用β粒子验证相对论的动量-能量关系 - 图文

近代物理实验论文

论 文 题 目用β粒子验证相对论的动量-能量关系 学 生 姓 名 朱 平 所 在 学 院 物理科学与技术学院 专业及班级 物理1102 指 导 教 师 汪 颖 梅 完 成 日 期 2013 年 11月 10日

近代物理实验论文

摘要

本实验通过同时测量速度接近光速c的高速β粒子（电子）的动量和动能，证明在高速运动下经典力学不再适用，需用狭义相对论来描述粒子的运动规律，从而验证狭义相对论的正确性。并学习β磁谱仪的测量原理及其他核物理的实验方法和技术。

关键词：β粒子衰变、动量、能量、狭义相对论

引言

19世纪，在牛顿的经典力学占据统治地位时，一些疑问也相应的出现。迈克尔逊——莫雷实验否定了以太的存在，证明光速不依赖于观察者所在的参考系，且与光源的运动无关。麦克斯韦的电磁场方程不适用以绝对时空观为基础的伽利略变换原理，对伽利略变换不能保持其不变性和对称性。

在此基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论狭义相对论基于以下两个假设；1、所有物理定律在所有惯性参考系中均有完全相同的形式——爱因斯坦相对性原理；2、在所有惯性参考系中光在真空中的速度恒定为c,与光源和参考系的运动无关——光速不变原理。这样狭义相对论将仅局限于力学的伽利略相对性原理推广到包括电磁学和光学的整个物理学。

狭义相对论已为大量的实验证实，并应用于近代物理的各领域。粒子物理更离不开狭义相对论，它是设计所有粒子加速器的基础。本实验通过同时测量速度接近光速c的高速电子的动量和动能来证明狭义相对论的正确性。并学习β磁谱仪的测量原理及其他核物理的实验方法和技术。

一、实验原理

（一） 相对论性的质量、动量和能量

根据相对性原理，任何物理规律在不同惯性系中具有相同的形式，因此表达物理规律的议程式必须满足在洛伦兹变换下形式不变，称为洛伦兹变换的协变式。在洛伦兹变换中不变量是x2?y2?z2?c2t2，它说明不同惯性系中的观

察者看到光的波前均为球面，如引进x1

?x,x2?y,x3?z,x4?ict,则不变

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量为x12222。因此洛伦兹变换可看成复四维时空?x1,x2,x3,x4?中?x2?x3?x4转动，它使得复四维矢量的长度在变换中保持不变。这种使长度为不变量的变换也称为正交变换。利用复四维时空可使洛伦兹变换及各物理这种使长度为不变量的变换也称为正交变换。利用复四维时空可使洛伦兹变换及各物理规律的表述更加清晰、简明。

四维空间中x12222是不变量，它是四维空间中长度的平方。?x2?x3?x42222dx?dx?dx?dx?1234?也是不变量，即

同样四维空间中的位移平方

222dx12?dx2?dx3?dx4?不变量 （1.1）

如选取一个相对于物体静止的参考系，并取一与物体一起静止的钟，则上式成为

?c2d?2?不变量 （1.2）

d?称为固有时间间隔，它是相对物体与钟都静止的参考系中的时间间隔，也是

不变量。

由式（1.1）和（1.2）可知：

22dx2?dy?d2z?2cd2t???c d2v1 （1.3）

从而 d??1?dt?dt2c?式中v2?dx?dy?dzdt2222是物体运动速度的平方，??v???1?2??c?2?1/2。

物体四维位移维速度V

?dx1,dx2,dx3,dx4?除以物体的固有时间间隔d?，称为四

?V1,V2,V3,V4?，其中前三个分量称为四维矢量的空间分量，第三个分量

称为时间分量。

物体的运动速度v

?v1,v2,v3?的各分量为

j?1,2,3

1dxj1 vj???Vj,dt?d??因而四维速度V可写成

dxj

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V???v,?jc?

P?m0V???m0,v?im0?c定义四维动量P?P为 1,P2,P3,P4?

式中m0是物体的静止质量，为一标量。

四维动量的前三个分量P为

其中

式中? （1.4） P??m0v?mvm?m01??2 （1.5）

?v/c。式（1.4）所定义的相对论动量与经典力学定义的形式完全一致，

均为质量乘速度，但相对论定义的质量m与速度v有关。

四维动量的时间分量P为 4

im0c2iP4?i?m0c??mc2 （1.6）

c1??2cmc2为运动物体的总能量E。当物体静止时，v=0，物体的能量我m0c2，称为静

止能量。两者之差为物体的动能Ek，即

??1Ek?mc?m0c?m0c??1? （1.7）

?1??2???222当?

??1时，将1/1??2展开为

2?1v2Ek?m0c?1??2?2c综上所述，四维动量可写

?11p2 （1.8） 22??m0c?m0v?22m0?即得经典力学中的动量——动能关系。

i （1.9） P??P,P,P,P?mv,mv,m??12c3,v? E1234

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式中v1,v2,v3为物体速度在空间x,y,z三个轴向的分量。

四维动量模的平方构成洛伦兹变换不变量，即

2222222????P 4P?P?P?P=P?P?P?1234123若取相对于物体静止的惯性系S?，则有P??1i???P2?P3?0,P4?m0c2。因

c而

E0 （1.10） EP?P?P?2??2cc212223这就是相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为

Ek?E?E?cp?m?c0?22201/24 c （1.11） ?0m 2这就是我们实验中要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。它与式（1.8）的经典力学的动量与动能关系在高能端有极大的差异，图（1.1）所示。

图1.1 经典力学与狭义相对论的动量——能量关系

（二） β磁谱仪的原理

放射性核素的原子核放射出β粒子而变为原子序数差1、质量数相同的核素

称为β衰变。测量β粒子的荷质比可知β粒子的能量有关，高能β粒子的速度可接近光速。

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图1.2（a）38Sr39Y?源的衰变图 （b）38Sr39Y?源的β能源

β衰变可看成核中有一个中子转变为质子的结果，在发射β粒子的同时还发出一个反中微子

90909090v。中微子是一个静止质量近似为0的中性粒

子。衰变中释放出衰变能Q被β粒子、反中微子v和反冲核三者分配。因为三个粒子之间的发射角度是任意的， 每个粒子所携带的能量并不固定，β粒子的动能可在零至Q之间变化，

图1.3 半圆形β磁谱仪

9038形成一个连续谱。图1.2（a）为本实验所用的

粒子的最大能

90源的衰变图。的半衰期为28.6年，它发射的βSr?90Y?3938Sr9090量为0.546MeV。90衰变后成为，的半衰期为64.1小时，它发射的β粒SrY3839Y39子的最大能量为2.27MeV。因而38Sr90源在0至2.27MeV的范围内形成一?9039Y?连续的β谱，其强度随动能的增加而减弱如图1.2（b）所示。

图1.3为半圆形β磁谱仪的示意图。从β源射出的高速β粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中，粒子因受到与运动方向垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。其运动方程为

dp?ev?B （1.12） dt5

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式中e为电子荷，v为粒子速度，B为磁场的磁感应强度。由式1.4可知,因vP?mv,m??m0

所以

是常数，故

2dpdvdv?m,?dtdtdtv

Rp?eBR (1.13)

式中R为β粒子轨道的半径，为源与移动探测器即改变R，可得到不同动量p的β粒子，其动量值可由式（1.3）算出。如果采用能测量β粒子能量的探测器（如闪烁探测器、Si（Li）探测器等）则可直接测出β粒子的能量。

二、实验装置

实验装置如图2.1所示。均匀磁场中置一真空盒，用一机械真空泵使盒中气压降到1至0.1Pa，目的是提高电子的平均自由程以减少电子与空气分子的碰撞。真空盒面对放射源和探测器的一面是用有机塑料薄膜密封的。

9038源经准直后垂直射入真空室。探测器Sr?9039Y?是掺T1的NaI闪烁计数器。闪烁体前有一厚度约为220μm厚Al膜用来保护NaI晶体和光电倍增管。β粒子穿过Al窗后将损失部分能量，其数值与膜厚和入射的β粒子动能有关。表2—1为入射动能为Ei的β粒子穿过220μm厚Al膜后的动能Et之间的关系表，单位为MeV。实验中可按表2-1用线性内插的方法从粒子穿过Al膜后的动能Et算出粒子的入射动能Ei。

表2-1β粒子的入射动能Ei与透射动能Et的关系（220μmAl）

Ei 0.317 0.360 0.404 0.451 0.497 0.545 0.595 0.640 Et 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 0.550 Ei 0.690 0.740 0.790 0.840 0.887 0.937 0.988 1.039 Et 0.600 0.650 0.700 0.750 0.800 0.850 0.900 0.950

图2.1 实验装置图

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Ei 1.090 1.137 1.184 1.239 1.286 1.333 1.388 1.435 Et 1.000 1.050 1.100 1.150 1.200 1.250 1.300 1.350 Ei 1.489 1.536 1.583 1.638 1.685 1.740 1.787 1.834 Et 1.400 1.450 1.500 1.550 1.600 1.650 1.700 1.750 Ei 1.889 1.936 1.991 2.038 Et 1.800 1.850 1.900 1.950

此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对β存在一定的能量吸收，尤其对小于0.4MeV的β粒子吸收近0.02MeV。由于塑料薄膜的厚度计物质组分难以测量，可采用实验的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动量Ek和出射动能 E0（单位均为MeV）的关系，采用分段插值的方法进行计算。具体数据见表2-2：

表2-2 电子在穿透薄膜时的能量修正

Ek(MeVE0(MeV0.581 0.571 0.777 0.770 0.973 0.966 1.173 1.166 1.367 1.360 1.567 1.557 1.752 1.747 1.793 1.785 探头可左右移动，以接收不同动量（动能）的β粒子。

光电倍增管的电压由高压电源提供。光电倍增管接收的信号送躲到分析器。躲到分析器采用脉冲幅度分析（ＰＨＡ）的工作模式，它的道数ｎ与输入脉冲的幅度Ｖ成正比，而脉冲幅度Ｖ又与入射粒子的动能Ei与道数ｎ的定量关系，可用几个已知能量的放射源来标定两者的比例系数b和零道所对应的能量a，即

Ei?a?bn （2.1）

常用的标准源有137Cs?射线的0.662MeV的反散射峰；

60Co?射线的

1.33MeV和1.17MeV两个光电峰。

式（1.13）p?eBR成立的条件是均匀磁场。即B为常量。实际上由于工艺的限制，仪器中央磁场的均匀性较好，边缘部分均匀性较差。幸而边缘部分即粒子入射和出射处对结果的影响较小，由它引起的系统误差在合理的范围内。

三、实验内容

1、闪烁计数器能量定标。用

137Cs和60Co的三个光电峰和一个反射峰对多道

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分析器定标。用线性拟合的方法求出式（2.1）中的a、b以及相关系数γ。

2、移动探测器测定β能谱的峰位，并记录相应的源与探测器的间距2R。 3、根据能量定标公式及β能谱峰位算出β粒子的动能。计算时需对Ae膜及有机薄膜引起的能量损失做修正。

4、用式（1.13）算出β粒子的动量值（单位用MeV）。

5、在动量（用pc表示，单位为MeV）一动能（MeV）关系图上标出实测数据点。在同一图上画出金典力学与相对论的理论曲线。

四、数据处理

4.1实验数据

实验参数，β源入射位置为x0=10.0cm,磁场强度B=625.57GS即B=0.062557T。光速c=2.997×108m/s，电子电荷e＝1.6021892×10-19，电子质量m0=9.1093897×10-31kg ，电子静止能量m0c2=0.511MeV。

表4-1

6060Co、137Cs以及β

道数 源的数据

位置/cm 光电峰MeV Co Cs 1.33 1.17 0.662 0.583 0.817 1.054 344.0 293.3 165.4 119.7 180.0 240.3 298.7 358.5 416.1 474.3 20.0 22.5 25.0 27.5 30．0 32.5 35.0 137β 1.285 1.522 1.750 1.981 4.2定标

利用

60，使用验证相对论Co和137Cs的数据对多道分析器定标，根据公式（2-1）

试验程序，可求得a=0.009,b=0.004,即Ei=0.009+0.004n。

4.3使用验证相对论实验程序，对β的数据进行数据处理。

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表4-2 主径迹法 工作状态：真空状态 序号 1 2 3 4 5 6 7

测量距离（cm） 测量道数 PC（MeV） 能量（MeV） 理论PC（MeV） 误差 35.00 32.50 30.00 27.50 25.50 22.50 20.00

474 416 359 299 240 180 120

2.34 2.10 1.87 1.63 1.40 1.16 0.92

1.981 1.750 1.522 1.285 1.054 0.817 0.583

2.44 2.20 1.97 1.72 1.48 1.23 0.97

-1.71% -2.06% -2.55% -3.03% -3.61% -4.51% -5.24%

表4-3 平均磁场法 平均磁场：631.07 工作状态：真空状态 序号 1 2 3 4 5 6 7

测量距离（cm） 测量道数 PC（MeV） 能量（MeV） 理论PC（MeV） 误差 35.00 32.50 30.00 27.50 25.50 22.50 20.00

474 416 359 299 240 180 120

2.36 2.13 1.89 1.65 1.42 1.18 0.95

1.981 1.750 1.522 1.285 1.054 0.817 0.583

2.44 2.20 1.97 1.72 1.48 1.23 0.97

-1.26% -1.55% -1.97% -2.26% -2.77% -2.90% -2.32%

表4-4 等效磁场法 工作状态：真空状态

序号 测量距离（cm） 测量道数 PC（MeV） 能量（MeV） 理论PC（MeV） 等效磁场

误差

1 2 3 4 5 6 7

35.00 32.50 30.00 27.50 25.50 22.50 20.00

474 416 359 299 240 180 120

2.37 2.13 1.90 1.66 1.43 1.19 0.95

1.981 1.750 1.522 1.285 1.054 0.817 0.583

2.44 2.20 1.97 1.72 1.48 1.23 0.97

631.65 632.31 633.35 633.73 633.04 633.56 631.38

-1.22% -1.46% -1.80% -2.03% -2.26% -2.59% -2.27%

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图4-1 软件绘图

4.4数据处理

利用定标求得的公式（2-1）Ei=0.009+0.004n，及测量道数，求出测量能量

表4-5测量能量

道数n 120 180 0.729 240 0.969 299 1.205 359 1.445 416 1.673 474 1.905 测量能量Ei 0.489

β源射出的电子进入探测器时需要穿透一层铝膜，有能量的损失，通过表2-1的已知参数，对β源射出的电子动能进行修正。其他电子的动能以此方法修正得到表4-6的修正动能。

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0.120.110.10.09ΔE/MeV0.080.070.060.050.040.20.40.60.811.2Et/MeV1.41.61.82

图4-2 透射动能Et线性插值拟合 表4-6 电子穿透铝膜的动能修正

Et Ei 0.489 0.5844 0.729 0.8193 0.969 1.0586 1.205 1.2904 1.445 1.5316 1.673 1.7627 1.905 1.9965 注：Et为穿过铝膜后的动能，Ei为修正后的动能。

β源射出的电子在进入真空室前需穿透一层塑料薄膜，电子动能在穿透前后有一定的能量损失，通过表2-2的已知参数，对运用相同的方法做修正得到表4-7

0.0140.0120.01ΔE/MeV0.0080.0060.0040.00200.51E0/MeV1.52

图4-3透射动能Eo线性插值拟合

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表4-7 β源电子穿透薄膜的动能修正

Eo(MeV) 0.5844 0.8193 1.0586 1.2904 1.5316 1.7627 1.9965 Ek(MeV) 0.5940 0.8261 1.0658 1.2966 1.5424 1.7698 2.0010 根据公式p?eBR（1.13）即表4-1中的“位置”数据，可求出各个位置的动量P及PC，利用公式(1.8)Ek=p/2m0,求出经典能量，利用公式（1.11）

2

Ek?E?E0??cp?mc22240?1/2?m0c2，求出理论能量，结果见表4-8.

经典能量Ek0/MeV 测量能量Ek1/MeV 修正能量Ek2/MeV 理论能量Ek3/MeV 表4-8 数据整理

位置/cm R/cm P/MeV 0.3128e-8 0.3910e-8 0.4692e-8 0.5161e-8 0.6256e-8 PC/MeV 0.9374 1.1718 1.4061 1.5467 1.8748 2.1092 2.3435 20.0 5.0 22.5 6.25 25.0 7.5 27.5 8.25 30.0 10.0 0.8597 1.3436 1.9346 2.3408 3.4392 4.3530 5.3738 0.489 0.729 0.969 1.205 1.445 1.673 1.905 0.5940 0.8261 1.0658 1.2966 1.5424 1.7698 2.0010 0.557 0.767 0.985 1.118 1.432 1.659 1.887 32.5 11.25 0.7038e-8 35.0 12.5 54.543.50.7820e-8 动能—动量关系曲线?经典理论能量Ek/MeV32.521.510.5000.51PC/MeV1.522.5?实验曲线?相对论

图4-4 动量—能量关系曲线

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五、结果分析

从图像中可以看出，在低速情况下，实验曲线与经典曲线以及相对论曲线相吻合；当速度接近光速时，经典曲线与实验曲线相差较大，而相对论曲线与实验曲线吻合较好。因此在低速情况下，运用经典与相对论都可以，但接近光速时，必须使用相对论情况。

六、参考文献

[1] 经典物理与狭义相对论的诞生

[2] 黄志洵.论狭义相对论的理论发展和实验检验.[J].中国工程科学 [3] 近代物理实验P126-P132.扬州大学物理科学与技术学院.2012.09.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p54r.html