概率作业B

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随 机 数 学

（B）

标准化作业

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1． 10个人编号1，2，…，10且随意围一圆桌坐下，则有某一对持相邻号码的两个人正好座位相邻的概率是 ．

2．已知事件A和B满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?0.4，则P(B)? ． 3．已知P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?，则P(A324B)? ．

4. 在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6”的概率

5为 .

15．两个相互独立的事件A和B都不发生的概率是，且A发生B不发生和A不发生B9发生的概率相等，则P(A)? ．

6．在4重伯努利试验中，已知事件A至少出现一次的概率为0.5，则在一次试验中A出现的概率为 ．

二、选择题

1．下列等式不成立的是（ ） （A）A?ABAB．

（B）A?B?AB． （D）(A?B)B?A．

（C）(AB)(AB)??．

2. 设A,B,C是同一个实验的三个事件，则事件(AUB)(AUB)(AUB)可化简为（ ） （A）AUB．

（B）A?B． （C）AB．

（D）?．

3．已知事件A和B满足P(AB)?0，则（ ） （A）A和B相互独立． （C）AB未必为?．

（B）AB??．

（D）P(A)?0或P(B)?0．

4.在10件产品中有2件次品,依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回,则第二次取到次品的概率为( ) （A）

18116． （B）. （C）． （D）． 45455451

5．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张；设事件A为取到1或2，事件B为取到1或3，则事件A与B是（ ）

（A）互不相容．

（B）互为对立．

（C）相互独立． （D）互相包含．

6. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则重复进行试验直到第n次才取得成功的概率为（ ）

（A）p(1?p)n?1. （B）np(1?p)n?1. （C）(n?1)p(1?p)n?1. （D）(1?p)n?1. 三、计算题

1．将n只球随机地放入N?n?N?个盒子中，设每个盒子都可以容纳n只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率p1；（2）恰有m?m?n?只球放入某一个指定的盒子中的概率（3）n只球全部都放入某一个盒子中的概率p3． p2；

1112．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为,,，问三人

534中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

2

3．随机地向半圆0?y?2ax?x2(a?0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴夹角小于

4．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

3

?的概率. 4

5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．

四、证明题

1．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，证明事件A与B相互独立．

2．设事件A的概率P(A)?0，证明A与任意事件都相互独立．

4

第二次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格产品的概率为

pi?1i?1 ?i?1,2,3?，X表示3个零件中合格的个数，则P{X?2}? ．

2.设随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)??

0.8,1?x?3,??x?3.?1,则X的分布律为 ．

?2x,0?x?1,3．设随机变量X的概率密度为f(x)??用Y表示对X的3次独立重复观

0,其它,?1??察中事件?X??出现的次数，则P{Y?2}? ．

2??4．设随机变量X,Y服从同一分布，X的概率密度函数为

?32?x,0?x?2, f(x)??8?其它,?0,设A?{X?a}与B?{Y?a}相互独立，且P{AB}?3，则a? ． 45．设随机变量X服从二项分布B(2,p)，随机变量Y服从二项分布B(3,p)，若

5P{X?1}?，则P{Y?1}? ．

96. 设随机变量X服从N(2,?2)，且P?2?X?4??0.3,则P?X?0?? ． 7. 标准正态分布函数??1.96?? ． 二、选择题

1. 下面能够作为某个随机变量的分布律的是（ ）

5

23??135??1（A） ?. （B） ??. ?0.70.10.10.50.30.3?????0（C） ?1???212L11112()()L2323nL??. （D） 11n()L??23?2?1?112?()??223L1()3L2nL??. 1n()L??2?2. 设f(x)?sinx，要使f(x)?sinx能为某随机变量X的概率密度，则X的可能取值的区间是（ ）

331（A）[?,?]. （B）[?,2?]. （C）[0,?]. （D）[0,?].

2223．设F1(x)和F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）

32（A）a?,b??．

5512（C）a?,b?．

23

22（B）a?,b??．

3313（D）a?,b??．

224．已知连续型随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?F(x)??kx?b,0?x??,

?1,x??,?则参数 k和b分别为（ ）

（A）k?0,b?（C）k?1?．

（B）k?1?,b?0．

1． 2?1,b?0． 2?（D）k?0,b?5．设随机变量X的概率密度函数为

?4x3,0?x?1,f(x)??

0,其它,? 则使P{X?a}?P{X?a}成立的常数a?（ ）

（A）42．

（B）

1． 2 （C）1?142． （D）142．

6. 设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，且P?X?1??1，f(1)?1,则（ ） 2 6

（A）??1,?2?1. （B） ??1,?2?（C）??1,?2?12?.

1. （D） ??0,?2?1. 2?7．设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，则随着?2的增大，概率P{|X??|?0}（ ） （A）单调增大． （C）保持不变． 三、计算题

1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X表示取到的次品个数，写出X的分布律和分布函数．

2．设随机变量X的概率分布为

（B）单调减少． （D）增减性不定．

X P -2 0.10 -1 0.20 0 0.25 1 0.20 2 0.15 3 0.10 （1）求Y??2X的概率分布；（2）求Z?X2的概率分布．

7

3．设连续型随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??k(2?x),1?x?2,

?0,其它,?求：（1）k的值；（2）X的分布函数．

4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，求：P{2?X?3},P{|X|?2}，P{|X|?3}．

8

5．设连续型随机变量X的分布函数为

x??a,?0,?x?F(x)??A?Barcsin,?a?x?a,(a?0)

a?x?a,??1,?aa?求：（1）常数A、B．（2）随机变量X落在??,?内的概率．（3）X的概率密度函数．

?22?

6．已知随机变量X的概率密度为

?ax?b,f(x)???0,0?x<1,其 他,

1??11?5?且P?X???,求（1）常数a,b的值；（2）P??X??.

2?2?8?4?

9

7．已知随机变量X的概率密度为

1?xfX(x)?e,???x???,

2又设

??1,X?0,Y??

?1,X?0,?1??求：（1）Y的分布律；（2）计算P?Y??.

2??

8．已知随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0,f(x)??

0,x?0,?求：随机变量Y?X2的概率密度函数．

10

四、证明题

1. 设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，证明：Y?aX?b(a?0)仍然服从正态分布，并指出参数.

2. 设随机变量X服从参数为??2的指数分布，证明：Y?1?e?2X服从[0,1]上的均匀分布．

11

第三次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．设随机变量X与Y相互独立，具有相同的分布律，

X P

0 0.4 1 0.6 则max{X,Y}的分布律为 ．

2. 设随机变量（X,Y）的联合分布律为

?1,m?n,?P?X?m,Y?n???2m?1m,n?1,2,L，

??0,m?n,则关于X的边缘分布律为P?X?m??，关于Y的边缘分布律为P?Y?n??.

3．设有二维连续型随机变量（X,Y），则P(X?Y)? .

4．设随机变量X和Y相互独立，X在区间(0,2)上服从均匀分布，Y服从参数为??1的指数分布，则概率P{X?Y?1}? ．

5．若二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y)|x2?y2?R2}上服从均匀分布，则(X,Y)的

概率密度函数为 ．

2? . 6. 设随机变量(X,Y)~N(0,1,2,3,0)，则?1??27. 设随机变量X1,X2,LXn(n?1)相互独立，并且服从相同的分布，分布函数为F(x)，记随机变量X?max(X1,X2,L,Xn)，则X的分布函数FX(x)? ．

二、选择题

1. 关于随机事件?X?a,Y?b?与?X?a,Y?b?下列结论正确的是（ ） （A）为对立事件. （B）为互斥事件.

12

（C）为相互独立事件. （D）P?X?a,Y?b??P?X?a,Y?b?.

2．设二维随机变量(X,Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及直线y?2x?1所围成的三角形域，则(X,Y)的关于X的边缘概率密度为（ ）

?,2?8x?（A）．fX(x)????0,1??,0x?2其它.

?,4?8x?（B）．fX(x)????0,1??,0x?2其它.

1??4x?2,??x?0,（C）fX(x)?? 2?其它.?0,

1??4x?4,??x?0,（D）fX(x)?? 2?其它.?0,3．设平面区域G是由x轴，y轴以及直线x?y?1所围成的三角形域，二维随机变量2(X,Y)在G上服从均匀分布，则fX|Y(x|y)?（ ）(0?y?2)

y?2,0?x?1?,?2 （A）fX|Y(x|y)??2?y?0,其它.?y?2,0?x?1?,?2 （B）fX|Y(x|y)??1?y?0,其它.?y?1,0?x?1?,?2 （C）fX|Y(x|y)??2?y?0,其它.?y?1,0?x?1?,?2 （D）fX|Y(x|y)??1?y?0,其它.?4．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为

y?????F(x,y)?A??arctanx??B?arctan?

2??2??则常数A和B的值依次为（ ）

（A）?2和2?． （B）

1?和?4． （C）

1?和2?2． （D）

1?和?2．

5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是（ ）

13

（A）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度． （B）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度． （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数． （D）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．

6．如果(X,Y)是连续型随机变量，下列条件中不是X与Y相互独立的充分必要条件的是（ ），其中x,y为任意实数.

（A）P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y}. （B）F(x,y)?FX(x)FY(y).

（C）f(x,y)?fX(x)fY(y).

?2F(x,y)（D）?f(x,y).

?x?y7. 设随机变量X,Y相互独立，X服从N(0,1),Y服从N(1,1)，则( ) （A）P(X?Y?0)?0.5. （B）P(X?Y?1)?0.5. （C）P(X?Y?0)?0.5. （D）P(X?Y?1)?0.5. 三、计算题

1．设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布，并判断X和Y是否独立．

14

112. 设随机事件A、B满足P(A)?,P(BA)?P(AB)?,令

42?1,A 发生,?1,B 发生,X?? Y??

0，A不发生,0，B不发生,??求（1）(X,Y)的概率分布；（2）Z?X?Y的概率分布.

3．已知随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，求常数R，使得概率P{X2?Y2?R}?0.5．

15

4．已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?ke?(2x?y),x?0,y?0,f(x,y)??

0,其它.?（1）求系数k；（2）条件概率密度fXY(xy)；（3）判断X和Y是否相互独立；（4）计算概率P?X?2Y?1?；（5）求Z?min{X,Y}的密度函数fZ(z).

16

5. 设随机变量U在区间[?2,2]上服从均匀分布，令

??1X???1若U??1,??1 Y??若U??1,?1若U?1,

若U?1,求(X,Y)的联合分布律.

6．设(X,Y)的概率密度

求Z?2X?Y的概率密度.

f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,

?0,其 它.17

第四次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．设随机变量X的分布律为

X P -2 0.4 0 0.3 2 0.3 则E(X)? ，E(X2)? ，E(3X2?5)? ．

2．设随机变量X和Y相互独立，且D(X)??12和D(Y)??2都存在，则

2D(2X?3Y)? ．

3．设随机变量X的概率密度为

x?1?cos,0?x??, f(x)??22?其它.?0,对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于

?的次数，则E(Y2)? ． 34．设随机变量X~N(0,1),Y~?(4)，并且X与Y的相关系数为0.5，则有D(3X?2Y)? ．

5．对一批圆木的直径进行测量，设其服从[a,b]上的均匀分布，则圆木截面面积的数学期望为 ．

6．设随机变量X在[?1,2]上服从均匀分布，设随机变量

?1,?Y??0,??1,?X?0,X?0, X?0,则D(Y)? ．

7．设X服从[?1,1]上的均匀分布，则E(X4)? ，D(X3)? ． 二、选择题

1. 对于随机变量X，关于E(X)和E(X2)合适的值为（ ）

（A） 3,8. （B） 3，-8. （C） 3,10. （D） 3，-10.

18

2．设X是一随机变量，且E(X)??,D(X)??2（?,??0为常数），则对于任意常数C,必有（ ）

222（A）E??(X?C)???E(X)?C． 22（C）E??(X?C)???E??(X??)??．

22（B）E??(X?C)???E??(X??)??． 22（D）E??(X?C)???E??(X??)??．

3．设D(X)?2，则D(3X?2)?（ ） （A）16 ．

（B）18．

（C）20．

（D）8．

4．对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X和Y，如果E(XY)?E(X)E(Y)，则有（ ）

（A）D(XY)?D(X)D(Y)． （C）X和Y相互独立．

（B）D(X?Y)?D(X)?D(Y)． （D）X和Y不相互独立．

5．设E(X)??,D(X)??2?0，则为使E?a?bX??0,D(a?bX)?1，则a和b分别是（ ）

（A）a???1,b?． ??

（B）a????,b?． ??1（C）a???,b??．

（D）a??,b??．

6.若随机变量X与Y满足Y?1?（A）1．

X，且D(X)?2，则Cov(X,Y)?（ ） 2（B）2． （C）-1． （D）-2．

7. 已知二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X和Y的相关系数?XY?0是X和

Y相互独立的（ ）

（A）充分条件，但不是必要条件. （B）必要条件，但不是充分条件. （C）充分必要条件. （D）既不是充分也不是必要条件. 三、计算题

1．设随机变量X的概率密度为

0?x?2,?ax,?f(x)??cx?b,2?x?4,

?0,其它.?已知E(X)?2,P{1?X?3}?

3，求a,b,c的值． 419

2．设二维随机变量(X,Y) 的概率密度为

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2, f(x,y)??8?其 它,?0,求E(X),E(Y),cov(X,Y),?XY和D(X?Y)．

20

3．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 0 1 2 Y X 0 1 2 1 120 0 1 120 1 30 1 41 4（1）写出关于X、Y及XY的概率分布；（2）求X和Y的相关系数?XY.

4．在数轴上的区间[0,a]内任意独立地选取两点M与N，求线段MN长度的数学期望．

21

5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数X的数学期望．

6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N(?,1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T（元）与零件内径X的关系为

??1,X?10,?T??20,10?X?12,．

??5,X?12,?问平均内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大．

22

第五次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X?Y|?6}? ．

2．在每次试验中，事件A发生的可能性是0.5，则1000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率? ．

二、选择题

1．一射击运动员在一次射击中的环数X的概率分布如下：

X P 10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05 则在100次独立射击所得总环数介于900环与930环之间的概率是（ ） （A）0.8233．

（B）0.8230． ,Xn, （C）0.8228． （D）0.8234．

2．设随机变量X1,X2,相互独立，则根据列维—林德伯格中心极限定理，当n定充分大时，X1?X2?L?Xn近似服从正态分布，只要Xi(i?1,2,L)满足条件（ ）

（A）具有相同的数学期望和方差． （C）服从同一连续型分布． 三、计算题

1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．

23

（B）服从同一离散型分布． （D）服从同一指数分布．

2.设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数为?的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去.已知每个元件的进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.

3．一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977，（?)2(79.0?

.）

24

第六次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．已知从总体X中抽取一组样本容量为n(n?2)的样本值x1,x2,L,xn，频数ni表示样本值中有ni个xi，则样本均值x? ，样本方差s2? ，样本标准差s? ．

2．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，记随机变量X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，则当a? ，b? 时，统计量X服从?2分布，

其自由度为 ．

3．设总体X~B(m,p),X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本，样本均值为X，则E(X)? ，D(X)＝ ．

4．设Xi~N(?,??),i?1,2,L,n?1，是相互独立的，记

21n1n2Xn??Xi,Sn??(Xi?Xn),

ni?1n?1i?1则Y?nXn?1?Xn~ ．

n?1Sn5．设总体X的概率密度为

??e??x,f(x)???0,x?0, x?0,X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本，则X1,X2,L,Xn的联合概率密度

f(x1,x2,L,xn)? ．

二、选择题

1．设总体X~N(?,??),X1,X2,L,Xn是总体X的样本，X为样本均值，记

1nS??Xi?Xn?1i?121??221n,S??Xi?X,

ni?122?? 25

S32?1n2?Xi???,?n?1i?12S4?1n2?Xi???, ?ni?1则下列随机变量中服从自由度为n?1的t分布的是（ ）

（A）X??S1n?1． （B）X??S2n?1． （C）X??S3n?1． （D）X??S4n?1．

2．设总体X~N(?,?2),X1,X2L,Xn是来自总体X的简单随机样本，则?|X??|???P??u0.025??（ ） ????n?（A）0.025． （B）0.975． （C）0.95． （D）0.05．

3．设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1，则（ ） X2（A）Y~?2(n)． （B）Y~?2(n?1)． （C）Y~F(1,n)． （D）Y~F(n,1)． 4.设(X1,X2,L,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）

1n~t(n). （B）?(Xi?1)2~F(n,1). （A）4i?12/nX?11n~N(0,1). （D）?(Xi?1)2~?2(n). （C）4i?12/nX?15．设X~t(10)，若P{t(10)?1.8125}?0.05，则t0.95(10)?（ ） （A）-1.8125 ． （B）1.8125． （C）0.95． 三、计算题

1．从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．

26

（D）-0.95．

2．设X1,X2,L,X8是来自正态总体N(0,0.2)的样本，试求k，使P

??8i?1Xi2?k?0.95．

?3．设X1,X2,L,Xn是取自正态总体X~N(?,?2)的一个样本，样本均值为X，样本方差为S2，E(X),D(X),E(S2),D(S2).

27

4．设总体X的概率密度为

???2cos2x,0?x?,f(x)??4

?其它,?0,X1,X2,,Xn为总体X的样本，求样本容量n，使P{min(X1,X2,L,Xn)?15}?． 1216?

9X25.已知二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,1,2,3,0)，判断F?服从

4(Y?1)222的概率分布.

28

第七次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．设总体X服从参数为?的泊松分布，其中??0为未知，X1,X2,的样本，则?的矩体计量为$?＝ ．

2．设总体X在区间??,2?上服从均匀分布，??2为未知参数；从总体X中抽取样本$＝ ． X1,X2,L,Xn，则参数?的矩估计量为?,Xn为来自总体X3．设总体X~?(?),X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本，则未知参数?的最大似然估计

? ． 量为$4．该总体X~N(?,1)，一组样本值为-2，1，3，-2，则参数?的置信水平为0.95的置信区间为 ．

5．设总体 X~N(?,32)，要使未知参数?的置信水平为0.95的置信间的长度L?2，样本容量n至少为 ．

二、选择题

1．设总体X在区间?0,2a?上服从均匀分布，其中a?0未知，则a的无偏估计量为 （ ）

μ?1X?1X． （A）?11223

??1X?1X?1X． （B）?2123263??1X?2X?1X （D）?4124333??1X?1X?1X． （C）?3123423?2=2．设x1,x2,L,xn为总体X~N(?,?2)的样本观察值，则?2的最大似然似计值为?（ ）

1n2（A）??xi???．

ni?11n（C）?xi?xn?1i?1

k1n（B）?xi?x,k?1,2,L．

ni?1????2．

21n（D）?xi?x．

ni?1??3．设总体X~N(?,?2)，?与?2均未知，X1,X2,L,Xn为总体X的样本，则参数?的置信水平为1??的置信区间为（ ）

29

????（A）?X?u?2,X?u?2?．

nn??

???? （B）?X?t?2(n),X?t?2(n)?．

nn??D

）

SS??（C）?X?t?2(n?1),X?t?2(n?1)?． （

nn??SS??t?2(n),X?t?2(n)?． ?X?nn??4．设总体X~N(?,o2)，其中o2已知，则总体均值?的置信区间长度L与置信度1??的关系是（ ）

（A）当1??缩小时，L缩短． （C）当1??缩小时，L不变． 三、计算题

1．设总体X具有概率分布

（B）当1??缩小时，L增大． （D）以上说法都不对．

X P

1 2 2?(1??) 3 (1??)2 ?2 其中??0???1?是未知参数，已知来自总体X的样本值为1，2，1.求?的矩估计值和最大似然估计值．

30

2．设总体X的分布函数为

1???1?(),x?1,F(x;?)?? x?x?1.?0,其中参数??1是未知参数，又X1,X2,L,Xn为来自总体X的随机样本，（1）求X的概率密度函数f(x ; ?)；（2）求参数?的矩估计量；（3）求参数?的最大似然估计量.

31

四、证明题

1．设总体X的均值??E(X)及方差?2?D(X)?0都存在，?与?2均未知，X1,X2,L,Xn是X的样本，试证明不论总体X服从什么分布，样本方差

S2?

1n?Xi?Xn?1i?1??2都是总体方差?2?D(X)的无偏估计．

2．设X1,X2,X3是总体X的样本，E(X)??，D(X)??2存在，证明估计量

μ?2X?1X?1X, ???1X?1X?1X, ???3X?1X?1X ?112321233123366424555都是总体X的均值E(X)的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效．

32

33

第八次作业

院(系) 班级 学号 姓名

一、填空题

1．设总体X~N(?,?2),X1,X2,L,Xn是来自X的样本，记

1n1n2X??Xi,Q??Xi?Xni?1ni?1??，

2当?和?2未知时，则检验假设H0:???0所使用统计量是 ．

2．在假设检验中，对于给定的显著性水平?，则范第一类错误的概率为 ． 3．设总体X~N(?,?2)，?已知，给定显著性水平?，假设H0:?2??02,H1:?2??02的拒绝域为 ．

二、选择题

1．在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则（ ）为犯第二类错误 （A）H0为真，接受H1． （B）H0不真，接受H0． （C）H0为真，拒绝H1． （D）．H0不真，拒绝H0．

222)，检验假设H0:?12??2,H1:?12??2,??0.10，2．设总体X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2

从X中抽取容量n1?12的样本，从Y中抽取容量n2?10的样本，算得S12?118.4,S22?31.93，正确的检验方法与结论是（ ）

（A）用t检验法，临界值t0.05(17)?2.11，拒绝H0．

（B）用F检验法，临界值F0.05(11,9)?3.10,F0.95(11,9)?0.34，拒绝H0． （C）用F检验法，临界值F0.95(11,9)?0.34,F0.05(11,9)?3.10，接受H0． （D）用F检验法，临界值F0.01(11,9)?5.18,F0.99(11,9)?0.21，接受H0．

3．设总体X~N(?,?2)， ?2未知，假设H0:???0的拒绝域为?????，则备择假设H1为（ ）

（A）???0．

（B）???0．

34

（C）???0． （D）???0．

三、计算题

1．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X（单位kg）是一个随机变量，它服从正态分布N(?,?2)，当机器工作正常时，其均值为0.5kg，根据经验知标准差为0.015kg（保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为

0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

试在显著性水平??0.05下检验机器工作是否正常．

2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平??0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．

35

3．设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度（单位：kg/cm2）为

甲种零件：88, 87, 92, 90, 91， 乙种零件：89, 89, 90, 84, 88.

假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异（取??0.05）？

4．某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布N(?,?2)，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：

66,

43,

70,

65,

55,

56,

60,

72,

（1）总体均值??60，检验?2?82（取??0.05）； （2）总体均值?未知时，检验?2?82（取??0.05）．

36

综合练习一

一、填空题

1．袋中装有2红4白共6只乒乓球，从中任取2只，则取得1只红球1只白球的概率为 ．

1112．设A、B为两个随机事件，已知P(A)?,P(A|B)?,P(B|A)?，则

223P(AB)? ．

3．设随机变量X的概率分布为P{X?k}?a?a? ．

?kk!,(k?0,1,2,L),,??0常数，则

4．设随机变量X服从二项分布B(n,p),E(X?)n? ，p? ．

1.6D,X?()，1则分布参数

5．设随机变量X的数学期望E(X)??，方差D(X)??2，则由切比雪夫不等式有

P{|X??|?3?}? ．

6．设总体X~N(?,?2)，?2未知，X和S2分别是容量为n的样本均值和样本方差，则检验假设H0:???0使用的检验统计量 在H0成立的条件下服从t(n?1)．

二、选择题

1．设P(AB)?0，则（ ） （A）A和B互不相容． （C）P(A)?0或P(B)?0．

（B）A和B相互独立． （D）P(A?B)?P(A)．

2．设随机变量X~N(?,?2)，则随着?2增大，概率P{|X??|?0}（ ） （A）单调增大．

（B）单调减小． （C）保持不变．

（D）增减不变．

2)的容量3．设X是来自总体N(?1,?12)的容量为m的样本均值，Y是来自总体N(?2,?2为n的样本均值，两个总体相互独立，则下列结论正确的是（ ）

（A）X?Y~N(?1??2,（C）X?Y~N(?1??2,?12m???22n)． )．

（B）X?Y~N(?1??2,（D）X?Y~N(?1??2,?12m???22n)． )．

?12m?22n?12m?22n4．设总体X~N(?,?2)，?2已知，X1,X2,（A）标准正态分布． （C）?2分布．

,Xn是来自总体X的样本，欲求总体均

值的置信度为1??的置信区间，使用的样本函数服从（ ）

37

（B）t分布． （D）F分布．

三、解答下列各题

1．某仓库有十箱同样规格的产品，其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为

111，今从这十箱产品中任取一,,101220箱；再从中任取一件产品．（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率．

2．设随机变量X的概率密度为f(x)?Ae?|x|,(???x???)，求（1）常数A；（2）X的分布函数．

38

3．求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．

4．设总体X的概率密度为

?(??1)(x?1)?,1?x?2,f(x)??

0, 其它,?其中??0是未知参数，又X1,X2,L,Xn为取自总体X的简单随机样本，求?的矩估计量和最大似然估计量.

39

5．一电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0,F(x,y)??

0,其它,?问X和Y是否相互独立．

6．设随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?6xy2,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??

0,其它.?求：（1）关于X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；（2）求P?X?Y?.

40

7．设对某目标连续射击，直到命中n次为止，每次射击的命中率为p，求子弹消耗量

X的数学期望．

8.设二维随机变量（X,Y)在区域D??(x,y)0?x?1,0?y?1?上服从均匀分布，求

Z?X?Y的概率密度fZ(z).

41

综合练习二

一、填空题

1．设A与B是两个互不相容的随机事件，且P(A)?0.4P,B?()，0则P(A|B= ) ．

2．设随机变量X和Y的方差分别为D(X)?25,D(Y)?36，相关系数?XY?0.4，则D(X?Y)? ．

3．已知离散型随机变量X的分布函数为

?0,?0.1,??F(x)??0.4,?0.8,???1,x??2,?2?x?0,0?x?1, 1?x?3,x?3,则E(X)? ．

4．设总体X服从参数为?(??0)的泊松分布，样本均值x?2，则P{X?0}的最大似然估计值是 ．

5．设Xi(i?1,2,L,n)是来自总体X~N(?,?2)的容量为n的简单随机样本，方差?2已知，检验假设H0:???0,H1:???0，检验统计量为u?拒绝域为 ．

二、选择题

1．独立地投了3次篮球，每次投中的概率为0.3，则最可能投中的次数为（ ） （A）0．

（B）1．

（C）2．

（D）3． （D）0.8．

2．已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8，则P(A（A）0.5．

（B）0.6．

3．设X与Y均服从标准正态分布，则（ ） （A）E(X?Y)?0． （C）X?Y~N(0,1)． 4．设X1,X2,（B）E(X?Y)?2． （D）X与Y相互独立．

B)=（ ） X??0?/n~N(0,1)，在显著性水平?下，

（C）0.7．

,Xn为来自总体X的简单随机样本，X为样本均值，则总体方差的无

偏估计量为（ ）

1n（A）?Xi?Xni?1??2．

42

21n（B）??Xi?E(X)?（E(X)未知）．

ni?121n（D）． ?Xi?E(X)?（E(X)未知）?n?1i?11n（C）?Xi?Xn?1i?1??．

2

5．设?为总体X的未知参数，?1,?2为统计量，??1,?2?为?的置信度为1??(0???1)的置信区间，则应有（ ）

（A）P??1????2???． （C）P????2???．

（B）P????2??1??． （D）P??1????2??1??．

三、设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,F(x)?? ?x1?(1?x)e,x?0.?（1）求X的概率密度f(x)；（2）计算P?X?1?．

43

四、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

五、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?k?x(1?y),x?0,y?0,?xef(x,y)??2

?其 它.?0,求：（1）系数k；（2）边缘概率密度；（3）X和Y是否独立.

44

1n六、设X1,X2,L,Xn为来自正态总体N(?,?)的一组简单随机样本，记X??Xi，

ni?1221n1S?(Xi?X)2，统计量T?X?S2,证明T是?2的无偏估计量. ?n?1i?1n 2 45

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