北航理论力学sch4C

BUAA

习题： 习题：4-7、4-12、4-15 12、

变形体的虚位移原理 变形体的虚位移原理 质点系平衡的稳定性 质点系平衡的稳定性

2011-9-20

BUAAm 1 m 2

§4-6 虚位移原理F 2

三、变形体的虚位移原理F 1

F 1

m 1

m 2

F 2

F1 N

F2 N

F1 N

F2 N

外力 外力(external force):质点系外部的物体作用于质点系上的力 外力 ： 内力 内力(internal force):质点系内部的作用力 内力 ： 变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、 变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束 处于静止的质点系， 处于静止的质点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件 是，其所有外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作 其所有外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作 外力和内力 的虚功之和等于零。 的虚功之和等于零。2011-9-20 2

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§4-6 虚位移原理

例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧 机构如图所示，不计构件自重。 刚度为k, 弹簧无变形。 刚度为 ，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平 间的距离( 力F,求该机构处于平衡时，A和C间的距离(xC=?) ,求该机构处于平衡时， 和 间的距离 ？ y y B B

b

l

bC

θA

D

E

θFxA

FSD

lFS' EC

Fx

内力虚功： 内力虚功 δ W ( Fs ) = F s δ rD + F s' δ rE = F s δ x D F s'δ x E = F s ( δ x E δ x D ) = Fsδ ( x E x D ) = Fsδλ2011-9-20 3

BUAAyB

§4-6 虚位移原理内力虚功： 内力虚功 δ W ( Fs ) = Fs δλ

b

xE xD = λ = 2b sin θ δλ = 2b cos θδθ

θA

FSD

lFS' EC

外力虚功： 外力虚功 δ W ( F ) = F δ x C

Fx

xC = 2l sin θ

δ xC = 2l cos θδθ

根据虚位移原理： δW = 0 ∑

当λ0 ≤ λ ≤ 2b b Fs = k (λ λ0 ) = k ( xC a) l 当：xC = a, λ = λ02011-9-20

( Fl Fs b)2 cos θδθ = 0 δθ ≠ 0

(F Fb) = 0; or cosθ = 0 l sF l xC1 = a + k b 2

xC 2 = 2l4

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§4-7 平衡的稳定性

平衡的稳定性 平衡的稳定性(stability of equilibrium):质点系处于某一 ：平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡 平衡位置， 位置邻近的某个微小区域， 位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是 稳定的(stable),否则是不稳定的 不稳定的(unstable)。 稳定的 ，否则是不稳定的 。

设 统 广 坐 为: (q1,L qn), 其 衡 置 : (q * L qn*) 系 的 义 标 , 平 位 为 1, ,

若 ε >0, δ1 >0,δ2 >0,使 : qi (t0) qi * ≤δ1, qi (t0) ≤δ2成 得 立 &当 ≥t0时 有 qi (t) qi * <ε 成 , t , 立 则 平 位 是 定 ， 则 不 定 称 衡 置 稳 的 否 是 稳 的2011-9-20 5

BUAA一、势力场及势能

§4-7 平衡的稳定性

力 场(force field):质点(系)所受力

完全由其所在 力 ：质点( 位置决定，这样的空间称为力场。 位置决定，这样的空间称为力场。 势力场 势力场(potential force field):场力所做的功与质点经 势力场 ： 过的路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场 过的路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场。

势 能(potential energy):质点从某一位置 到基准点 势 质点从某一位置AA0 ,有势力所做的功，称为质点在该位置的势能。基 有势力所做的功，称为质点在该位置的势能。 准点的势能为零。 准点的势能为零。 V ( x , y , z ) = W A → A02011-9-20 6

BUAA二、势力场的特性

§4-7 平衡的稳定性

设作用在质点上的有势力为： 设作用在质点上的有势力为 F = F i + F j + F k x y z 设质点的势能函数为： 设质点的势能函数为 V =V(x, y, z) 则有关系式

z M y

V V V F = ,F = ,F = x y z x y z举例说明： 举例说明：

V =m gzF = 0, F = 0, F = m g x y z7

O

mg

x2011-9-20

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§4-7 平衡的稳定性

三、质点系在势力场中的平衡条件设质点系中有n个质点 每个质点的势能为函数 可微)为 设质点系中有 个质点,每个质点的势能为函数 可微 为： 个质点 每个质点的势能为函数(可微

V =V (xi , yi , zi ) i iV , 质点系的总势能为: V = ∑ i (xi , yi , zi ) =V(x , y , z1,L xn, yn, zn) 质点系的总势能为 1 1n

V V V 有势力与势能函数的关系式: ix 有势力与势能函数的关系式 F = , F = , F = iy iz xi yi zi根据虚位移原理：: 根据虚位移原理：δW = ∑ F δxi + F δ i + F δ i ] = 0 [ ix iy y iz zn

i= 1

V V V δW = ∑ δxi + δyi + δzi ] = 0 [ x yi zi i= i 1n

i= 1

δ =0 V

平衡的充分必要条件： 平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能变分等于零2011-9-20 8

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§4-7 平衡的稳定性

, 若质点系的广义坐标为: 1 若质点系的广义坐标为 (q ,q2,L qn) , 质点系的总势能为: 质点系的总势能为 V =V(q ,q2,L qn) 1 V 质点系在平衡位置有: 质点系在平衡位置有 δV = ∑ δqi = 0 (*) i= i 1 qn

对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移(变分) 对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移(变分)是独立的

V = 0 (i =1L n) , , (*)式成立的充分必要条件： 式成立的充分必要条件： 式成立的充分必要条件 qi平衡的充分必要条件： 平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能取驻定值

V dV(q ,q2,L qn) = ∑ dqi = 0,该 成 的 称 驻 。 , 式 立 点 为 点 1 i= i 1 qn

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§4-7 平衡的稳定性

质点系在势力场中平衡的充分必要条件是： 质点系在势力场中平衡的充分必要条件是： V = 0,( j =1L k) , , qj

A

B

C

注意：质点系势能函数

取得驻值是平衡的充分必要条件， 注意：质点系势能函数取得驻值是平衡的充分必要条件，但 是平衡并不一定稳定。 是平衡并不一定稳定。

V(x) = m 2 gx V(x) = m 3 gx2011-9-20

x=0是平衡位置且是稳定的 是平衡位置且是稳定的 x=0是平衡位置且是不稳定的 是平衡位置且是不稳定的10

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§4-7 平衡的稳定性

四、质点系在势力场中平衡的稳定性定理： 定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要 条件是系统在平衡位置的势能为极小值 系统在平衡位置的势能为极小值。 条件是系统在平衡位置的势能为极小值。 质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤： 质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤： 1、给出系统的势能函数 、 2、确定系统的平衡位置 、 3、讨论平衡位置的稳定性 、2011-9-20 11

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§4-7 平衡的稳定性

杆长为L(不计质量 例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为 不计质量 ，当 系统如图所示，滑块的质量为 杆长为 不计质量), 杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性 杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。 解：取 θ =0 为系统的零势位 1 1 2 2 2 2 k2 V = k1 L sin θ + k 2 L (1 cos θ ) mgL (1 cos θ ) 2 2 dV dV = [( k1 k 2 ) L2 cos θ + k 2 L2 mgL ] sin θ = 0 dθ L k2L m g m θ g 平 位 sinθ = 0 or cosθ = 衡 置 (k2 k1)L 2 dV = (k1 k2 ) L2 cos 2θ + (k2 L2 mgL) cosθ dθ 2 k1 d 2V 若： 2 > 0 平衡位置是稳定的。 平衡位置是稳定的。 k1 ≠ k2 dθ2011-9-20 12

BUAA讨论平衡位 置的稳定性： 置的稳定性：

§4-7 平衡的稳定性dV = [( k1 k 2 ) L2 cos θ + ( k 2 L mg ) L ] sin θ = 0 dθ d 2V = (k1 k2 ) L2 cos 2θ + (k2 L mg ) L cosθ dθ 2

k2L

当：1 = k 2 , k 2 L > mg时, k

θ=0,为稳定的平衡位置。

当：1 = k2 , k2 L < mg时， kθ=0,为不稳定的平衡位置 。当：1 = k 2 , k 2 L = mg时， k

m θ g

k12011-9-20

θ 取任意值时均为平衡。13

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§4-7 平衡的稳定性

思考题：分析钢丝在杯口平衡位置的稳定性 思考题：分析钢丝在杯口平衡位置的稳定性。

思考题：分双轮车是如何平衡的。 思考题：分双轮车是如何平衡的。2011-9-20 14

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§4-7 平衡的稳定性

2011-9-20

BUAA450

问题讨论

问题: 端的约束力偶与主动力 的作用点和主动力偶M是否有关 端的约束力偶与主动力F的作用点和主动力偶 问题 A端的约束力偶与主动力 的作用点和主动力偶 是否有关

F

ME C D

450

F

ME C

D

MAFAxA450

MAB a A450

B a16

FAy2011-9-20

a

F B

a

BUAA

问题讨论

问题：板用销钉约束在滑道内，若在图示位置给 点一个虚位 问题：板用销钉约束在滑道内，若在图示位置

给A点一个虚位 点的虚位移与A点虚位移的关系 移 δ A,确定板上 点的虚位移与 点虚位移的关系，并指出 r 确定板上B点的虚位移与 点虚位移的关系， 在图示位置，板上哪点的虚位移为零？ 在图示位置，板上哪点的虚位移为零？

微小位移投影定理的推论： 微小位移投影定理的推论： 若刚体上两点微小位移A

不平行， 不平行，则微小位移垂线 的交点的微小位移为零。 的交点的微小位移为零。 θB

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问题讨论

问题：长为 的均质杆 的均质杆， 端靠在铅垂的墙壁上 端靠在铅垂的墙壁上， 端被 端被y=f(x)的 问题：长为L的均质杆，A端靠在铅垂的墙壁上，B端被 的 固定曲线支承， 内平衡，求曲线的形状。 固定曲线支承，若杆可以在 0<θ <π / 2内平衡，求曲线的形状。 yA

解： Q m δr = 0 g C 质心始终在同一水平线上

θm gB

xB + yB L/ 2 =1 L L/ 2 2

xB = Lsinθ L yB = (1 cosθ) 2 2

x

L 0< xB < L, 0 < yB < 218

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BUAA

问题讨论

问题：结构及其受力如图所示， 问题：结构及其受力如图所示，如何用刚体系平衡 的方法(写平衡方程) 端的约束力偶。 的方法(写平衡方程)求解 A 端的约束力偶。

aD

aF1

aC 要求： 要求：

MA B

用最少的平衡方程求解

问题： 的约束力？ 问题：如何求铰链 C 的约束力？

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F2

BUAAD

问题讨论

问题：结构由均质杆构成，其受力如图所示， 问题：结构由均质杆构成，其受力如图所示，用什么方法求 解弹簧力。已知主动力、几何尺寸、弹簧刚度。 解弹簧力。已知主动力、几何尺寸、弹簧刚度。

2a

aC

k

mg

2aA B

Mmg

a2011-9-20

mg

问题：定性分析弹簧受拉还是受压？ 问题：定性分析弹簧受拉还是受压？20

BUAAA a D a F'Gx G

问题讨论

思考题： 杆上的约束力 约束力。 思考题：已知 F,求 AG 杆上的约束力。 ,

F2a E a

B

研究整体 a H

∑ M O (F ) = 0 → F 'Gy ∑ Fx = 0 → F 'Gx该力是固定支座作 用在销钉G上的力 用在销钉 上的力 A F

C

F'Gy

O

FDyF O问题：定性分析 问题：定性分析CG 杆 受拉还是受压？ 受拉还是受压？2011-9-20

FC G

Fy G

F'Gx

D

Fx D

F x F' G G y

Fy GG

Fx G21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p5f1.html