量直流分量）。

2、一般周期信号的有限次谐波合成及其方均误差

按照傅里叶级数的基本原理可知，周期信号的无穷级数展开中，各次谐波的频率按照基波信号的频率的整数倍依次递增，幅度值确随做谐波次数的增加依次递减，趋近于零。因此，从信号能量分布的角度来讲，周期信号的能量主要分布在频率较低的有限次谐波分量上。此原理在通信技术当中得到广泛应用，是通信技术的理论基础。

周期信号可以用其有限次谐波的合成来近似表示，当合成的谐波次数越多时，近似程度越高，可以用方均误差来定义这种近似程度，设傅里叶级数前有限项（N项）和为

Na0 SN(t)???[ancosn?t?bnsinn?t] （2-4-2）

2n?1用SN(t)近似表示f(t)所引起的误差函数为?N(t)?f(t)?SN(t) （2-4-3）

1方均误差可以定义为 EN??(t)?T2N?T02?N(t)dt （2-4-4）

通常，随着合成的谐波次数的增加，方均误差逐渐减小，可见合成波形与原波形之间的偏差越来越小。通常有限次谐波的合成波形如图5-15所示

图5-15 方波信号有限次谐波合成波形图

一个波峰时，表示合成谐波为一次谐波；两个波峰时，表示有至少两次谐波参与合成；三个波峰时，表示至少有三次谐波参与合成。 3、周期方波信号的傅里叶正弦级数

若方波信号如图5-16所示：

图5-16周期方波信号一

因为方波信号正好是奇谐对称信号。因此其傅里叶正弦级数为：

f(t)?11[sin?t?sin3?t???sinn?t??]，n?1,3,5,? （2-4-5） ?3n4若方波信号如图5-17所示：

图5-17 周期方波信号二

则信号变为偶函数，但仍为奇谐对称信号。因此其傅里叶正弦级数为：

f(t)?111[cos?t?cos3?t?cos5?t?cos7?t??],n?1,3,5? (2-4-6) ?35744、周期方波信号的分解与合成实验过程原理框图

图5-18 方波信号分解与合成实验过程原理框图

方波信号的分解与合成实验过程如图5-18所示，实验开始前，先打开信号发生器电路，同时利用示波器与频率计辅助观察，通过占空比调节将输出方波信号的占空比为50%，同时将信号频率调节为BPF1的中心频率（实际中一般为50或100Hz），将幅度调节到合适大小（例如峰峰值大小为8V、10V或者12V大小）。 输出方波信号经过各带通滤波器滤波后即可得到各次谐波分量，通过示波器与频率计即可观察到。最后讲各次谐波分量相加即可得到由有限次谐波分量合成的近似方波信号。

三、实验仪器或实验条件

函数信号发生器模块、频率计模块、方波信号分解模块（滤波器模块）以及方波信号合成模块（加法器模块）。

另外需要配套至少20M双踪示波器一台。

四、实验内容与实验方法

方波信号的分解与合成实验主要包含两部分内容：

1、对已知方波信号进行滤波分解，得到各次谐波分量，对各次谐波分量进行测量与观察，掌握其频率与幅度的变化规律，加深对傅立叶级数分解以及方波信号频谱规律的理解；

2、将傅里叶级数的基波与各次谐波进行合成，例如基波+1次谐波、基波+1次谐波+2次谐波、基波+1次谐波+2次谐波+3次谐波…。观察基波与不同谐波合成时的变化规律，了解各次谐波近似合成方波信号的规律。

五、数据记录与处理

1、对方波信号的分解过程须按照表5-8做好各波形及其参数记录

表5-8分解前后各波形特征参数记录表

波形 方波信号 一次谐波 幅度（V） 频率（Hz） 波形图 二次谐波 三次谐波 四次谐波 五次谐波 2、对波形合成须按照表5-9做好各次不同谐波合成后波形的波形变化记录

表5-9不同谐波合成后的波形记录表

谐波成分 一次谐波 一、二次谐波 一、二、三次谐波 一、二、三、四次谐波 一、二、三、四、五次谐波 峰-峰值（V） 合成波形图 六、实验注意事项

1、注意实验仪器设备的使用规范性与安全性；

2、注意细心观察实验现象，找出理论结论与实际实验结果的差异并分析存在差异的原因；

3、理论联系实际，弄清楚信号带宽与系统带宽的关系，思考数字通信系统中传输数字信号的本质？

七、思考题

1、在方波信号的分解中用到了带通滤波器，带通滤波器的中心频率必须满足什么条件？为什么必须满足这些条件？

2、分解过程中，按照傅立叶级数理论结论，偶次谐波是不存在的，可是利用示

波器观察实验电路中的偶次谐波输出时却存在一个不为零的信号输出，为什么？ 3、如果换用三角波或其他周期信号重做该实验，结果会怎么样？

4、在波形合成时，通常合成谐波有几次，则合成波形一个周期就会有几个波峰出现，为什么？

5、波形合成时，合成波形与理论上的合成波形会有较大的出入，为什么？

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