功能关系能量守恒定律

第3课时 功能关系 能量守恒定律

考纲解读 1.知道功是能量转化的量度，掌握重力的功、弹力的功、合力的功与对应的能量转化关系.2.知道自然界中的能量转化，理解能量守恒定律，并能用来分析有关问题．

考点一 功能关系的应用力学中几种常见的功能关系 功 合外力做正功 重力做正功 弹簧弹力做正功 电场力做正功 其他力(除重力、弹力外)做正功 能量的变化 动能增加 重力势能减少 弹性势能减少 电势能减少 机械能增加 例1 如图1所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中( )

图1

A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh

B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和 C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和

D．物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和

解析 由于斜面光滑，物块A静止时弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，当整个装置加速上升时，由牛顿第二定律可知物块A受到的合力应向上，故弹簧伸长量增加，物块A相对斜面下滑一段距离，故选项A错误；根据动能定理可知，物块A动能的增加量应等于重力、支持力及弹簧弹力对其做功的代数和，故选项B错误；物块A机械能的增加量应等于除重力以外的其他力对其做功的代数和，选项C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量应等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功的代数和，故选项D正确．

答案 CD 变式题组

1. [功能关系的应用]如图2所示，物体A的质量为m，置于水平地面上，A的上端连一轻弹簧，原长为L，劲度系数为k.现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，使B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )

图2

A．提弹簧的力对系统做功为mgL B．物体A的重力势能增加mgL C．系统增加的机械能小于mgL D．以上说法都不正确 答案 C

2. [功能关系的应用]如图3所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g.物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )

图3

A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH C．机械能损失了mgH

1

D．机械能损失了mgH

2答案 AC

解析 分析小物块沿斜面上滑，根据题述可知，物块所受滑动摩擦力Ff＝0.5mg，由动能定

FfHFfH

理，动能损失了＋mgH＝2mgH，选项A正确，B错误．由功能关系，机械能损失

sin 30°sin 30°＝mgH，选项C正确，D错误．

对各种功能关系熟记于心，力学范围内，应牢固掌握以下三条功能关系： (1)重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化； (2)合外力做的功等于动能的变化；

(3)除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．

考点二 摩擦力做功的特点及应用

1．静摩擦力做功的特点

(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．

(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 2．滑动摩擦力做功的特点

(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．

(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能；

②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．

(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移． 深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．

例2 如图4所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切．一质量m＝1 kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下，A点距离长木板上表面高度h＝0.6 m．滑块在木板上滑行t＝1 s后，和木板一起以速度v＝1 m/s做匀速运动，取g＝10 m/s2.求：

图4

(1)滑块与木板间的摩擦力；

(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功； (3)滑块相对木板滑行的距离． 解析 (1)对木板受力分析Ff＝Ma1 由运动学公式，有v＝a1t 解得Ff＝2 N.

(2)对滑块受力分析－Ff＝ma2 设滑块滑上木板时的初速度为v0 由公式v－v0＝a2t 解得v0＝3 m/s

滑块沿弧面下滑的过程，由动能定理得

1

mgh－Wf＝mv2

201

Wf＝mgh－mv2＝1.5 J.

20

1

(3)t＝1 s内木板的位移x1＝a1t2

2此过程中滑块的位移

1

x2＝v0t＋a2t2

2故滑块相对木板滑行距离 L＝x2－x1＝1.5 m.

答案 (1)2 N (2)1.5 J (3)1.5 m 变式题组

3. [摩擦力做功的理解]如图5所示，足够长的传送带以恒定速率顺时针运行．将一个物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到达传送带顶端．下列说法中正确的是( )

图5

A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功 B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量 C．第一阶段物体和传送带间的摩擦生热等于第一阶段物体机械能的增加量

D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量等于全过程物体与传送带间的摩擦生热 答案 C

解析 第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体仍做正功，选项A错误；第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量和重力势能的增加量，选项B错误；第一阶段物体和传送带间的摩擦生热等于第一阶段物体机械能的增加量，选项C正确；物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程物体与传送带间的摩擦生热，选项

D错误．

4．[摩擦力做功的应用]如图6所示，木块A放在木块B的左端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，生热为Q1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，仍将A拉到B的右端，这次F做功为W2，生热为Q2.则应有( )

图6

A．W1＜W2，Q1＝Q2 B．W1＝W2，Q1＝Q2 C．W1＜W2，Q1＜Q2 D．W1＝W2，Q1＜Q2 答案 A

解析 拉力F做的功由公式W＝Flcos α求得，其中l是物体对地的位移，所以W1＜W2，滑动摩擦力做功过程中产生的内能等于系统克服摩擦力做的功，即ΔE＝Q＝Ffl

对表示物体之间的相对位移，在这里是

相对，其中

l相

B的长度，所以Q1＝Q2.

求解相对滑动物体的能量问题的方法 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析．

(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系． (3)公式Q＝Ff·x

相对中

x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，

则x相对为总的相对路程．

考点三 能量守恒定律及应用

1．内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变． 2．表达式 ΔE减＝ΔE增． 3．基本思路

(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．

例3 如图7所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字)

图7

(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能Epm.

解析 (1)物体从开始位置A点运动到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和

1

重力势能减少，机械能的减少量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv2＋mglADsin 37°①

20物体克服摩擦力产生的热量为Q＝Ffx② 其中x为物体运动的路程，即x＝5.4 m③ Ff＝μmgcos 37°④

由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤ 由①②③④⑤式解得μ≈0.52.

1(2)由A到C的过程中，动能减少ΔEk＝mv2⑥

20重力势能减少ΔEp′＝mglACsin 37°⑦ 摩擦生热Q′＝FflAC＝μmgcos 37°lAC⑧ 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 ΔEpm＝ΔEk＋ΔEp′－Q′⑨ 联立⑥⑦⑧⑨解得ΔEpm≈24.46 J. 答案 (1)0.52 (2)24.46 J 变式题组

5. [能量守恒定律的应用]如图8所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是( )

图8

A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能 B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量

C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和 D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量 答案 CD

解析 物体B以水平速度冲上木板A后，由于摩擦力作用，B减速运动，木板A加速运动，根据能量守恒定律，物体B动能的减少量等于木板A增加的动能和产生的热量之和，选项A错误；根据动能定理，物体B克服摩擦力做的功等于物体B损失的动能，选项B错误；由能量守恒定律可知，物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和，选项C正确；摩擦力对物体B做的功等于物体B动能的减少量，摩擦力对木板A做的功等于木板A动能的增加量，由能量守恒定律，摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量，选项D正确．

6. [能量守恒定律的应用]如图9所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点，此时弹簧处于自然长度．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g.

图9

(1)求物块滑到O点时的速度大小；

(2)求弹簧最大压缩量为d时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；

(3)当弹簧的最大压缩量为d时，若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少．

答案 (1)2gh (2)mgh－μmgd (3)h－2μd

1

解析 (1)由机械能守恒定律得mgh＝mv2，解得v＝2gh.

2(2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为W＝μmgd

1

由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd

2以上各式联立得Ep＝mgh－μmgd.

(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为W＝μmgd 由能量守恒定律得Ep＝μmgd＋mgh′

所以物块A能够上升的最大高度为h′＝h－2μd.

应用能量守恒定律解题的基本思路

(1)分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化． (2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．

(3)列出能量守恒关系式：ΔE减 ＝ΔE增．

考点四 传送带模型中的动力学和能量转化问题

1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个：

(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系． (2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解． 2．传送带模型问题中的功能关系分析 (1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. (2)对W和Q的理解： ①传送带做的功：W＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对． 传送带模型问题的分析流程

例4 如图10所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在传送带的底端，经过时间t＝1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2求：

图10

(1)工件与传送带间的动摩擦因数；

(2)电动机由于传送工件多消耗的电能．

h

解析 (1)由题图可知，传送带长x＝＝3 m.

sin θ假设工件在运动到最大高度之前已经开始做匀速运动．

v0

工件速度达到v0前，设工件运动的时间为t1，则匀加速运动的位移x1＝v t1＝t1

2匀速运动的位移为x－x1＝v0(t－t1)

解得加速运动的时间t1＝0.8 s，所以假设成立．

v0

加速度a＝＝2.5 m/s2

t1

由牛顿第二定律有：μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得μ＝

3. 2

(2)从能量守恒的观点来看，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能和势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量． 在时间t1内，传送带运动的位移x传＝v0t1＝1.6 m

v0

在t1时间内，工件运动的位移x1＝t1＝0.8 m

2

在时间t1内，工件相对传送带的位移x相对＝x传－x1＝0.8 m 在时间t1内，摩擦生热Q＝μmgcos θ·x相对＝60 J

1

工件获得的动能Ek＝mv2＝20 J

20工件增加的势能Ep＝mgh＝150 J

电动机多消耗的电能W＝Q＋Ek＋Ep＝230 J. 答案 (1)

3

(2)230 J 2

变式题组

7．[传送带模型中能量转化问题]如图11所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( )

图11

1A．电动机多做的功为mv2

2

v2

B．物体在传送带上的划痕长 μg1

C．传送带克服摩擦力做的功为mv2

2D．电动机增加的功率为μmgv 答案 D

v

解析 物体与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝t，传送带

2

1

做匀速运动，由运动学公式知x传＝vt，对物体根据动能定理μmgx物＝mv2，摩擦产生的热

21

量Q＝μmgx相对＝μmg(x传－x物)，四式联立得摩擦产生的热量Q＝mv2，根据能量守恒定律，

2电动机多做的功一部分转化为物体的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，

vvv2

A项错误；物体匀加速运动的时间t＝＝，物体在传送带上的划痕长等于x传－x物＝，

aμg2μgB项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．

8．[传送带模型中动力学和能量转化分析] 如图12所示，一质量为m＝1 kg的可视为质点的滑块，放在光滑的水平平台上，平台的左端与水平传送带相接，传送带以v＝2 m/s的速度沿顺时针方向匀速转动(传送带不打滑)，现将滑块缓慢向右压缩轻弹簧，轻弹簧的原长小于平台的长度，滑块静止时弹簧的弹性势能为Ep＝4.5 J，若突然释放滑块，滑块向左滑上传送带．已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带足够长，g＝10 m/s2.求：

图12

(1)滑块第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间； (2)滑块第一次滑上传送带到离开传送带由于摩擦产生的热量． 答案 (1)3.125 s (2)12.5 J

1

解析 (1)释放滑块的过程中机械能守恒，设滑块滑上传送带的速度为v1，则Ep＝mv2，得

21v1＝3 m/s

滑块在传送带上运动的加速度的大小a＝μg＝2 m/s2

v1

滑块向左运动的时间t1＝＝1.5 s

av21

向左运动的最大位移x1＝＝2.25 m

2av2

向右匀加速运动的位移x2＝＝1 m

2a

x1>x2，所以滑块在向右运动的过程中先向右匀加速运动，再同传送带一起向右匀速运动．

v

向右匀加速运动的时间t2＝＝1 s

ax1－x2

向右匀速运动的时间为t3＝v＝0.625 s 所以t＝t1＋t2＋t3＝3.125 s.

(2)滑块在传送带上向左运动x1的位移时，传送带向右运动的位移为x1′＝vt1＝3 m 则Δx1＝x1′＋x1＝5.25 m

滑块向右运动x2时，传送带向右运动的位移为x2′＝vt2＝2 m 则Δx2＝x2′－x2＝1 m Δx＝Δx1＋Δx2＝6.25 m

则产生的热量为Q＝μmg·Δx＝12.5 J．

高考模拟 明确考向

1．(2014·广东·16)图13是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )

图13

A．缓冲器的机械能守恒 B．摩擦力做功消耗机械能 C．垫板的动能全部转化为内能 D．弹簧的弹性势能全部转化为动能 答案 B

解析 由于车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中存在克服摩擦力做功，所以缓冲器的机械能减少，选项A错误，B正确；弹簧压缩的过程中，垫板的动能转化为内能和弹簧的弹性势能，选项C、D错误．

2．(2014·福建·18)如图14所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块( )

图14

A．最大速度相同 B．最大加速度相同 C．上升的最大高度不同 D．重力势能的变化量不同 答案 C

解析 当弹簧的弹力和物块重力沿斜面向下的分力大小相等时，物块的速度最大，由于两物块的质量不同，故两物块速度分别达到最大时，与质量大的物块接触的弹簧的形变量较小，根据能量守恒定律可知，质量大的物块的最大速度较小，选项A错误．刚撤去外力时，两

kx

物块的加速度最大，根据牛顿第二定律得kx－mgsin θ＝ma(θ为斜面倾角)，a＝－gsin θ，

m由于两物块的质量不同，故两物块的最大加速度不同，选项B错误．整个过程中，弹簧的弹性势能全部转化为物块的重力势能，由于两物块质量不同，故上升的最大高度不同，选项C正确．两物块重力势能的变化量等于弹簧弹性势能的减少量，故重力势能的变化量相同，选项D错误．

3．(2013·江苏·9)如图15所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W.撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g.则上述过程中( )

图15

1

A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga

23

B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga

2C．经O点时，物块的动能小于W－μmga

D．物块动能最大时，弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能 答案 BC

4. 将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形，如图16所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同．现将一个可视为质点的物块分别从三个木板

的顶端由静止释放，并沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同．在这三个过程中，下列说法正确的是( )

图16

A．沿着1下滑到底端时，物块的速度最大

B．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最多的 C．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量是一样多的 D．沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相同 答案 ABC

5．如图17所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R.一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C，C、O、B三点在同一竖直线上．(不计空气阻力)试求：

图17

(1)物体在A点时弹簧的弹性势能；

(2)物体从B点运动至C点的过程中产生的内能．

7

答案 (1)mgR (2)mgR

2

解析 (1)设物体在B点的速度为vB，受到的弹力为FNB，则有

v2B

FNB－mg＝m R又FNB＝8mg

由能量守恒定律可知

17

弹性势能Ep＝mv2B＝mgR. 22

(2)设物体在C点的速度为vC，由题意可知

2vC

mg＝m

R

物体由B点运动到C点的过程中，由能量守恒定律得

12?12

2R?＝mgR. Q＝mvB－?2mvC＋mg·?2

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