信号与系统习题集（郑君里）

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信号与系统习题答案（注：教材---郑君里编）

习题一

1-7 绘出下列各信号的波形：

?u(t)?u(t?T)?sin(4?t)（1）T; ?u(t)?2u(t?T)?u(t?2T)?sin(4?Tt)（2） 0 T 图1 0 1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图：T ?t2T （1） f(t)?(2?e )u(t) ； （2） f(t)?(3e?t?6e?2t)u(t) ； （3）f(t)?图(52 e?t?5e?3t)u(t)； （4）f(t)? e?tcos(10?t)?u(t?1)?u(t?2)?。 2 1 0 图1 9 0 0 1图 2ln2 3 图3 1-10 写出题图1-10（a）、（b）、（c）所示各波形的函数式。

0 1 2 1

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f(t) 3 f(t) E 1

-2 0 (a)

2 t

2 1 1-10 题图0 t T a

1 2 t

图

(b)

(c)

：

f(t)? 11(t?2)?u(t?2)?u(t)??(t?2)?u(t)?u(t?2)?22

t?(1?)?u(t?2)?u(t?2)?2

图

b

：

f(t)?[u(t)?u(t?1)]?2[u(t?1)?u(t?2)]?4u(t?2);

f(t)?u(t)?u(t?1)?2u(t?2)?f(t)?Esin(t)?u(t)?u(t?T)?T图c：

1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别： （1） t[u(t)?u(t?1)] ； （2）

tu(t?1)； （3）

t[u(t)?u(t?1)]?u(t?1) ；

1 1 t （4）

0 1 图1 1 (t?1)u(t ?1) ； （5） 0 1 t ?(t?1)[u(t)?u(t?1)] ； 0 1 t （6）图2 图3 0 1 t 图5 图4 3 2 1 1 1-4 对于下图所示信号，由f(t)求f(-3t-2)，但改变运算顺序，先求f(3t)或先求f(-t)，讨论

所得结果是否与原书中的结果一致。 2 3 0 0 1 2 3 t t f(t)

图1 6 图7 方法一： -2 -1 1 t f(3t) f[3(t-2/3)]=f(3t-2)

1 (t?t[u(t?2)?u(t0 ?3)]；t 2)[u(t?2)?u(t?3)]； （7）

1 -2/3 -1/3 1/3 t 1 0 -2/3 1 t

f(-3t-2) 2

1 -2/3 t

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方法二： f [- (t+2)]=f(-t-2) ? ?

f(-t) 1 -1 2 f(-3t-2) ? ? 由图可看出所得结果与书中一致。 -2/3 t -1 t -3 -2 1-14 应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值： t

（1）

??

???

f(t?t0)?(t)dt?f(?t0) ；

（2）

???f(t0?t)?(t)dt?f(t0) ；

（3）

?????(t?t0)u(t?t0t)dt?u(0)?122；

；

（4）?????(t?t0)u(t?2t0)dt?u(?t0)?0(e?t?t)?(t?2)dt?e2?2(t?sint)?(t?；

（5）????（6）

???6??)dt??6?sin?6??6?12 ；

（7） ?? ；

1-15 电容C1与C2串联，以阶跃电压源v(t)=Eu(t)串联接入，试分别写出回路中的电流i(t)、每个电容两端电压vc1(t)、vc2(t)的表

示式。

电路如图：

i(t)

+ VC1(t) C1 +

_ _ ??e?j?t[?(t)??(t?t0)]dt?1?e?j?t0v(t)=Eu(t) C2

路总电容+ cC2?c2(t) _ C?V1 回 c1?c2

?电路电流

i(t)?C

1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？

duc(t)c1?c2?E?(t)dtc1?c2

c2E1vc1(t)?i(t)dt?u(t)c1?c1?c2c1E1vc2(t)?i(t)dt?u(t)c2?c1?c2

de(t)dt ；

r(t)?e(t)u(t) ； r(t)?3

（1）

（2）

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（3） （4） （5） （6）

r(t)?sin[e(t)]u(t) ； r(t)?e(1?t) ； r(t)?e(2t) ；

r(t)?e2(t) ；

（7）

r(t)??e(?)d???5tt ；

??（8） 。

解：线性系统满足齐次性和叠加性；时不变系统的参数不随时间而变化，即：在同样起始状态下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关；因果系统在t0时刻的响应只与t=t0与t

（1） 激励 响应

r(t)??e(?)d?r(t)? e(t) ae(t)

de(t)dt

r1(t)?d[ae(t)]de(t)?a?ar(t)?dtdt线性系统

de(t?t0)r2(t)??r(t?t0)?dt e(t-t0) 时

不变系统

e(t0)

r3(t0)?de(t0)?r(t0)dt

系统的响应仅与t

（2） 激励 响应

e(t)

?r(t)?e(t)u(t)

ae(t) 1 e(t-t0)

r(t)?ae(t)u(t)?ar(t)?系统为线性系统

r2(t)?e(t?t0)u(t)?r(t?t0)?e(t?t0)u(t?t0)

?系统为时变系统

r(t)?e(t0)u(t0)?系统为因果系统

e(t0) 30

（3） 激励 响应 e(t) ae(t)

r(t)?sin[e(t)]u(t)

r1(t)?sin[ae(t)]u(t)?ar(t)?asin[e(t)]u(t)

?系统为非线性系统

e(t-t0)

r2(t)?sin[e(t?t0)]u(t)?r(t?t0)?sin[e(t?t0)]u(t?t0)

?系统为时变系统

e(t0)

r3(t0)?sin[e(t0)]u(t)?sin[e(t0)]u(t0)?r(t0)

?系统为因果系统 ?

（4） 激励 响应

e(t) r(t)=e(1-t)

ae(t) 1r(t)?ae(1?t)?ar(t)? 系统为线性系统

4

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e(t?t0)

r2(t)?e(1?t?t0)?r(t?t0)?e[1?(t?t0)]?e(1?t?t0)

e(t0)

?系统为时变系统

r3(t0)?e(1?t0) 当t=0时，e(1?t0)?e(1)，即系统响

应中有

（5） 激励 响应

t?t0时刻的响应，?系统为非因果系统

e(t) r(t)?e(2t)

ae(t) r1(t)?ae(2t)?ar(t)? 系统为线性系统

e(t?t0) r2(t)?e(2t?t0)?e[2(t?t0)]?r(t?t0)?系统为时变系统

e(t0) r3(t0)?e(2t0)?r(t0)?系统响应中只有t?t0时刻的响应，?系统为非因果

系统

（6） 激励 响应

e(t) r(t)?e2(t)

ae(t) r1(t)?a2e2(t)?ae2(t)?ar(t)?系统为非线性系统

2e(t?t)r(t)?e(t?t0)?r(t?t0)?系统为时不变系统 02

2e(t)r(t)?e(t0)?系统响应仅于t?t0时刻的激励有关?系统为因果系统 030

（7） 激励 响应

e(t)

r(t)??e(?)d???t??t

t??ae(t)

r1(t)??ae(?)d??a?e(?)d??ar(t)?r2(t)??e(??t0)d? 令??t0?u ???tt-t0-?系统为线性系统

e(u)du

e(t?t0)

令u?? ?t0t?t0??e(?)d??r(t?t0)

?系统为时不变系统

e(t0) r3(t0)????e(?)d??系统响应仅于t?t0时刻的激励有关?系统为因果系统

(8) 激励 响应

e(t)

r(t)??e(?)d???5t??5t

5tae(t)

性系统

r1(t)??ae(?)d??a?e(?)d????系统为线

e(t?t0)

r2(t)??e(??t0)d? 令?-t0?u ???5t5t-t0-?e(u)du

令u?? ?5t-t0-?e(?)d??r(t-t0)??e(?)d????系统为时变系统

5(t?t0)e(t0)

激励有关

r3(t0)??e(?)d? ???5t0系统响应于

t?t0时刻的

5

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? 系统为非因果系统

信号与系统习题答案（注：教材---郑君里编）

习题二

2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。

图(a)：微分方程：

6

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di1(t)?2i(t)?1??uc(t)?e(t)?1dt??2di2(t)?i(t)?u(t)2c?dt???u(t)?2di2(t)?0dt?du(t)?c?i1(t)?i2(t)?dt

?1''idt?Li?Mi12?Ri1?e(t)?C?1??1''??i2dt?Li2?Mi1?Ri2?0?Cv0(t)??Ri2??图（b）：微分方程：?

d4d32Ld22Rd1d32?(L?M)4v0(t)?2RL3v0(t)?(R?)2v0(t)?v0(t)?2v0(t)?MR3e(t)CCdtdtdtdtCdt1v0(t)?L1i'1?i2dt?C1 图(c)微分方程：

221?di??dt1Lv0(t)1?21?d??2i1?v'0(t)L1?dt?i?1v(t)dt?1L?01?

d2i3?i1?i2?i1?C1L12i1(t)dt ∵

d3CC1d2C1d1?d?CC13v0?[?]2v0?[?]v0?v0(t0?e(t)R1RdtL1RR1dtRL1R1dtdt

1??e(t)?Ri1(t)??i1(t)dt??v1(t)?C?v1(t)??Ri1(t)?e(t)图(d)微分方程：?

d1?(1??)v1?1dtRCV1?CRe(t)

v(t)??v1(t)∵0

'?(1?v)Cv0? 2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。

1vv0(t)?e(t)RR

（1）

d2d'r(t)?2r(t)?2r(t)?0 给定：r(0)?1,r(0?)?2 ?2dtdt；

7

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特征方程：?2?2??2?0

特征根： ?1??1?j ?2??1?j

?t 零输入响应：

r(t)?A1e?1t?A2e2

代入初始条件，?A1??1 A2?2

r(t)??e?1t?2e?2t?e?t(cost?3sint)

d2r(t)?2dr(t)?r(t)?0 给定：r(0' （2） dt2dt?)?1,r(0?)?2 ；

特征方程： ?2?2??1?0

特征根： ?1??2??1

零输入响应：

r(t)?(A1t?A2)e?t

代入初始条件，

?A1?3 A2?1 r(t)?(3t?1)e?t

d3r(t)?2d2r(t)?dr(t)?0 给定：r(0)?r'(0)?0,r\(0?)?1 （3）dt3dt2dt?? 特征方程： ?3?2?2???0

特征根： ?1??2??1 ??0

零输入响应：

r(t)?(A1t?A?t2)e?A3 代入初始条件，

?A1? A2??1 A3?1 2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：

r(t)?1?(t?1)e?t

dr(t)?2r(t)?e(t),r(0_)?0,e(t)?u(t) （1） dt

dr(t)?2r(t)?3de(t),r(0_)?0,e(t)?u(t（2） dtdt)

2d2dtr(t)?3ddtr(t)?4r(t)?d（3）

2dte(t),r(0_)?1,r'(0_)?1,e(t)?u(t)

试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其r(0+)值，对（3）写出r(0+)和r’(0+)值。

(1) (1) 由于方程右边没有冲激函数

?(t)及其导数，所以在起始点没有跳变。

∴

r(0?)?r(0-)?0

d (2)

dtr(t)?2r(t)?3ddte(t) ?ddte(t)??(t)，即方程右边有冲激函数

?(t) ddtr(t)?a?(t)?b?u(t)设：

r(t)?a?u(t) 则有：

a?(t)?b?u(t)?2a?u(t)?3?(t)

? a?3, b?-6 ? r(0?)?r(0?)?a?3

2d2ddd(3)

dt2r(t)?3dtr(t)?4r(t)?dte(t) ? dte(t)??(t)即方程右边含有

?(t)

8

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d2r(t)?a?'(t)?b?(t)?c?u(t)2 设：dt

dr(t)?a?(t)?b?u(t)dt r(t)?a?u(t)

'2a?(t)?2b?(t)?2c?u(t)?3a?(t)?3b?u(t)?4a?u(t)??(t)

则有：

13? a?0 b? c??24

r(0?)?r(0?)?a?1

∴

r'(0?)?r'(0?)?b?

2-7 电路如图所示，t=0以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0时刻，S1和S2同时自“1”转至“2”，求输出电压v0(t)的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分量（E和IS各为常量）。

解：

32

题图2-7

t?0?时刻，uc(0?)?E?v0(0?) pCuc(t)?v0(t)?Isu(t)Rv0(t)?uc(t)

d1Cv0(t)?v0(t)?Isu(t)dtR∴系统微分方程： r零状态响应：zi(t)?(A1e?A2e?1tRC?B)u(t)?(?RIse?1tRC?1tRC?RIs)u(t)

r(t)零输入响应：zs完全响应：

?1tRCu(t)?Eeu(t) ?RIse?1tRCr(t)?rzi(t)?rzs(t)?(Ee?1tRC?RIs)u(t)

2-8 电路如图所示，t?0时，开关位于“1”且已达到稳定状态，t?0时刻，开关自“1”转至“2”。

（1） （1） 试从物理概念判断i(0-)，i’(0-)和i(0+)，i’(0+)；

（2） （3）

t?0?时间内描述系统的微分方程表示，求i(t)的完全响应；

（3） 写出一个方程式，可在时间???t??内描述系统，根据此式利用冲激函数匹配原理判断0-（2） 写出

时刻和0+时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。

解： （1）

i(0-)?il(0?)?0 t?0?时刻，uc(0?)?10v 9

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i(0?)?0i'(01?)?Lul(0?)?0i'(011?)?ul(0?)?[e(0)?uc(0? LL)]?10

（2）

t?0?时间内系统的微分方程：

??uc(t)?Ldi(t)?Ri(t)?0?dt?i(t)?Cdu ?dtc(t)

2?dd 2i(t)?i(t)?i(t)?0 dtdt

全解：

i(t)?A(?12?j31e2)t?A(?132e2?j2)t

代入初始条件

i(0?)?0,i'(0?)?10 ?i(t)?20?1e2tsin(3

32t)

（3）在???t??时间内，系统微分方程：

?d2di(t)?i(t)?d 2i(t)?e(t) dtdtdt，其中

e(t)?10?10u(t) 2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应

h(t)和阶跃响应g(t)

d（1）dtr(t)?3r(t)?2d

dte(t)

d2（2dt2r(t)?ddtr(t)?r(t)?ddte(t)?e(t)）

d(t)?2r(t)?d2rd（3） dtdt2e(t)?3dte(t)?3e(t)

解：（1）e(t)??(t)对应系统

h(t)

d dtr(t)?3r(t)?2?'(t)

h(t)?Ae?3tu(t)

用冲激函数匹配法，设：

ddth(t)?a?'(t)?b?(t)?c?u(t)

h(t)?a?(t)?b?u(t)

则有：

a?'(t)?b?(t)?c?u(t)?3a?(t)?3b?u(t)?2?'(t)

? a?2,b??6,c?18

? h(t)?2?(t)-6e-3tu(t)

e(t)?u(t)对应于系统的阶跃响应g(t)

dr(t)?3r(t)?2?(t) 则有：dt

10

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g(t)?Ae?3tu(t) dg(t)?a?(t)?b?u(t) 设：dt

g(t)?a?u(t)

?a?2,b??6

?g(t)?2e?3t

u(t)

d2r(t)?dr(t)?r(t)?de(t)?e(t) (2) dt2dtdt

e(t)??(t)对应系统h(t)：

d2dt2h(t)?ddth(t)?h(t)??'(t)??(t)

h(t)?[A(?12?j31e2)t?A(?12?j32e2)t]u(t)

j3?1j3?1j23p?1??1?j3?j23H(p)?p??1?j3

p2?p?1p?22

?1?j33h(t)?(1?1)e2t?(1?1?j?1)e2t ∴

2j232j23

t?0

h(t)?e?12t(cos3

2t?13sin32t)u(t)

tt ∴

g(t)????h(?)d???0h(?)d?

?[e?12t(?cos3t?1sin3t)?1]u(t) 232

dr(t)?2r(t)?d2d2e(t)?3e(t)?3e(t （3）dtdtdt)

H(p)?p2?3p?31

p?2?p?1?p?2 ∴

h(t)?H(p)?(t)??'(t)??(t)?e?2tu(t)

g(t)??tt ∴??h(?)d???(t)?u(t)??310e?2?d???(t)?(2?2e?2t)u(t)

2-10 一因果性的LTI系统，其输入、输出用下列微分—积分方程表示：

dr(t)?5r(t)?? dt???e(?)f(t??)d??e(t)

其中

f(t)?e?tu(t)?3?(t)，求该系统的单位冲激h(t)。 dr(t)?5r(t)???e(?)f(t??)d??e(t解：dt??)

f(t)?e?tu(t)?3?(t)，e(t)??(t)代入

dr(t)?5r(t)?f(t)?e(t)?e(t)?e?tu(t)?3?(t)??(t)?e?tu(t)?2?(

dtt)

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dr(t)?5r(t)?e?tu(t)?2?(t) dt

(p?5)r(t)?1?(t)?2??t1 用算子表示为：p?1??(p?1?2)?(t)

H(p)?1(1117 p?5p?1?2)?4(p?1?p?5)

h(t)?H(p)?(t)?(1e?t?7e?5t)u(t) ∴44

2-12 有一系统对激励为e1?u?t?时的完全响应为

r1(t)?2e?tu(t)，对激励为 e2(t)??(t)时的完全响应为r2(t)??(t).

(1)

求该

rzi(t)；

（2） 系统的起始状态保持不变，求其对于及激励为e3(t)?e?tu(t)的完全响应r3(t)。

解：（1）∵

r(t)?rzi(t)?rzs(t)

r1(t)?rzi(t)?rzs1(t)? r2(t)?rzi(t)?rzs2(t)

rdzs2(t)?由题知：

dtrzs1(t)

rd1(t)?r2(t)?rzs1(t)?rzs2(t)?rzs1(t)?rzs1(t) dt

用算子表示为：r1(t)?r(t)?2e?t2(t)?(1?p)rzs1u(t)??(t)

r1zs1(t)?1?p(2p?1?1)?(t)?1p?1?(t) 即：

∴

rzs1(t)?e?tu(t) r11zs1(t)?e1?t??h(t)?p?(t)H(p)?p?1?(t)

?H(p)?11pp?1?p?p?1

∴系统的零输入响应为

rzi(t)?r1(t)?rzs1(t)?e?tu(t) （2）

e3(t)?e?tu(t) rzs3(t)?H(p)e3(t)?p1p?1p?1?(t)?(e?t?te?t)u(t)

?r3(t)?rzi?rzs3?(2?t)e?tu(t)

2-13 求下列各函数f1(t)与f2(t)的卷积f1(t)*f2(t)

（1） f1(t)?u(t),f2(t)?e?atu(t)

（2） f1(t)??(t),f2(t)?cos(?t?45?)

（3） f1(t)?(1?t)[u(t)?u(t?1)],f2(t)?u(t?1)?u(t?2) （4） f1(t)?cos(?t),f2(t)??(t?1)??(t?1) （5）

f1(t)?e??tu(t),f2(t)?sintu(t)

12

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解：（1）

f1(t)?f2(t)?u(t)?e??tu(t)??e???u(?)u(t??)d????

（2）

?

?f1(t)?f2(t)??(t)?cos(?t?45)?cos(?t?45?)

0??e???d??t1(1?e??t)（3）

?0,t?1,t?3?t?f1(t)?f2(t)???(1?t??)d?,1?t?21?2(1?t??)d?,2?t?3???t?1

??0,t?1,t?3??12??(t?1),1?t?2?2??1t2?t?3,2?t?3?2?2

f(t)?f2(t)?cos(?t)?[?(t?1)??(t?1)]?cos[?(t?1)]?cos[?(t?1)]

（4）1（5）

f1(t)?f2(t)??e???u(?)sin(t??)u(t??)d???e???sin(t??)d???0?t

2-14 求下列两组卷积，并注意相互间的区别 （1） （2）

?sint?cost?e??t?u(t)2??1

f(t)?u(t)?u(t?1)，求s(t)?f(t)*f(t) f(t)?u(t?1)?u(t?2)，求s(t)?f(t)*f(t)

s(t)?f(t)?f(t)?[u(t)?u(t?1)]?[u(t)?u(t?1)]

解：（1）

?pf(t)?

s(t)波形如图: （2）

1f(t)?[?(t)??(t?1)]?{t[u(t)?u(t?1)]?u(t?1)}p

?t[u(t)?u(t?1)]?u(t?1)?(t?1)[u(t?1)?u(t?2)]?u(t?2) ?t[u(t)?u(t?1)]?(2?t)[u(t?1)?u(t?2)]

s(t) 1 s(t)?f(t)?f(t)?[u(t?1)?u(t?2)]?[u(t?1)?u(t?2)]

0 1 2 t s(t)波形如图：

s(t)

1

2-15 已知1?pf(t)?f( t)?[ ?(t? 1)?? (t?2)]?{(t?1)[u(t?1)?u(t?2)]?u(t?2)}p?(t?2)[u(t?2)?u(t?3)]?(4?t)[u(t?3)?u(t?4)]

1f1(t)?u(t?1)?u(t?1),f2(t)??(t?5)??(t?5),f3(t)??(t?12)??(t?2)，

0 1 2 3 4 t

13

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画出下列各卷积波形 （1） （2） （3） （4）

s1(t)?f1(t)*f2(t)

s2(t)?f1(t)*f2(t)*f2(t)

s3(t)?{[f1(t)*f2(t)][u(t?5)?u(t?5)]}*f2(t) s4(t)?f1(t)*f3(t)]

(1) (2)

s1(t)?f1(t)?f2(t)?f1(t?5)?f1(t?5)

s1(t)?f1(t)?f2(t)?f2(t)?[f1(t?5)?f1(t?5)]?f2(t) ?f1(t?10)?2f1(t)?f1(t?10)

s3(t)?{[f1(t)*f2(t)][u(t?5)?u(t?5)]}*f2(t)

?[f1(t?5)?f1(t?5)][u(t?5)?u(t?5)]?f2(t) ?{[u(t?5)?u(t?4)]?[u(t?4)?u(t?5)]}?f2(t)

?u(t?10)?u(t)?u(t?9)?u(t?1)?u(t?1)?u(t?9)?u(t)?u(t?10)?u(t?10)?u(t?9)?u(t?1)?u(t?1)?u(t?9)?u(t?10)

(3)

(4)

11s4(t)?f1(t)?f3(t)?f1(t?)?f1(t?)22

2-17 已知某一LTI系统对输入激励

e(t)的零状态响应

t??rzs(t)??t?e(??1)d??2e

求该系统的单位冲激响应。

解：设系统的单位冲激响应h(t) 则：

??

rzs(t)?e(t)?h(t)??e(?)h(t??)d????

由题意有：

t??t-u-1rzs(t)??t?ee(??1)d? 令?-1?u ee(u)du ?2?t-3 14

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令u?? ?et-?-1e(?)d??t-3???t?3et???1u[3?(t??)]e(?)d?

?e(t?1)h(t)?eu(3?t)

∴

2-18 某LTI系统，输入信号

(t?1)u(3?t)?e(t)

e(t)?2e?3tu(t)，在该输入下的响应为r(t)，即r(t)?H[e(t)]，又已知

de(t)]??3r(t)?e?2tu(t)dt h(t)。

求该系统的单位冲激响应为

H[de(t)dt解：对于LTI系统，若激励e(t)对应于响应r(t)=H[e(t)]，则激励对应于响应

r(t)?h(t)?e(t)''r(t)?h(t)?e(t)

de(t)??6e?3tu(t)?2?(t) dt

d?r'(t)?r(t)?h(t)?[?6e?3tu(t)?2?(t)]dt

??3h(t)?e(t)?2h(t)??3r(t)?2h(t) ddr(t)?H[e(t)]dt由题有：dt

dr(t)??3r(t)?e?2tu(t)??3r(t)?2h(t) ∴ dt

1h(t)?e?2tu(t)2∴

f(t)与f2(t)卷积的波形，并计算卷积积分f1(t)?f2(t)。

2-19 对题图所示的各组函数，用图解的方法粗略画出1

解：图(a) 1 波形如图：

f(t)?f2(t)?f1?t??[?(t?2)??(t?2)]?f1(t?2)?f1(t?2)

15

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图(b)

2 1 -3 f(?) 1 2 -5 -1 0 1 3 5 f2(t??) t?1?(t???1)?d?, t?0 ? ???ef1(t)?f2(t)??10 1 0 t?1t -(t-??1)?(t???1)ed???2ed?, t?0? 1??-?

?1, t?0??-t?t2-e, t?0?u(?t)?(2?e)u(t) ?

1 e?(t???1)u1(t???1)

图(c)：

2 f1(t??) f2(?) sin?u(?)?u(???)?

0, t?0,t???1?t?, t?0,t t???1?2sin?d?, 0?t?1?00 ??0?0 ?tt 2(1-cost), 0?t?1f1(t)?f2(t)?-1 ? ? 2sin?d?, 1?t??? ?? t-1 2[cos(t-1)-cost], 1?t????2sin?d?, ??t???1??2[cos(t-1)?1], ??t???1???t?1=?

2-20 题图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为：

h1(t)?u(t) （积分器） h2(t)??(t?1)（单位延时） h3(t)???(t) （倒相器）

h(t)。

试求总的系统的冲激响应

解：

h(t)?h1(t)?h2(t)?h1(t)?h3(t)

?u(t)??(t?1)?u(t)?[??(t)] ?u(t)?u(t?1)

2-21 已知系统的冲激响应

（1） （1） 若激励信号为

h(t)?e?2tu(t)

16

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e(t)?e?t[u(t)?u(t?2)]???(t?2)

?为常数，试决定响应r(t)。

式中

（2）

（2） 若激励信号表示为

e(t)?x(t)[u(t)?u(t?2)]???(t?2)

式中

x(t)为任意t函数，若要求系统在t>2的响应为零，试确定β值应等于多少

解：（1）

r(t)?h(t)?e(t)?e?2tu(t)?e?t[u(t)?u(t?2)]?e?2tu(t)???(t?2)

??e0?tt?2?tu(?)e???(t??)u(t??)d???e?2?u(?)e?(t??)u(t???2)d???e?2(t?2)u(t?2)0t?20t?2?e[?ed?u(t)??e??d?u(t)??e?2(t?2)u(t?2)0

当0 当t?t?2时，?2时，

r(t)?e?t?e??d??e?t?e?2t0t

r(t)?e?t[(1?e?t)?(1?e?(t?2))]??e?2(t?2)

?2t42?e(?e?e?1)

r(t)?h(t)?e(t)?e?2tu(t)?x(t)[u(t)?u(t?2)]?e?2tu(t)???(t?2)

（2）

??e?2(t??)u(t??)x(?)u(?)d???e?2(t??)u(t??)x(?)u(??2)d?02tt

??e?2(t?2)u(t?2)tt02

??e?2(t??)x(?))d?u(t)??e?2(t??)x(?)d?u(t?2) ??e?2(t?2)u(t?2)?2时，r(t)?0

t2t 由题意有， 当t

r(t)??e?2(t??)x(?))d?u(t)??e?2(t??)x(?)d?u(t?2) ??e?2(t?2)u(t?2)0

∴ 2-23 化简下列两式：

??e?2(t??)x(?)d???e?2(t?2)u(t?2)?002

???e?4?e2?x(?)d?02

?(2t2?)（1）

；

12f(t)?2t2? 令

111?0t1? t2??222 则：

''f(t)?2 f(t2)??2 1

211111112? ?(2t?)??'?(t?ti)??(t2?)?[?(t?)??(t?)]224222i?1f(ti)

（2）

?(sint)。

sint?0?t?k? (k?0, ?1, ?2, ??）

??

令

-?

2-27 试求下列各值，设系统起始状态为零：

? ?(sint)???(t-k?)

（1）

AAA?(t)?(t)?(t)2(p??)p??(p??)(p??) （2） （3）

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解：（1）

A?(t)?Ae??tu(t)p??

AA0??t?(t)?[?]?(t)?Ateu(t)22p??(p??)(p??)（2）

AA11A?(t)(?)?(t)?(e??t?e??t)u(t)（3）(p??)(p??)????p??p?????

信号与系统习题答案（注：教材---郑君里编）

习题三

3-2 3-2 周期矩形信号如题图3-2所示。 若：

求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

a1T2(t)dt?5?103?0?解：直流分量 T??Tf2?2??Edt?1v2

f(t)为偶函数，∴bn?0

a2?22E?n??n?

T???f(t)cosn?tdt?Sa()2TT F1E?n??n?an?Sa() 2TT

2E?Sa(??)?20sin 基波 a1?TT?0(.1?)

a1?20sin0.1??1.39 有效值 22? a2? 二次谐波有效值 21.32 a3? 三次谐波有效值 21.21

3-5

3-5 求题图3-5所示半波余弦信号的傅立叶级数。若E=10V，f=10kHz，大致画出幅度谱。

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1T2E10f(t)dt????T2T??

2T24T2an??f(t)cosn?tdt??f(t)cosn?tdtTT2T0

(n?1)???(n?1)?sinsin2E?22????T?(n?1)?(n?1)?????? ??E?5 (n?1)?2???0 (n?3,5,?)?2En?cos (n?2,4,?)?(1-n2)?2?

a0?f(t)?∴

E?E?E?44?cos?t?cos(2?t)?cos(4?t)???2?3?15???

C0?a0??

? (n?1)?5 ?Cn?an??0 (n?3,5,?)?2En?cos() (n?2,4,?)?(1-n2)?2?

I3-9 求题图3-9所示周期余弦切顶脉冲波的傅立叶级数，并求直流分量0以及基波和k

19

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i(t)?icos(?1t)?cos?m [提示：

1?cos?，

?1为i(t)的重复角频率]

解： ∵

i(t)为偶函数， ∴bn?0

a1T2im(sin???cos?)0?

T??T2i(t)dt?2??1cos(?1t)?cos?T?0im1?cos?dt??(1?cos?)

a2T24?cos(?1t)?cos?n? T??T2i(t)cos(n?1t)dt?T?0im1?cos?cos(n?1t)dt

?i(t)?a0??ancos(n?1t) 傅里叶级数：n?1

（1）

??任意值

Im(sin???cos?)0?a0?i 直流分量 ：

?(1?cos?)

Iim(??sin?co?s)1?a1? 基波：

?(1?co?s)

Im[sin(k?)cos??kcos(k?)sin?]k?ak?2ik次谐波：?k(k2?1)(1?cos?)

（2）

??60°

直流分量 ：I0?a0?0.22im

i?m(3?sin60?cos60?)I1?a1??(1?cos60?)?0.39im 基波：

k次谐波：

2iI?kcos(k?)sin?]m(sink?k?ak?2im[sin(k?)cos?3?3kcosk?3)?k(k2?1)(1?cos?)?k?(k2?1)

(3) ??90?

I?aim00? 直流分量 ：

?

I1?a1?im 基波：

2

20

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k?2Ik?2?(1?k) k次谐波：

2imcos3-3 3-3 若周期矩形信号

f1(t)和 f2(t)波形如题图3-2所示，f1(t)的参数为??0.5?s，T?1?s，E=1V；

f2(t)的参数为??1.5?s，T?3?s，E=3V，分别求：

（1）f1(t)的谱线间隔和带宽（第一零点位置）

，频率单位以kHz表示；

（2）f2(t)的谱线间隔和带宽；

（3） f1(t)和 f2(t)的基波幅度之比； （4）

f1(t)基波与f2(t)三次谐波幅度之比。

解：（1）

f1(t) ??0.5?s T?1?s E=1V

??1?1000khZ 谱线间隔：

T

Bf?12000KHz带宽：

??

(2)

f2(t) ??1.5?s T?3?s E=3V

??11000间隔：T?3khZ

B12000f?谱线带宽：??3KHz

? (3)

ft)a?4?2Ecos(2?t)dt?21(1基波幅度：T0T? ?fa42Ecos(2?t)dt?62(t)1?基波幅度：T?0T?

幅度比：1：3

4?2? （4）

fa?2(t)三次谐波幅度：T?20Ecos(3?Tt)dt??23?

幅度比：1：1

3-12 如题图3-12所示周期信号vi(t)加到RC低通滤波器电路。已知vi(t)的重复频率

f2?1?T?1kHz，电压幅度E=1V，R=1k?,C=0.1?F。分别求：

（1）

（1） 稳态时电容两端电压之比直流分量，基波和五次谐波之幅度；

（2） （2） 求上述各分量与vi(t)相应分量的比值，讨论此电路对各频率分量响应的特点。 （提示： 利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。）

21

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a1T20?v1T22EEi(t)dt?tdt??0.25解：T?0T?0T4

a2T22E?2?n??tcos(n1t)dt (?1?)

T0TT ?4E1 Tn?1?T220tdsin(n?1t)

4E?T2n2?2[(?1)n?1] 1

??0 (n?2m)?2???n2?2 (n?2m-1)

b2T22En?2?n?

T?0Ttsin(1t)dt (?1?T) ?(?1)n

n? vi(t)的幅度谱：直流分量C0?a0?0.25

C2411?a21?b1?基波

?4??2?0.37759

41五次谐波

C?a2255?b5?(25?2)2?25?2?

1?j?C1?vi(t)由电路可知：v?R??1?vi(t)c(t)j?C1?j?RC

vvi(t)c(t)? 1?(?RC)2 (??n?1)

(1)

(1) 直流分量

V0?C0?0.25

vC1c1?1?(?2基波

1RC)?0.32

22

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vc5? 五次谐波

C51?(5?1RC)2?0.02

vc0（2）

C0?1

vc1C1?0.8475

vc5C5?0.303

3-13 学习电路课时已知，LC谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与LC电路的谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。题图3-13所示RLC并联电路和电流源1i(t)都是理想模型。已知电路

i(t)2?LC，R=100k?,谐振电路品质因数Q足够高（可滤除邻近频率成分）。1i(t)的参数（?，T）为下列情况时，粗略地画出输出电压v2(t)的波形，并注明幅

为周期矩形波，幅度为1mA，当1的谐振频率为度值。

f0?1?100kHz??5?s,T?10?s； ??10?s,T?20?s；

（2）

??15?s,T?30?s； (3)

（1）

解：解：谐振频率 将1?0?2?f0?200?K

?1?2?Ti(t)展成傅氏级数，有

an?0 (

)

bn?2T24T24Ei(t)sin(n?t)dt?i(t)sin(n?t)dt? (n?1,3,5,?)1111???T20TTn?n?2m?1∴

i1(t)??b(nsin(n?1t) (m?1,2?,)

11?j?C?)v2(t)?i1(t)Rj?L由电路有：

??5?s, T?10?s

（1）

?1? ∴22?2???200?K??0T10?10?6(谐振频率)

??(t)?RIv(t)1 2127.4

即：输出幅度为127.4v，频率为100KHz的正弦波。

V?R?b?（2）

??10?s, T?20?s

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?2?21? T??20?10?6?100?K?12?0

∵ Q足够高， ∴ 基波被滤掉，只有二次谐波

又 ∵ i1(t)不包含二次谐波 ∴ V2?0

（3）

??15?s, T?30?s ?2?1??2??1?1 T30?10?63200?K?3?0 即 三次谐波

3?1??0为谐振频率

∴ V2?R?b3?42.4v

即：输出幅度为42.4v，频率为100KHz的正弦波。

3-15所示半波余弦脉冲的傅立叶变换，并画出频谱图。

??f(t)?cos(?t)G?1jt?jt?(t)?cos(t)G?(t)?G? 解:

?2(t)[e??e?]G)??Sa(???(t) ∵

2

F(j?)?E2?{Sa[(????)?(????)? ∴

2]?Sa[2]}

?E?2[Sa(??2?????

2)?Sa(2?2)]??

2E?cos()?2?[1?(??2

?)

F(0)?2E??2?2E? 频谱图: ? F()??E??2 F(?)?3?

F(jw)

3-16 求3-16所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅立叶变换。 0 3??

w

F(3??)?024

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(a) f(t)?(2E解:

Tt)GT(t)

G?(t)??Sa(??) ∵

2

2ETG?TT(t)?2ESa()∴ 2 ?jtf(t)?dF(?)由傅立叶变换性质有:

d? F(j?)?j2E?T?T∴ ?[cos(2)?Sa(2)], F(0)?0 (b) f(t)?-ET(t?T)[u(t)?u(t?T)]??ETTTT[(t?2)?2]GT(t?2) ??E

T(t?T2)GTETT(t?2)?2GT(t?2) G?(t)??Sa(??) ∵

2

?jtf(t)?dF(?) 由傅立叶变换性质有:

d?

F(j?)?E?∴ ?2T(1?j?T?ej?T) (c) f(t)?sin(2?Tt)[u(t)?U(t?T)] ?1(ej2?Tt?e?j2?Tt)[u(t)?u(t?T j2)]

2?2??1(jTt?jtT

j2e?eT)GT(t?2)

?TF(j?)?1T[Sa(??2?tT)?Sa(??2?tT)]?j2

j222e

F(j2?)ET

T?j2

4?ET?T?TF(j?)?j?j22sin()e

(2?T)??22

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(d) f(t)?sin(?1t)GT(t) (?1?f(t)sin(?0t)? ∵

2?)T

j[F(???0)?F(???0)]2

ET2?? (????)1?j2T??TF(j?)??2E?1sin()?2 (???1)?j22???1?

3-17 题图3-17所示各波形的傅立叶变换可在本章正文或附录表中找到，利用这些结果给出各波形频谱所占带宽

或频谱包络图的第一零点值），注意图中的时间单位都为

Bf?s。

（频谱图

f(t)?G?(t)?F(j?)??Sa( 解：(a)

??2

) ??4?10-6s

??

?11?106Hz?MHz244 ∴

f(t)?u(t?5)?u(t?1)?u(t?1)?u(t?5)?G?1(t)?G?2(t) (b)

B?? ?106 Bf?

?106 F(j)?022

???1?10?10?6s ?2?2?10?6s

F(j?)?10Sa(5?)?2Sa(?)

?????106 F(j)?022B??

?2

?106 Bf? ∴

11?106Hz?MHz44

(c)

12?tf(t)?[1?cos()]G?(t) ??8?10-6s2?

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(??)F(j?)??Sa2???21?(2

2?)?????

2106 F(j2)?0 B??2?106 B11 ∴

?f?4?106Hz?4MHz

F(j?)??2???2

2Sa(4)e?j?

??2??106 F(j?2)?0

B?2??106 B?106Hz?1 ∴ ?fMHz

??2?106t ( 0?t?1?62?10s)f(t)????1 (1?10?6s?t?3?10?6s?22)?-2?106(t?2?10?6) (3?10?6s?t?2?10?6 (e)

??2s)

8?1063??10?610?6F(j?)???j10?6? ?2sin[4]sin[4]e

??4??106? 3 F(j2)?0 B?4??106 B?2?106Hz2 ∴ ?3f3?3MHz

f(t)?sin?c(t?t1) ??6c?106? t1?10(f) ??tsc(t1)

???j?t1F(j?)????e (???c) ?c?0 (???c)

????106 F(j? 2)?0

B???106 B?1?101 ∴

?6f2Hz?2MHz

3-19 求题图3-19所示

F(?)的傅立叶逆变换f(t)。

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j?t0j?(?)F(j?)?F(?)e?AG(?)e (???0) 2?0 解：（a）

利用对称性，有

2?0Sa(?0t)?2?G2?0(?)

A?0 ∴

?Sa(?0t)?AG2?0(?)A?0f(t)? ∴

?Sa[?0(t?t0)]

?j??AG2?0(?)e2 ( 0????0)????j?AG(?)e2 (-?0???0)?2?0

F(j?)?F(?)ej?(?) （b）

利用对称性，有

?j[AG?0(???02)?AG?0(?????02)]

j0tj0tA?0?0A?0?t?tf(t)?jSa(t)[e2?e2]??Sa(0)sin(0)2?2?22

2A2?0t??sin()?t2

3-22 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间常数。 （1） （2）

F(?)??(???0)

F(?)?u(???0)?u(???0)

??0? (???0F(?)????(其他）?0 （3）

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解：（1）∵

?(t) ? 1

利用对称性，有 1

? 2??(??)?2??(?)

∴ ej?0t ?

2??(???0)

1ej?0t ∴ 2? ?

?(???0) ) （2） ∵

G?(t)??Sa(?2?

?Sa(t 利用对称性，有

2?)? 2?G?(?) ∵

u(t?t0)?u(t?t0)?G2t0(t)

?

2t0Sa(?t0)

?0Sa(?0t) ∴ ? ? G2?0(?)?u(???0)?u(???0)

（3）∵

G?(t)?Sa(??) ? 2 ?Sa(t 利用对称性，有

2?)

? 2?G?(?) (?0)2Sa(??0?0t)?G2?0(?)?0 (???0) ∴ ? ? ?

3-24 求题图3-24所示三角形调幅信号的频谱。

f1(t)?F211(j?)??12Sa(??4)

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f2(t)?F2(j?)??[?(???0)??(???0)]

F(j?)?∴

(???0)?1(???0)?1???1F1(j?)?F2(j?)?1?Sa2[]?Sa2[]?2?4?44?

j?(?)f(t)，已知其傅立叶变换式f(t)?F(j?)?F(?)e，利用傅立叶变换的性质（不

3-25 题图3-25所示信号

作积分变换），求：

? （1） ?(?)； （2）F（0）

； （3）???F(?)d?； （4）

F?1?Re[F(?)]?之图形。

解：（1） 令 f1(t)?f(t?1)，则f1(t)为偶函数

f1(t)?F1(j?)?F(?)ej?1(?) ∴ F1(j?)为实偶函数，即?1(?)?0

f(t)?f1(t?1)?F(j?)?F1(j?)e?j?

∴

?(?)???

（2）

F(0)即f(t)与t轴所围图形的面积

F(0)?1∴ 2?4?2?4 f(t)?1?F(jj?t（3）2?????)ed?

∴ ????F(?)d??2?f(0)?2?

（4）其图形为函数f(t)之偶分量

3-29 若已知

f(t)?F(j?)，利用傅立叶变换的性质确定下列信号的傅立叶变换：

tdf(t)（1）

tf(2t)； （2） (t?2)f(t)； （3） (t?2)f(?2t)； （4）dt；

（5） f(1?t)； （6）(1?t)f(1?t)； （7） f(2t?5)。

解： （1）由傅立叶性质有：

f(2t)?1

2F(?2)； tf(t)?jdF(?)

d? ?tf(2t)?j1dF(2) ∴

2d? （2）由傅立叶性质有：

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tf(t)?jdF(?)

d? (t?2)f(t)?jdF(?)?2F(?) ∴ d?

（3）由傅立叶性质有：

f(?2t)?12F(??

2)

?(t?2)f(?2t)?j1dF(?2)?F(??) ∴

2d?2 （4）由傅立叶性质有：

df(t)?j?F(? dt)

tf(t)?jdF(?)d?

tdf(t)?jd[j?F(?)]??F(?)??dF(?) ∴

dtd?d? （5）由傅立叶性质有：

f(t?1)?F(j?)ej? f(?t)?F(??)

∴

f(1?t)?f[?(t?1)]?F(??)e?j?

（6）由傅立叶性质有：

f(1?t)?f[?(t?1)]?F(??)e?j?

tf(1?t)?jd[F(??)e?j?]?je?j?dF(??)?F(??)e?j? d?d?

(1?t)f(1?t)??je?j?dF(??)∴

d? （7）由傅立叶性质有：

?j5? f(t?5)?F(?)e

f(2t)?1?

2F(2) f(2t?5)?1F??j5?2 ∴ 2(2)e

3-36 已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅立叶变换（见附录三），求题图3-36所示周

期梯形信号和周期全波余弦信号的傅立叶级数和傅立叶变换。并示意画出它们的频谱 图。

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F0(j?)?解： 单个梯形脉冲：

周期梯形信号傅氏级数

8E??(T??)???(T??)?sinsin????44(T??)?2????

12?F0(?)??n? (?1?)1TT

8E?2n?(T??)??2n?(T??)??sin?sin???2n?24T4T????T(T??)()T

2ET?n?(T??)??n?(T??)??22sin?sin???2T2Tn?(T??)????

F1n?f(t)? 级数：

n????Fen?jn?1t

F(?)?2? 傅立叶变换：

n????Fn?(??n?1)?2?cos(?n????Fn?(???2n?)T

??F0(?)? 单个余弦脉冲：

∴ 周期余弦信号傅氏级数

2ET1??2?1?()?????

2?T1)Fn?

12?F0(?)??n? (?1?)1T1T 2Ecos(n?)2En??(?1)?1?(2n)2?[1?4n2]

??f(t)?n???n??? 级数

3-38 已知三角形、升余弦脉冲信号的傅立叶变换（见附录三）。大致画出题图3-38中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间

?Fen?jn?1t??F?隔为

TS，令

TS??8）。

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3-41 系统如题图3-41所示，

f1(t)?Sa(1000?t), f2(t)?Sa(2000?t),

?p(t)??(t?nT), f(t)?f1(t)f2(t), fs(t)?f(t)p(t)n????。

（1） （1） 为从fs(t)无失真恢复f(t)，求最大抽样间隔Tmax；

（2）

（2） 当

T?Tmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs(?)。

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