2012GCT - 数学基础复习资料（初数）

2012年GCT数学复习资料（初数部分）

主讲：姜进进

一般复习过程：了解考试要求、复习考试内容、熟悉试题类型、掌握应试技巧。 第一部分 算术 [内容综述]

1．数的概念：整数、分数、小数、百分数等等． 2．数的运算

（1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运算*

n3．数的整除 ：整除（

m（

?k?l）、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数mnn1?mm1、公约数、最大公约数、互质数、最简分数． nm1?mn1）

4．比和比例：比例、[典型例题]

aca，正比例关系、??k，反比例关系等ab?k． bdb一、算术平均数（平均值）问题

例：某书店二月份出售图书3654册，比一月份多出售216册，比三月份少出售714册，第二季度的出售量是第一季度出售量的1.5倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？ 分析： 3(3654?216)?3654?(3654?714)?[(3654?216)?3654?(3654?714)]26

5(3?3654?216?714)2??4775.6（又如前10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题） 二、植树问题* （1）全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽．求共栽梧桐多少棵？ 分析：2(1380?1)?232． 12（2）将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数．

分析：根据要求，每边至少需要7个空，所以至少需要4?7?28个钉子． 三、运动问题 1．相遇与追及问题 （

s?vt，v?v1?v2,v?v1?v2，s?s1?s2）

例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾．已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？ 分析：设队伍长度为 l，则

1

ll??9，

300?100300?100解得 l?1200．

2．顺流而下与逆流而上问题

例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求此客轮的航速与这条河的水流速度． 分析：因为

352352?11，?16，所以

v?v水v?v水?v?v水?32, ??v?v水?22,解得 v?27,v水?5．

3．列车过桥与通过隧道问题

例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒．求这条隧道的长． 分析：设隧道长为 l，则 270?l四、分数与百分数应用问题**

例：某工厂二月份产值比一月份的增加1000，三月份比二月份的减少1000，那么 ． A．三月份与一月份产值相等． C．一月份比三月份产值少

B．一月份比三月份产值多?18?50，所以 l?630． 1．* 9911． D．一月份比三月份产值多． 10099分析：设一月份的产值为 a，则三月份的产值为 0.99a，所以一月份比三月份产值多 a?0.99a1?． 0.99a99五、简单方程应用问题 1．比和比例应用题 例1．有东西两个粮库，如果从东库取出库原来的存粮数． 分析：设西库原来的存粮数为 x，则 11放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的．已知东库原来存粮5000吨，求西52500015000?(x?)， 525所以 x?7000． 5000?例2.一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天．问甲、乙两人各做了多少天？ 分析：设甲、乙两人分别做了x天和

y天．根据题意得

?x?y?22,? ?11x?y?1,??3020解得

x?6,y?16．

2

2.求单位量与求总量的问题

例：搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车15天可以完成，实际搬运6天后，有两辆卡车被调走．求余下的渣土还需要几天才能运完？

分析：设要运完余下的渣土还需要x天，则

8?15?8?6?(8?2)x，

所以 x?12．

3．和倍、差倍与和差问题

例：把324分为A,B,C,D四个数，如果A数加上2，B数减去2，C数乘以2，D数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？

分析：根据题意得

?A?B?C?D?324,??1 A?2?B?2?2C?D,?2?解得

A?70,B?74,C?36,D?144．

[样题与真题] 一、数的运算 1．设直线方程 (A) a 分析：因为?

y?ax?b,ab?0，且x的截距是y的截距的(?2)倍，则a与(B)

1谁大？(C) 21 2 (C) 一样大 (D) 无法确定 b1??2b，所以a?。 a22．方程 122???0 的根的个数为(A) 2x?1x?1x?1 (B)1 (C)2 (D)3 (A)0 分析：因为12222?3，所以???0 的根的个数为0。 ??222x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?11?3．设a,b,m均为大于零的实数，且 b?a，则(A)前者 分析：因为 (B)后者 a?ma与谁大？(A)

b?mb (D)无法确定

(C)一样大 a?maa?mam(b?a)???0，所以比大。

b?mbb?mbb(b?m)注：特殊值代入法。

4．某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A) (A)奇数

(B)偶数

(C)无法确定

(D)无石子

分析：因为3x?4y5．（2003）已知 a?A．a?b?c．

?29，所以x为奇数。

200120022003,b?,c?，则 ． 200220032004 B．b?c?a．

3

C．c?a?b． 注：考虑

D．c?b?a．*

f(x)?x?11?1?。 xx6．（2003）

i?1A．10．

?(?1)i?1iB．11． *

C．12．

D．13．

11i?1?i? ．

11注：1?2???11?7．设SnA．2 1?11?12?66。 2?1?2?3?4???(?1)n?1n，则S2004?S2005?（B ）． B．1 C．0 D．?1 S分析：由于2004?(1?2)?(3?4)???(2003?2004)??1002，S2005?S2004?2005， ??1002?2?2005?1． S?S2005所以20048．（2005） ?1?1??1?1??1?1??1?1??1?1??1?1??1?1??1?1??2??3??4??5??6??7??8??9?????????????????的值是（ ）。 0.1?0.2?0.3?0.4?0.5?0.6?0.7?0.8?0.998122A. B. C. D. 228191234567811?2?3?4?5?6?7?8?99?，分母??，所以正确选项为A．

234567899102111111?66?77?（ C ） 9．（2006）11?22?33?44?55248163264153163127 A . 308 B .308 C .308 D.308 163264128分析：分子?分析：

11111111?22?33?44?55?66?77248163264111111?11(1?2?3?4?5?6?7)?(1??2?3?4?5)

22222211?611263?11??7?8??308221?164210．（2006）某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别为48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（A）种不同的变速比。 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

4

分析：（本题是算术题。考查两个数的比的大小） 由于

4836482436243624?,?,?,?，所以这种自行车共可获得12?4?8种不同的变速比。 1612241236242416二、平均值问题

1．从生产的一批灯泡中任意抽取5个，测的寿命（小时）分别为113,110,107,100,95，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C) (A)103 分析：

(B)104

(C)105

(D)106

113?110?107?100?95?105。

52．张某以10.51元/股的价格买进股票20手，又以9.8元/股买进30手，又以11.47元/股买进50手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/股）？（1手?100股）(D) (A)11.02 (B)10.32 (C)9.98 (D)10.78

10.51?2000?9.8?3000?11.47?5000?10.78。 分析：

100003．（2003）记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是 ． A．2． B．3． C．4．* D．5．

2?3?5?7?4.25?4。 分析：

4三、植树问题

1．（2003）1000米大道两侧从起点开始每隔10米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需 要 ．

A．树200课，花200盆． C．树202课，花202盆． 分析：共需树2(

B．树202课，花200盆．* D．树200课，花202盆．

10001000?1)?202，共需花2??200． 10102．（2004）在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ）． A . 50 和40 30 和60． 四、运动问题 （2004）在一条公路上，汽车A 、B 、C 分别以每小时80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B 、车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇两小时后再与车C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里

B . 40 和 50 C . 60 和30

D . 30 和60

分析：40和60的最小公倍数是120，在120米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是分析：设甲乙两站相距l公里，则五、简单方程应用问题 1．单位量与总量问题、

ll?2?，解得 l?1950．

80?7080?50（1）（2004）某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有－间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ C ） A . 4

B . 5

C . 6

D . 7

分析：设女生宿舍的房间数为x，则8(x?1)?4x?20?8x，解得x注：选项验证法。

?6．

5

（2）（2005）某项工程8个人用35天完成了全工程量的A.18 B.35 C.40 D.60

分析：设完成剩余的工程还需要的天数是x，则8?35?2．和倍、差倍、和差问题

小明今年一家四口人，全家年龄之和为69岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为54岁，则父亲今年多少岁？(D) (A)28

(B)29

(C)30

(D)31

六、分数（比）、百分数应用问题

1．（2003）某工厂产值三月份比二月的增加1000，四月份比三月的减少1000，那么 ． A．四月份与二月份产值相等． C．四月份比二月份产值减少

B．四月份比二月份产值增加1，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）． 31(8?6)x，故x?40，即正确选项为C． 21． 991． 99D．四月份比二月份产值减少1．* 100分析：设二月份的产值为 a，则四月份的产值为 0.99a，所以四月份比二月份产值少 a?0.99a1?

a1002．（2004）甲、乙两种茶叶以x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x：y 等于（ C ）. A . 1 : 1

B . 5 : 4

C . 4 : 5

D . 5 : 6 分析：由于50x?40y?(50?50?0.1)x?(40?40?0.1)y，所以

x4?． y53．（2005）2005年，我国甲省人口是全国人口的总值占国内生产总值的c%，其生产总值占国内生产总值的d%；乙省人口是全国人口的e%，其生产

． f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）

cdcedecfA. B. C. D. efdfcfde分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为dhfh，乙省人均生产总值为，所以甲省人均生产总值与cpep乙省人均生产总值之比是de，即正确选项为D。 cf4．（2006）一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（B）升。 A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4

?10?a???10?a?a分析：根据题意， 七、其他问题

1010?0.49，即(10?a)2?49，解得a?3。

1．一顾客去甲商店买价格为48元的鞋子，给了甲店主一张50元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和2元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张50元钞票为假币，索要甲店主一张50元真币．问甲店主赔了多少钱？(A)

6

(A)50元 (A)前者

(B)48元

(C)100元

(D)98元

2．相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B)

(B)后者

(C)一样大

(D)无法确定

3．（2003）A,B,C,D,E五支篮球队相互进行循环赛，现已知已赛过1场，则此时E队已赛过 ． A．1场．

B．2场．*

C．3场．

A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队

D．4场．

注：排除法，利用奇、偶数性质。 4．（2006）100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（D）人。 A .25 B.15 C.5 D.3 分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为88?15?73 ，所以有电脑但没有手机的人数是76?73?3。 解法2：根据题意，24个没有电脑的人中15个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有9人，从而在12个没有手机的人中只有3人有电脑。

第二部分 代数 [内容综述] 一、数和代数式 1．实数的运算 （1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） aa?axyx?yax,y?ax?y,(ab)x?axbx,(ax)y?axy a?a,a?0?（2）绝对值a??0,a?0,a?b?a?b,?a?a?a

??a,a?0?2．复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角）

i2??1，z?a?ib ，z?a2?b2，tan??b a 7

(a,b)

z1?a1?ib1,z2?a2?ib2,z1?z2?(a1?a2)?i(b1?b2)； z?a?bi，?z??a??bi；

z1?z1?cos?1?isin?1?，z2?z2?cos?2?isin?2? zz1z2?z1z2?cos(?1??2)?isin(?1??2)?；1?z2z1?cos(?1??2)?isin(?1??2)? z2z?z0?1

3．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等） (a?b)2?a2?2ab?b2；

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)； 二、集合与函数（微积分） a2?b2?(a?b)(a?b)； a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)．

1．集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律）

A?B,A?B,A(CI(A)),A?B?C?A?(B?C),A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?B?A?B2．函数

（1）概念（定义、两要素、图形、反函数）

{(x,y)y?f(x),x?D}，y?f?1(x) （2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

(x,f(x))(?x,f(?x))?(?x,?f(x));(?x,f(?x))?(?x,f(x)) TTg(x)?f(ax?b)?f(ax?b?T)?f(a(x?)?b)?g(x?)

aa（3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）

y?xa,y?ax,y?logax,y?lgx,y?lnx

logxxlnxy?lnx?lny,ln?lnx?lny,lnxy?ylnx,logax?b

ylogba

8

三、代数方程：

1．二元一次方程组解的存在性 2．一元二次方程

（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系

?b?b2?4acbc,x1?x2??,x1x2? ax?bx?c?0，??b?4ac；x??2aaa223．二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标）、

b24ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)?2a4a2

四、不等式

1．不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质：a?b,k?0?ka?kb;a?b,k?0?ka?kb;

a?b,c?d?a?c?b?d,a?d?b?c

基本不等式：

1(a?b)?ab，a?b?a?b 22．几种常见不等式的解法

绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等 ax2?bx?c?0，a?0；f(x)?a?0?f(x)?a,f(x)??a 五、数列

1．数列的概念（数列、通项、前n项的和、各项的和、数列与数集的区别）

nk?1a1,a2,?,an,?，Sn?a1?a2???an??ak

2．等差数列 （1）概念（定义、通项、前n项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值

1{an},an?1?an?d,an?a1?(n?1)d,Sn?na1?n(n?1)d,2

a?a????an1an?k?an?k?2an,12?(a1?an)n23．等比数列 （1）概念（定义、通项、前

n项的和）；（2）简单性质：中项公式

an?11?qnn?12 {an},an?0,?q,an?a1q,Sn?a1,an?kan?k?anan1?q六、排列、组合、二项式定理 1．分类求和原理与分步求积原理 2．排列与排列数 （1）定义；（2）公式Pnm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

9

注 阶乘（全排列）m3．组合与组合数

Pm?m!

mm?CnPm,mCnm（1）定义；（2）公式；PnPnm?m Pmk?0k?2n ?Cnnmn?m,Cm?Cm?Cm?1,（3）基本性质：Cn?Cnnnn?1n4．二项式定理：(a?b)?七、古典概率问题 k?0kakbn?k ?Cnn1．基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2．概率的概念与性质 （1）定义（非负性、规范性、可加性）； （2）性质：0?P(A)?1，P(?)?0，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B) 3．几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型）P(A)?m n（2）互不相容事件 P(A?B)?P(A)?P(B)；对立事件 P(A)?P(B)?1 （3）相互独立事件 P(A?B)?P(A)P(B) （4）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n此独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为

kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k． [典型例题] 一、数和代数式 1．若z?C且z?2?2i?1，则z?2?2i的最小值是[ B ]

(B)3 (C)4 (D)5

(A)2

10

分析：

z?2?2i?z?(?2?2i)?1表示复数z对应的点在以点

(?2,2)为圆心、半径是

1的圆周上，

z?2?2i?z?(2?2i)最小，是指复数z对应的点到点(2,2)的距离最短，此最短距离为3．

2．如果(x?1)整除x(A)0 分析：

3?a2x2?ax?1，则实数a?[ D ]

(C)2

(D) 2或?1

(B)-1

(x?1)能够整除x3?a2x2?ax?1说明(x?1)是x3?a2x2?ax?1的一个因子，因此当x??1时，

x3?a2x2?ax?1的值应为0，即 ?1?a2?a?1?0，

解得 a?2或a二、集合和函数 1．已知a?0，函数(A)b?0 分析：函数即b?d

??1．

f(x)?ax3?bx2?cx?d的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ] ?0

(C)d(B)c?0

(D)b?d?0 故其偶次项的系数为0，f(x)?ax3?bx2?cx?d的图像关于原点对称的充分必要条件是函数f(x)为奇函数，

?0．

?f(0)?0,注：也可利用?求得b?d?0，再说明当b?d?0时，y?f(x)的图像关于原点对称.

f(?1)??f(1)?2．设a?0,b?0，且a21?b2?7ab，那么ln(a?b)?[ B ] 3 1(lna?lnb) 21(C)(lna?lnb) 3(A)

1ln(ab) 21(D)ln(ab) 3(B)分析：由于a?0,b?0，所以选项(A)(C)不正确．

1111a2?b2?2ab22根据 ln(a?b)?ln(a?b)?ln及a?b?7ab可知

32329211ln(a?b)?ln(ab)．

23

三、代数方程和简单的超越方程 1．设cxx22?x2,x1?x2，2?1?0，若x1,x2是方程x2?bx?c?0的两个根，求x1x1x2?x2??b,x1x2?c，所以

11

，x133． ?x2分析：根据韦达定理可知 x1

22x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?b2?2c；

22x1?x2?(x1?x2)2?x1?x2?2x1x2?b2?4c；

22x2x1x2?x1b2?2c???． x1x2x1x2c3?x3?(x?x)(x2?xx?x2) x12121122??4x2y?162．指数方程组?的解[ A ]

xy??23?6(A)只有一组 (C)有无穷多组

(B)只有两组 (D)不存在

??4x2y?16分析：在方程组?中每个方程的两端取对数，得

xy??23?6?xln4?yln2?ln16, ??xln2?yln3?ln6,由于x与y的系数不成比例，所以此方程组只有一组解．

四、不等式 已知集合

A?{xx?2?3}，集合B?{xx2?(1?a)x?a?0}，若B?A，求a得取值范围．

a?1?(1?a)2?4aa?1?1?a?分析：x1,2?22当a??1时，B?{xa?．

x??1}；当a??1时，B?{x?1?x?a}．

A；当a??1时，若B?A，则a?5．

所以当a??1时，不会有B?五、数列

1．设{an}是一等差数列，且分析：由于a6a2?a3?a10?a11?64，求a6?a7和S12．

?a7?a3?a10?a2?a11，所以 a6?a7?a2?a3?a10?a11?32；

2S12?a1?a2???a11?a12?6(a6?a7)?192．

2．设{an}是一等比数列，且a3?12,a5?48，求a1,a10和a2a6． a5?q2?4，所以 a3分析：设数列{an}的公比为q，则

12

a1?a312??3； 24qa10?a1q9?3?29?1536 或 a10?a1q9?3?(?2)9??1536；

a2a6?a3a5?12?48?576．

六、排列、组合、二项式定理

1．5个男生和2个女生拍成一排照相． （1）共有多少种排法？（P7）

（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（P22．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件， （1）恰有一件次品的取法有多少种？

72(P55P22)）

12C3C97

33C100?C97

（2）至少有一件次品的取法有多少种？ （3）至多有两件次品的取法有多少种？3．求(1?233C100?C3

x)9展开式中所有无理项系数之和．

分析：无理项指的是x的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为

13579． S?2C9?23C9?25C9?27C9?29C9七、古典概率问题 1．在100件产品中，只有5件次品．从中任取两件， 2C95（1）两件都是合格品的概率是多少？2C1002C5（2）两件都是次品的概率是多少？2C100 11C5C95（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？ 2C1002．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是0.6和0.5． （1）两人都投中的概率是多少？0.6?0.5

（2）恰有一人投中的概率是多少？0.6?0.5?0.4?0.5 （3）至少有一人投中的概率是多少？1?0.4?0.5

3．将10个球等可能地放到15个盒子中去，求下列事件的概率：

10!10 （1）某指定的10个盒子中各有1个球； 15

13

C1015?10!（2）正好有10个盒子中各有1个球． 1510

[样题与真题] 一、基本概念

1．求阶乘不超过200的最大整数[ ] (A)3

(B)4

(C)5

(D)6

2．（2004）实数a,b,c在数轴上的位置如下图表示，

b a c O

图中O为原点，则代数式a?b?b?a?a?c?c?（ A ）

． A．?3a?2c

B．?a?ab?2c

C．a?2b

D．3a 分析：因为b?a?0?c，所以

a?b?b?a?a?c?c??(a?b)?(a?b)?(c?a)?c??3a?2c．

3．（2004）argz表示z的幅角，今又??arg(2?i),??arg(?1?2i)，则sin(???)?（ D ）

． A．?435 B．?35 C．

45

D．

5

分

析：由于sin??15,cos??25,sin??215,cos???5，sin(???)?sin?cos??cos?sin??35． 注：排除法。 4．（2005）复数

z?(1?i)2的模z?( )。

A.4 B.22 C.2 D. 2 分析：因为1?i?2，所以(1?i)2?1?i2?2，即正确选项为C．

14

所以

1的共轭复数z是（ A ）. iA.i B. ?i C. 1 D.?1

1分析：由于z???i，所以z?i。

i5。（2006）复数z?二、函数运算 1．设函数

f(x)?

x1)?[ A ] ，x?0,x?1，则f(x?1f(x)

(B)1?(A)1?x

1 x (C)

x x?1

(D)x?1

分析：

1x?11f(x)xf()???1?x，x?0,x?1．

1x?1f(x)?1?1f(x)x三、乘方运算

1．在连乘式(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)展开式中，(A)13 分析：

(B)14

(C)15

x4前面的系数为[ C ] (D)16 (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?x5?(1?2?3?4?5)x4???x5?15x4??

2．（2003）已知实数x和A．?1．*

101101y满足条件(x?y)99??1和(x?y)100?1，则x?y的值是 ．

D．2．

B．0． C．1．

根据条件，得

?x?y??1,?x?y??1, 或 ??x?y?1x?y??1,??解得 ??x?0,?x??1, 或 ?

?y??1?y?0,3．（2005）设A. C.

p为正数，则x2?px?99?( )。

（x?9）(x?11) B. （x?9）(x?11) （x?9）(x?11) （x?9）(x?11) D.

(x?9)(x?11)?x2?20x?99，

分析：选项验证法。由于

(x?9)(x?11)?x2?2x?99，

(x?9)(x?11)?x2?2x?99，(x?9)(x?11)?x2?20x?99，根据题意便知正确选项为C．

4．（2005）已知

x?y?5且z?y?10，则x2?y2?z2?xy?yz?zx?( )。

15

A.50 B.75 C.100 D.105

分

析

：

由

于

x?y?5,z?y?10，所以

z?x?5，从而

1x2?y2?z2?xy?yz?zx?[(x?y)2?(z?y)2?(z?x)2]?75，故正确选项为B．

2四、代数方程、一元二次函数 1．设0?x?3，则函数(A)?2

yy?(x?2)2?2的最大值为[ C ]

(C)2

(D)3

(B)?1

1-0.50.511.522.5-1分析：

2．（2003）函数

-2 如图：最大值只可能在端点取到． y?ax2?bx?c(a?0)在[0,??)上单调增的充要条件是 ．

B．a?0，且b?0． D．a?0，且b?0．

A．a?0，且b?0． C．a?0，且b?0．* 分析：根据题意，抛物线且b?0．

y?ax2?bx?c(a?0)的开口朝上、对称轴在y轴左侧，故a?0,?b?0，所以a?0，2a3．（2004）已知ab?1，且满足2aA．3a?2b?0 2． ?2008a?3?0和3b2?2008b?2?0，则（ B ）

C．3a?2b?0 D．2a?3b?0

B．2a?3b?0 ?2008?20082?24?2008?20082?24,b?分析：由于a?，且ab?1，所以

46?2008?20082?24?2008?20082?24当a?时，,b?， 46?2008?20082?24?2008?20082?24当a?时，,b?， 46从而有2a?3b?0． 或根据4a2?9b2?2008(2a?3b)?0，也可以推出有2a?3b?0．

24．（2006）方程x。 ?2006x?2007，所有实数根的和等于（ C ）

A.2006 B.4 C.0 D.?2006 分析：

2006?20062?4?2007当x?0时，x?；

2

16

?2006?(?2006)2?4?2007当x?0时，x?。

2所以方程x2?2006x?2007的所有实数根的和等于0。

，则f(x)?ax2?bx?c的对称轴为x?1，其图像过点（2，0）

5．（2006）设二次函数

f(?1)?（ D ）。 f(1)A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 分析：根据题意

?bb?1,4a?2b?c?0，所以c?0,??2，从而 2aab1?f(?1)a?ba?3??3。

??f(1)a?b1?b?1a0.6五、幂、指、对函数 比较 0.4与0.6

0.4谁大？[ B ]

(C)一样大

(D)无法确定 (A)前者 (B)后者

分析：考虑函数

f(x)?x0.6,g(x)?0.6x,则f(0.6)?f(0.4)?0.60.6?0.40.6；

g(0.4)?g(0.6)?0.60.4?0.60.6．

六、函数简单性质 1．函数

f(x)?ln(x2?1?x)是[ B ] (B)奇函数 (C)偶函数

(D)单调减少函数

(A)周期函数 分析：

f(?x)?ln(?x?1?x2)?ln1x?1?x2??ln(x?1?x2)??f(x)

注：排除法与特殊值代入法。2．（2003）函数y1A．直线x?aC．x轴对称． 分析：记g(x)?f(1)?ln(2?1)?0,f(?1)?ln(2?1)?0。

?f(a?x)(a?0)与y2?f(a?x)的图形关于 ．

B．直线x?aD．?0对称． ?0对称．

y轴对称．* f(a?x),h(x)?f(a?x)，由于g(x)?f(a?x)?f[a?(?x)]?h(?x)，所以曲线y?g(x)上

?0的对称点(?x,g(x))?(?x,h(?x))在曲线y?h(x)上．

的点(x,g(x))关于直线x注：特殊值代入法。取特殊函数七、不等式

（2004）设a,b,c均为正数，若A．c?a?b

f(x)?x进行判定．

cab??，则( A).．

a?bb?cc?aB．b?c?a C．a?b?c D．c?b?a

17

分析：选项验证法。当

c?a?b时，正分数

cab,,a?bb?cc?a的分子依次增大、分母依次减小，所以

cab??． a?bb?cc?a八、数列

1．（2005）三个不相同的非0实数

a,b,c成等差数列，又a,c,b恰成等比数列，则

a等于（ ）． bA.4 B.2 C.?4 D.?2 分析：根据条件可知2b?a?c,c即正确选项为A． 注：本题根据

2从而?ab，

ac2accccca?()，2???()2?，由于?1，所以??2，?4，bbbbbbbbbacac?0，?0及2??可直接用排除法得到正确选项A．

bbbb2．（2006）设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（A ）。 A. (1?n)n2 B.

(1?n)n C. (1?n)2n D. (1?n)3n

n?1分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式） 设此等比数列的公比为q，则q?n?1，即q??n?1?n2。

1n?1，所以 qqq?q?q九、排列组合

23n1n(n?1)2??n?1?1．5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，载到5坑内，一坑一棵，5个坑内至多载两棵柳树，5个坑都载了，有多少种载法？(C651423?C5C6?C5C6)P55?281?120 (A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275

十、古典概率 1．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ] (A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人

(D)一样大

2．袋中有3个黄球,2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，（都）取得红球的概率是（ ）

1(A)

15分析：

11(B) 30 1(C) 3 2(D)

32C22C6?2?111?． ，或6?51515

B．0.243． C．0.1．

D．0.081．

3．（2003）一批产品的次品率为0.1，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 ． A．0.271．* 分析：1?0.931?0.1?0.92?C2?0.12?0.9?0.13?0.271?0.271，或 C3． 34．（2004）将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（C ）． A．

3 56B．

5 56 C．

3* 28D．

5 28 18

分析：将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有C种放法，3个空格相连的放法有6种（C6），所求概率为5．（2005）任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）． A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

分析：当所取正整数的个位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的个位数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是

58165C8?3． 282?0.2，即正确选项为B． 106．（2006）桌上有中文书6本，英文书6本，俄文书3本，从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。 A.

41108414 B. C. D. 91108455455答：C

分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）

111C3C6C63?6?6108所求概率为 p?。 ??315?14?13455C153?2?1

第三部分 几何（与三角） [内容综述] 一、平面几何图形 1．三角形

（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）

11s?ah?absinC?p(p?a)(p?b)(p?c),2p?a?b?c 22（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）2．四边形

（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形s?3．圆和扇形

（1）圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角)

c2?a2?b2 1(a?b)h 2l?2?Rs??R2

19

（2）扇形

s?12Rll?R?

4．平面图形的相似关系

注：正多边形的内角和(n?2)?、椭圆的面积

?ab

二、空间几何体 1．长方体（正方体） 2．圆柱体 s侧?2?RhV??R2h 3．圆锥体 s侧??Rh2?R2V?13?R2h 4．球 s?4?R2V?4?R33

三、三角函数

20

1．定义（符号，特殊角的三角函数值）

(x,y) ? sin??y,cos??x,sin?cos?11tan??,cot??,sec??,csc??cos?sin?cos?sin?2．三角函数的图像和性质（微积分） y 3．常用的三角函数恒等式 ?sin2??cos2??1?22同角恒等式：?1?tan??sec? ?1?cot2??csc2???sin(???)?sin?cos??cos?sin??cos(????)?cos?cos??sin?sin?两角和公式：?

sin2??2sin?cos??2222??cos2??cos??sin??1?2sin??2cos??1诱导公式：sin(???)?cos?,cos(??)??sin?,sin(???)??sin?

22?注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）． 4.反三角函数

21

y?arcsinx,[?,];y?arccosx,[0,?]22 y?arctanx,(?,);y?arccotx,(0,?)22四、平面直线

1．直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式）

????

y?y0xy?k,y?y0?k?x?x0?;y?kx?b;??1;ax?by?c?0

x?x0ab2．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）

l:ax?by?c?0；l1:a1x?b1y?c1?0；

平行但不重合：a?a1?abcabc??????1 ；重合：；垂直：??????b?b1?a1b1c1a1b1c13．点到直线的距离 ax?by?c?0 ，(x0,y0)， d?注：直线与圆等平面图形的位置关系 五、圆锥曲线 1．

圆 ax0?by0?ca?b22

(x?x0)2?(y?y0)2?R2 2．椭圆

（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合．

x2y22?a2?b2,(?c,0)(c,0)

（2）方程；??1,ca2b2c（3）图像；（4）离心率；e??1

aa2（5）准线 x??

c3．双曲线

22

（1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合． （2）方程；

x2a2?y2b2?1,c2?a2?b2,(?c,0)(c,0)

（3）图像；（4）离心率；e?ca?1

（5）渐近线；y??bax（6）准线 x??a2c

4．抛物线

（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合． （2）方程；

y2?2px， (pp2,0),x??2,

（3）图像；（4）离心率 e?1；（5）准线

ax2?by2?cx?dy?e?0a?b?0,ab?0,a?b ab?0ab?0,a2?b2?0

[典型例题] 1．已知A?{xsinx?cosx,x?[0,2?]},B?{xtanx?sinx}，求A?B．

分析：由于

A?{xsinx?cosx,x?[0,2?]}?{x?4?x?5?4}， B?{xtanx?sinx}?{x(2k?132)??x?(2k?1)?or(2k?2)??x?2(k?1)?}，

23

所

以

A?B?{x2．设a（1）（2）

?2?x??}．

2?b2?0,　??0，f(x)?asin?x?bcos?x，求

f(x)的最大值； f(x)?0时的x值．

分析：由于

f(x)?asin?x?bcos?x??ab?a2?b2?sin?x?cos?x?

22a2?b2?a?b??a2?b2sin(?x??),所以

f(x)的最大值为a2?b2；

当

f(x)?0时，有?x???k?，即x?1?(k???)． ?4,b?5,S?53，求c． 3．设三角形的三条边分别为a,b,c，面积为S，已知a分析：根据S13?absinC及a?4,b?5,S?53可得 sinC?，所以 221． 21222 当cosC?时，有c?a?b?2abcosC?21 ；

21222 当cosC??时，有c?a?b?2abcosC?61．

2?2?1???)?,sin(??)?，那么 4．如果???与??均是锐角，且sin(4544cosC??sin(??)?4分析：

?215?21． 20sin(??)?sin[（???）?（??）]44?sin(???)cos(??)?cos(???)sin(??)

44215211215?21?????.5454205．已知直线l:3x?4y?1?0，求点

????A(2,0)关于l的对称点。

24

A 分析：设所求的点为B(X,Y)，则直线

AB与直线l垂直，且线段AB的中点在直线l上，所以

4?Y?,??X?23 ??3?1(X?2)?4?1Y?1?0,?2?2解得

48X?,Y??．

55x2y26．双曲线?2?1(a?0,b?0)的右准线与两条渐近线交于A,B两点，若以AB为直径的圆经过右焦点F，求该双

2ab曲线的离心率．

F a2x2y2分析：双曲线?2?1(a?0,b?0)的右准线为 x?2cabab2．根据题意可知 caba2?c?cc，

，两条渐近线方程为

by??x，所以线段AB的长度为

aaba2c2?a2b2?c???即cccce?c?2． a

，所以a?b，从而c?a2?b2?2a，因此

25

7．写出抛物线分析：将

y2?2y?2x的焦点坐标和准线方程．

y2?2y?2x化为标准形式为

1(y?1)2?2(x?)，

2所以焦点坐标为 (0,?1),准线方程为 x[样题与真题] 一、平面几何

1．一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？[ ] (A)5

(B)6

(C)7

(D)8

??1．

2.如图，弦长(A)?

a?b，则它们所对的圆周角哪个大？[ ]

(B)?

(C)一样大

(D)无法确定

a b 3．如图，一个长为的梯子大时，

?角应为多大？ 。lAB，A端只能在竖直墙面上滑动，B端只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积最

(C)60 。(A)30 (B)45 。 (D)75

。

x2y2?4．如图，矩行与椭圆2?2?1相切，则椭圆面积与矩形面积之比和相比较谁大？[ ]

4ab

26

(A)前者

(B)后者

(C)一样大

(D)无法确定

5．一个三角形的边长分别为4,5,7，则此三角形的面积为[ ] (A)36

(B)46

(C)43

(D)33

6．两个相似三角形的相似比为1:2，则它们的面积比应为[ ] (A)1:2

(B)1:3

(C)1:4

(D)无法确定

7．（2003）如图，正方形A．

1． 2ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积为 ．

323B．． C．．* D．．

435E H O G C F

B 12．因为G是三角形BCD的中心，所以OG?GC，从而三角形DGC，DHG，DHA的面积相等，3211都是．由于三角形GFC在底边FC上的高是三角形DFC在底边FC上的高的，所以三角形GFC的面积是三角形GCD面积的一半．综

63112上，阴影部分的面积为??． 2638．（2004）如图，直角?ABC中?C为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则?A?（ ）．

分析 如图，阴影部分的面积为A．

? 8B B．? 9 C．? 10* D．? 12D F A C E

分析

27

B 4A 4A D

2A E

F

A

C

3A 如图，根据条件可知，三角形AFE，FED，DCB都是等腰三角形．根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角EFD的大小为2A，角CED的大小为3A，角BDC的大小为4A，所以角A和角B之和为5A，从而或

A??10． B 4A 4A D 2A F

A

C 3A E

9．（2004）如图，长方形ABCD由4个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为S，则正方形EFGH的面积为（ ）． A．S 8 B．S 10 C．S 12* D．S 14D H G C A B 分析 设小正方形的边长是a，则GC的长度是2a，HB的长度是

3a，AD的长度是

22a，所以

191S?a2?a2?2a2?a2?4a2，从而a2?S．

2212注：

AB?BC?32a?22a?12a2?S．

B．13条*

C．12条

D．11条

10．(2004) 在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）． A．14条 分析

28

P A O

如图，过P且与直径垂直的弦的长度是2152?122?18，这也是过P点的弦中长度最短的，由于直径是过P点的弦中最长

的一条，所以过P点的弦中长度为整数的有30?17?13条．

注：按本题的问法，考虑到对称性，结果应为24条．但选项中没有这个选项． 11．（2004）?ABC中，AB=5，AC=3，?A?时，函数

． f(x)取值的范围是（ ）

B．（1，4）*

C．（3，4）

D．（2，5） x，该三角形BC边上的中线长是x的函数y?f(x)，则当x在(0,?)中变化

A．（0，5） 分析

C 3 A 如图，当?A?f(x) 5 B x在(0,?)内变化时，BC边上的中线长f(x)的变化范围是(1,4)．

12．（2005）在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点．若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（ ）． A.1080 B.840 C.720 D.540 分析： D A C B

如图，易知四边形ABCD的面积等于?ABD与?CBD的面积之和，其值为为D．

13．（2005）在

11AC?BD??30?36?540，即正确选项22?ABC中，AB=10，AC=8，BC=6．过C点以C到AB的距离为直径作一圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，

29

交BC于N，则MN等于（ ）．

A.

33141 B. 4 C. 7 D. 13 4253分析：

Ｂ Ｎ Ｐ

Ｃ

Ｍ Ａ

如图，根据条件可知?ACB是直角三角形，由于ＣＰ是圆的直径，所以圆周角ＣＭＰ和ＣＮＰ都是直角，从而ＭＮ和ＣＰ都是长方形ＭＣＮＰ的对角线，所以MN?CP?8?64?4，故正确选项为Ｂ． 10514．（2006）如右图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB＝10厘米，则图中阴影部分的面积为（ B ）平方厘米。

A MB N A.10π B.12.5π C.20π D.25π 分析：记大圆半径为R、小圆半径为r，则根据题意可知

R2?r2?52?25，所以图中阴影部分的面积为

121225?R??r???12.5?。 22215．（2006）已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ B ）。

A 4 O D C B 8

A. 8 B. 10 C.12 D. 14

分析：如图，易知?ABO与?CDO全等，从而OD

2?42?(8?OA)2?(8?OD)2，解得OD?3，所以阴影三角形的

30

面积等于

11?4?8??4?3?10。 22。 3，那么光线与地平面所成的角度是（ B ）

16．（2006）.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于

B

A

A. 15° B. 30° C.45° D.60°

分析：设半圆的半径为R，则半椭圆的一条半轴为R，记其另一半轴为b。根据题意可知

1?Rbb2??3， 12R?R2R b 如图可知?二、空间几何体 1．（2003）已知两平行平面?,?之间的距离为d的直线有 ． A．0条． B．1条． C．2条．* D．4条．

则在平面?内与直线l平行且距离为2d(d?0)，l是平面?内的一条直线，

? ?30度。 2．（2003）正圆锥的全面积是侧面积的

5倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为 ． 4D．

A．?．

B．

?．* 2C．

?． 3?． 631

R，母线长为l，则

1511?R2??2?Rl???2?Rl，即2?R??l，

24222?R??．故正确选项为B． 所以l2分析：设正圆锥的底面半径为

3．（2005）一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）．若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次． A.6 B.8 C.12 D.16

分析：甲容器的容积是

?2?，乙容器的容积是123，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水8次，即正确选项为B．

4．（2006）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ D ）。

20cm 10cm

1111cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3333分析：将球取出后，假设水面下降了hcm，则 4?102h??53， 3551解得 h?，所以容器中水面的高度为10??8。 333A. 5三、平面解析几何 1．直线

y?x?1与圆(x?1)2?(y?3)2?3的位置关系为[ C ]

(B)相交 (C)相离 (D)无法确定

(A)相切 分析：圆心到直线的距离 d?1?3?12?32?3． 22．已知三角形(A)11?(C)

OPQ的三个顶点的坐标分别为O(0,0),P(3,5),Q(?1,2)，则其周长是[ ]

(B)

5 34?13?5

(D)

34?5?5 53?34?5

32

3．（2003）过点A．xP(0,2)作圆x2?y2?1的切线PA和PB，A,B是两个切点，则AB所在直线的方程为 ．

B．

1． 21分析：如图，直线AB的方程为y?．

2??y??P 1． 2C．x?1． 2 D．

y?1．* 2A B O

4．（2003）设点A．不相交．*

(x0,y0)在圆x2?y2?1的内部，则直线x0x?y0y?1和圆 ． B．有一个交点．

C．有两个交点且两交点间的距离小于2． D．有两个交点且两交点间的距离大于2． 分析：根据题意可知

2?y2?1，x2?y2?1的圆心(0,0)到直线xx?yy?1的距离是d?x000012?y2x00?1，

所以直线与圆不相交． 注：特殊值代入法。 5．（2004）直线l与直线2x?A．x-2y=1* 分析 ． y?1关于直线x?y?0对称，则直线l的方程为（ ）

C.2x+y=1 D.2x-y=1 B.x+2y=1 2x-y=1 1/2 -1/2 -1 1 x+y=0

11y?1过点(0,?1),(,0)，这两点关于直线x?y?0的对称点分别是(1,0),(0,?)，故直线l过点

2211(1,0),(0,?)，所以其方程为y?(x?1)．

22如图，由于直线2x?

33

6．（2005）已知则

p为反比例函数y?2图像上的一点，过p分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴于M，交Oy轴于N，x?MPN的面积为（ ）．

A. 2 B.1 C. 22 D. 24分析：

Ｎ Ｐ Ｍ

如图，?MPN的面积为

122，即正确选项为C． x??2x27．（2005）设一个圆的圆心为

p?6,m?，该圆与坐标轴交于A?0,?4?，B?0,?12?两点，则p到坐标原点的距离是（ ）．

A.213 B.8 C.10 D.102 A B 分析： 由于AB是圆的一条弦，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，从而m?1(?4?12)??8．p到坐标原点的距离是262?(?8)2?10，即正确答案为C．

8．（2005）已知

tan??1，若圆?x?cos????y?sin???122的圆心在第四象限，则方程

x2cos??y2sin??2?0的图形是（ ）．

A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 分析：由于圆

?x?cos??2??y?sin??2?1的圆心在第四象限，所以cos??0,sin??0，从而

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x2cos??y2sin??2?0的图形是一个椭圆，即正确选项为B．

9．（2006）P(a,b) 是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如右图所示，则值依次是（A ）。

b的最大值与最小ay A（m,p ） D(n,p ) ·P(a,b) B(m,q) C(n,q) 0 x pqqpqqpp, B. , C. , D. , mnmnmnmnbbp分析：由于过点P(a,b)和原点的直线方程为y?x，即是该直线的斜率。由图可知满足题意最大斜率值是、最小斜率

aamq值是。

nA.

10．（2006）在平面α上给定线段AB=2，在α上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是两个不等的正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ C ）上。 A． 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线 分析：不妨假设而

四、三角函数 1．当 x?(0,(A)前者大

AC比BC长，由于AC与BC的长是两个不等的正整数，所以AC?BC?1，又AC?BC?AB?2，从

AC?BC?1。即动点C所有可能的位置必定在某双曲线上。

?2)时，确定 sinx与1的大小关系[ B ] tanx (C)一样大

(D)无法确定

(B)后者大 (?2．arccos(sin(A)

?3))的值为[ C ] 1? 6

(C)

2?3

(B)?5? 6 (D)

1? 63．

sin(1110。)的值为[ A ]

1 2

(B)?(A)

1 2 (C)

3 2

(D)?3 2a2?1???4．（2005）已知a?0,cos??，则cos???的值是（ ）． ?2a6??

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A.

?3311 B. ? C. D. 2222a2?1a2?1?3分析：由于当a??1时，这与cos??矛盾，所以a??1从而cos(?1，,cos???1，??)??，

2a2a62即正确选项为Ａ．

?(a2?1)2222解法2：因为sin??1?cos??，所以a?1，又a?0，故a??1，从而cos?4a2a2?1???1。

2a作者：姜进进

简介：男，中共党员，江苏东台人，硕士研究生。江苏信息职业技术学院校友会理事、国内知名MBA考研辅导学校数学辅导老师。

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A.

?3311 B. ? C. D. 2222a2?1a2?1?3分析：由于当a??1时，这与cos??矛盾，所以a??1从而cos(?1，,cos???1，??)??，

2a2a62即正确选项为Ａ．

?(a2?1)2222解法2：因为sin??1?cos??，所以a?1，又a?0，故a??1，从而cos?4a2a2?1???1。

2a作者：姜进进

简介：男，中共党员，江苏东台人，硕士研究生。江苏信息职业技术学院校友会理事、国内知名MBA考研辅导学校数学辅导老师。

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