关于高阶对称矩阵特征值的计算 的本科毕业论文

本科毕业论文（设计）

题 目 高阶对称矩阵特征值的计算 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXXXXXXXX

学 号 09020107 指导教师 XXXXXX 职称 XXXXXX 论文字数 9155

完成日期: 年 月 日

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巢湖学院2013届毕业论文（设计）

高阶对称矩阵特征值的计算

摘要

自从矩阵特征值的概念提出以来，其计算问题一直都是困扰其应用的一个难题。特征值不仅仅是在数学上有着非常重要的作用，在进行矩阵计算的时候会发挥重要的作用。而且，在数学物理，经济学，生物等研究之中，特征值计算也能给与巨大的帮助。同时，矩阵的特征值也可以解决诸如工程问题等的实际问题。

本文首先介绍了特征值，特征向量的定义，说明在初等矩阵中特征值问题的一些计算方法，最后介绍在高阶对称矩阵的情况下来计算特征值的一些方法。对于对称矩阵特征值计算，有三种计算方法，分别是:Jacobi旋转法，幂法（反幂法）和QR方法。在阐述方法内容的同时举例讲解算法的应用。最后对高阶对称矩阵这种情况进行归纳性的总结。

关键字：特征值；高阶对称矩阵；Jacobi旋转法；幂法 ；QR方法 ，

I

高阶对称矩阵特征值的计算

The calculation of the high-end symmetric matrix

eigenvalue problem

Abstract

Since the concept of the matrix eigenvalue has been put forward, the calculation problems that have been a problem that plagued its application. Not only the eigenvalue is important in math,but also play an important role in calculation of matrix. Moreover, the calculation of matrix can be a good tool to the reaserch of math-physics, economic, biology and so on. Although, eigenvalue could also give a hand to some problem in real life such as engineering and so on.

First, the paper introduces the definition of eigenvalue and eigenvector.Second, it will show you how to calculate the eigenvalue of elementary and high-end symmetric matrix. There are three methods to deal with this problem. There are method of Jacobi rotate, method of power and method of QR. It will also elaborate the method of content with example of how to use it. Then, we will make a summary about how to calculate the high-end symmetric matrix at last.

Key Word: eigenvalues, high-end symmetric matrix, Jacobi rotary method, power method，QR method

II

目录

摘要 ................................................... III Abstract ................................................ IV 目录 ..................................................... 1 引言 ..................................................... 1 1 关于矩阵特征值的概念 ................................... 1 1.1 矩阵特征值和特征向量的定义 ........................... 1 1.2矩阵特征值的计算方法 .................................. 2 1.3对称矩阵特征值的一些性质 .............................. 3 2高阶对称矩阵特征值的计算方法............................ 4 2.1Jacobi旋转法 ......................................... 4 2.1.1Jacobi旋转法的概念 .................................. 4 2.2幂法 ................................................. 7 2.2.1幂法的概念 ......................................... 7 2.2.2反幂法的概念 ....................................... 9 2.3 QR方法 ............................................. 11 2.3.1豪斯霍尔德变换..................................... 11 2.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵 ......... 12 2.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵 ............. 14 2.3.4QR方法的算法及实例 ................................. 14 3结束语 ................................................ 17 参考文献 ................................................ 18

巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

引言

特征值作为矩阵计算中的重要一环，其特点就是将矩阵代表的线性变换转化为数值变换。从而使得复杂的矩阵性质简单化，将其转化为对特征向量的研究，简化我们的研究过程。

矩阵特征值自然有其研究的意义。数学中的部分问题，比如优化，常微分方程等问题可以通过对特征值进行计算来解决。同时它不仅局限于在数学方面的应用，其它诸如弹性动力学，自动控制，计算物理等方面也有其用武之地[1]。在当前对于的特征值的研究形势下，矩阵的特征值计算应用于解决数学物理方程问题的情况也是比较多的[2]。同时由于它意义比较重大和应用范围比较广，使得矩阵特征值问题在国内外高性能计算机的计算使用中占据了很大的一部分。

就目前的研究现状来看，特征值的计算方法大致分为两大类：一类称为变换方法，这种方法就是直接对矩阵进行处理，将其变为易于求解的形式；第二种就是向量迭代法，这种方法通过连续的向量矩阵乘积然后对特征值和特征向量进行求解。

本文通过对上述几种方法的阐述和例题使用情况，对其在面对高阶对称矩阵情况下，其计算的可行性和便利性进行了研究。

1 关于矩阵特征值的概念

本论文在第一部分首先介绍矩阵特征值的定义，接着介绍本文讨论的关于对称矩阵在特征值问题上的不同于一般矩阵的性质。这样在下面介绍其他矩阵特征值计算方法之前，可以对特征值有一个大致的了解。

1.1 矩阵特征值和特征向量的定义

定义1[3] 设矩阵A?(aij)?n?n，若存在实数或者复数?和非零向量

x?(x1,x2,,xn)T?n，使

1

高阶对称矩阵特征值的计算

Ax??x （1） 则称?为A的特征值，x为A对应?的特征向量。

1.2矩阵特征值的计算方法

上面说明了矩阵特征值的定义，下面我们来看矩阵特征值的计算方法。 由（1）式可知?可使其次线性方程组

(?I?A)x?0

有非零解，故系数行列式det(?I?A)?0，记

??a11p(?)?det(?I?A)??a21?an1?a12??a22?an2?a1n?a2n??ann??n?c1?n?1??cn?1??cn?0 （2）

p(?)称为矩阵A的特征多项式，方程（2）称为矩阵A的特征方程。因为n次代

数方程p(?)在有n个根?1,?2,，故 ,?n（存在于复数域中）

p(?)?(???1)(???2)把（2）式的行列式进行展开可以得到

?c1??1??2?(???n)

??n??aiii?1ncn?(?1)n?1?2故矩阵A?(aij)?并有

n?n?n?(?1)ndetA

[4]

,?n是它的特征方程（2）的n个根。

的n个特征值?1,?2,detA??1?2

?1?22???A???2?24?的特征值 例1 求

?24?2???

2

?n

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解 A的特征方程为

故A的特征值为?1??2?2，?3?7。

2?2????1?32det(?I?A)??2??2?4????3??24??28???2?4??2????(??2)2(??7)?01.3对称矩阵特征值的一些性质

上面我们给出了矩阵特征值的定义及其计算方法，下面我们来看一看对称矩阵的一些独特的关于特征值的性质

定理1 设A?n?n为对称矩阵，则

（1）A的特征值均为实数 （2）A有n个线性无关的特征向量 （3）存在一个正交矩阵P使

且?i(i?1,2,??1??2TPAP?????,n)是A的特征值，而P?(u1,u2,??????n?,un)，它的列向量uj为A和?j的

??n，则

特征向量是对应的。

定理2 设A?n?n为对称矩阵。其特征值按顺序写为?1??2?(Ax,x)n （1） ?n???1（对任何非零向量x?）

(x,x)

(Ax,x)(Ax,x)（2） ， ?n?min?1?maxx?n(x,x)x?n(x,x)x?0x?0

3

高阶对称矩阵特征值的计算

2高阶对称矩阵特征值的计算方法 2.1Jacobi旋转法

上文中提到的初等矩阵分解算法在遇到高阶矩阵的时候就显得不那么便于计算，而Jacobi旋转法很好的解决了这一问题。Jacobi通过他的著作《函数行列式》让矩阵计算进入新的纪元[5]Jacobi旋转法可以应用于本文所讨论的高阶对称矩阵特征值计算中。Jacobi算法主要的目的就是将对称矩阵A化为对角矩阵，然后进行矩阵的特征值的求解。而要实现这种变换就必须使用旋转变换或者说是正交相似变换来达到目的[6]。另外，Jacobi旋转法的计算步骤较多量，人为计算通常比较繁琐，这是因为其核心方法是迭代计算，所以一般使用计算机进行计算。但是它的优点是拥有较高的精确度，所以在计算矩阵特征值时，它也是一种常用方法。 2.1.1Jacobi旋转法的概念

T 令A?A0,依次构造矩阵序列Ak，使Ak?Rk(p,q)Ak?1Rk(p,q)(k?1,2)，其中

R(p,q)是在(p,q)平面上转过角度?的一个旋转。其中 Rk(i,i)?1， i?p,q

Rk(i,i)?cos? i?p,q Rk(i,j)??Rk(j,i)?sin?，i?p，j?q， R(i,j)?0 i,j?其他。

如何确定上面所提到的平面和旋转角?就是我们下面需要考虑的问题了，这里我们可以观察AS位于主对角线以上的全部元素，通过它来确定最大模的项apq(s)（这里由于对称性的原因，使得我们仅仅只要在A的上部的元素中来求就可以了）[7]。剩下的问题就是确定旋转角?，使得apqs?1?0，我们知道平面旋转R(p，q)有只会对一部分行和列产生影响的相似变换。即第p，q行和列。p，q，?由以下原则确定：

记 Ak?1?(aij(k?1),Ak?(aij(k))，则有aij(k)?aij(k?1)(i,j?p,q)

api(k)?aip(k)?aip(k?1)cos??aiq(k?1)sin? (i?p,q) aip(k)?aip(k?1)sin??aiq(k?1)cos??aqi(k) (i?p,q) app(k)?app(k?1)cos2??2app(k?1)cos?sin??app(k?1)sin2?， app(k)?app(k?1)sin2??2app(k?1)cos?sin??app(k?1)cos2?， app(k)?aqp(k)?(app(k?1)?app(k?1))cos?sin??app(k?1)(cos2??sin2?) 1?(app(k?1)?aqq(k?1))sin2??aqq(k?1)cos2?24

高阶对称矩阵特征值的计算

值1/?，进一步计算出矩阵A按模最小的特征值?n。

反幂法迭代公式为：设初始向量v0?u0?0，向量序列构造如下

?vk?A?1uk?1? k=1,2，… vk??uk?max?v? k? 迭代向量vk可以通过解线性方程组

Avk?uk?1

求得。

例4 用反幂法求

的和计算特征值??1.2679对应（精确特征值是?3?3?3）的特征向量（限定运算为5位浮点数）。

解 用部分选主元的三角分解将A?pI（其中p?1.2679）分解为

P(A?pI)?LU

?210???A??131??014???其中

?010???P??001??100???1?11.7321???U??012.7321??3?000.29405?10???00??1??L??010??0.7321?0.268071???10

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由Uv1?(1,1,1)T，得

v1?(12692,?9290.3,3400.8)T u1?(1,?0.73198,0.26795)T

由LUv2?Pu1，得

v2?(20404,?14937,5467.4)T u2?(1,?0.73206,0.26796)T

?3对应的特征向量是

x3?(1,1?3,2?3)T?(1,?0.73205,0.26795)T

特征值?3?1.2679?1/u2?1.26794901

?3的真值为?3?3?3?1.26794912

通过上面这道例题，我们可以总结一下反幂法的大致步骤。 首先分解计算P(A?pI)?LU，且保存L，U和P的信息； 接着用反幂法迭代 （1）解Uv1?(1,1, （2）k?2,3,

,1)T求v1

?1?max?v1?，u1?v1/?1

①解Lyk?Puk?1求yk 解Uvk?yk求vk ②?k?max?vk? ③计算uk?vk/?k

2.3 QR方法

对于本文所讨论的高阶对称矩阵A?n?n，如果想用QR方法计算其特征值，

需要将其首先变换成上海森伯格矩阵或者对称三对角矩阵，然后再进行，此时就需要使用豪斯霍尔德变换和正交相似变换，通过这两种变换，将矩阵转化成上海森伯格矩阵，另一种情况是把对称矩阵转化成对称三角矩阵。 2.3.1豪斯霍尔德变换

设向量w?

n，且wTw?1，称矩阵

1 1

高阶对称矩阵特征值的计算

H(w)?I?2wwT

叫做豪斯霍尔德变换。它还有另外一种叫法，叫做初等反射矩阵。

如果，记w?(?1,?2,

?1?2?12??2?2?1H(w)??????2??n1??2?1?221?2?2,?n)T,则

?2?n?2?2?1?n???2?2?n???2?1?2?n?2.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵

设A?(aij)?（1）设

其中

令 则

n?21/2??sgn(a)(a?121i1),?i?2???u1?c1??1e1,????(??a).1121?1??n?n。为了使A经正交相似变换化成上海森伯格矩阵可选择初

等反射矩阵为U1,U2,,Un?2

?a11?a21?A????an1a12a22an2a1n??a2n??a11????c1?ann?(1)?A12(1)?A22??1?U1???,R?1?(2)a12(2)a22(2)a32(2)a13(2)a23(2)a33?a 2?U1A1U1??11A?R1c1

?a11???(1)A12R1??1???0(1)R1A22R1????0?12

(2)an2(2)an3?a1(2)n(2)?a2(2)n??A11(2)???a3n??0c2??(2)?ann?(2)?A12?,(2)A22??巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

(2) 其中c2?(a32,(2)T,an2)?n?2(2)，A22?(n?2)?(n?2)。

（2）第k步约化：反复运用上述步骤，设A的正交相似变换已经完成从第1到第 k?1步，那么可以有

Ak?Uk?1Ak?1Uk?1,或者Ak?Uk?1且

(1)(2)?a11a12?(2)??a?122??Ak???????(k?1)a1,k?1(k?1)a2,k?1U1AU11Uk?1,

a1(kk)(k)a2k(k)akk(k)ak?1,k(k)a1,k?1(k)a2,k?1?k?1(k)ak,k?1(k)ak?1,k?1(k)ank(k)an,k?1k)?a1(n(k)?a2n???(k)akn?(k)?ak?1,n??(k)?ann? k n-k

(k)(k)?A11?kA12?? (k)?n?k0cAk22??

(k)这里ck?(ak?1,k,(k)A22?(n?k)?(n?k)k()T,ank)?n?k(k)，A11被叫做k阶的上海森伯格矩阵，

。

设ck?0，于是可以通过使用初等反射矩阵Rk使Rkck???ke1,其中Rk的计算公式为

令

n?(k)(k)21/2??sgn(a)((a?k?1,kik)),?ki?k?1??u?c??e,kk1?k????(a(k)??),kk?1,kk?k?1T??Rk?I??kukuk.?IUk?????Rk?

3 1

高阶对称矩阵特征值的计算

则

(k?1)(k)其中A11为k?1阶的上海森伯格矩阵。第k步仅仅只需要约化计算A12Rk和

(k)?A11Ak?1?UkAkUk???0Rkck?(k)(k?1)A12Rk??A11???(k)?RkA22Rk???0ck?1(k?1)?A12?(k?1)A22??(k)(k) RkA22Rk，并且当且仅当矩阵A是对称矩阵的情况下，则只用计算RkA22Rk即可。

（3）重复上述的步骤，得到

Un?2U2U1AU1U2Un?2*?a11?(2)??a122????2???????**(3)a33***??n?2(n?2)an?1,n?1??n?1*??*?*???*??(n?1)?ann?总结上面的步骤，就阐述了如何将豪斯霍尔德约化矩阵化为上海森伯格矩阵 设A?n?n，则存在初等反射矩阵U1,U2,,Un?2使得

TUn?2?U0AU0?H (上海森伯格矩阵)。

53另外，这种算法所需要计算量比较大为 n次乘法运算，若想算出U0则还需增

323加 n次乘法运算，计算量较大，一般在计算机上完成。 32.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵

Un?2U2U1AU1U2设A?

n?n是一个对称矩阵，则存在一个U1,U2,?c1??b1??????b1c2b2bn?2,Un?2的初等反射矩阵使

?????C?bn?1?cn??Un?2U2U1AU1U2Un?2cn?1bn?12.3.4QR方法的算法及实例

通过我们上面进行的准备工作，包括如何将矩阵转化为上海森伯格矩阵或者对称三角矩阵，下面我们总结一下在使用QR方法计算矩阵特征值的时候的具体步骤。首先在这之前我们阐述一下QR分解定理。

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QR分解定理 设A?[9]

n?n是一个非奇异矩阵，则存在一个上三角矩阵R和一个正交矩阵Q，使A有分解

A?QR

这个分解可以是唯一的，只要矩阵R的对角元素为正。

所有的准备工作都做完了，下面我们来看QR方法的实现步骤。对于对称矩阵A?n?n，我们第一步把对称矩阵A通过霍斯豪尔德变换化为对称三对角矩阵

或上海森伯格矩阵B，然后只需使用QR方法就可计算出特征值。具体步骤如下。

设A?n?n，且对A进行QR分解，即

A?QR

这里R是一个上三角矩阵，Q是一个正交矩阵，于是可得到一个新矩阵

B?RQ?QTAQ

很明显这里B是由A通过正交相似变换得来的，所以B和A的特征值是相同的

[3]

。再对B进行QR分解，又可以得到一个新的矩阵，重复这个过程从而得到矩

阵序列：

设A?A1

将A1进行QR分解A1?Q1R1 作矩阵A2?R1Q1?Q1TAQ11

求得Ak后将Ak进行QR分解Ak?QkRk

T形成矩阵Ak?1?RkQk?QkAkQk

由上面的步骤我们总结一下QR算法的主要思路，它首先对矩阵实行QR分解，再通过递推法则的使用进而构造一个矩阵序列?Ak?，只要A是一个非奇异矩阵，则通过QR算法得到的?Ak?就是确定的。

例5 用QR方法计算对称矩阵

的全部特征值。

5 1

?210???A?A1??131??014???高阶对称矩阵特征值的计算

(k)解 选取sk?ann，s1?4。

现在进行收缩，并且对A5中一个子矩阵A5?

故求得A的近似特征值为

?1.2680A6?P(A?sI)P?sI??12555?5??4?10T12?2.2361?1.3420.4472???P23P(A?sI)?R?1.0954?0.36511211???0.81650???0??1.40000.4899??TTA2?RP3.26670.7454?12P23?s1I??0.4899?00.74544.3333???0??1.29150.2017??A3??0.20173.02020.2724??00.27244.6884???0??1.27370.0993??A4??0.09932.99430.0072??00.00724.7320???0??1.26940.0498??A5??0.04982.99860??004.7321????1.26940.0498?A5????0.04982.9986?2?2进行变换，得到

?4?10?5??3.0000??3?4.7321，?2?3.0000，?1?1.2680

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而A的特征值是

?3?3?3?4.7321?2?3.0000

?1?3?3?1.2679 通过上面这个例题，我们可以总结一下QR方法计算矩阵特征值的大致步

骤。首先看矩阵是否是上海森伯格矩阵或者对称三对角矩阵，若不是，对其进行变换使其变为我们需要的矩阵形式，然后对其进行QR分解，得到一个新的矩阵，在重复使用QR分解，得到矩阵序列，最后计算出矩阵的特征值[10]。

3结束语

本文通过对矩阵特征值的定义的阐述引入特征值的计算方法，除了分解算法以外还有其它三种，一个是Jacobi旋转法，一个是幂法最后一个是QR方法，这三种方法都各有各的优点。通常用Jacobi旋转法来计算高阶矩阵特征值问题，幂法就比较适合于计算大型矩阵主特征值，而QR方法通常用来计算矩阵的全部特征值，并且它的收敛比较迅速，相较于其它方法本身也是比较稳定的。

矩阵特征值的算法还有许多种，由于时间仓促难免有不足和改进之处，还有待进一步对特征值问题进行研究。

7 1

高阶对称矩阵特征值的计算

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p5c6.html