2014年中考数学一轮复习导学案（新成稿）

中考数学第一轮复习资料

目 录

第一章 数与式

§1.1 实数的运算 §1.2 实数的运算

§1.3 幂的运算性质、整式的运算、因式分解 §1.4 分式的运算 §1.5 二次根式

第二章第二章 方程与不等式

§2.1 一元一次方程、二元一次方程（组）的解法

§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式

§2.3 一元一次不等式（组）的解法 §2.4 不等式（组）的应用 §2.5 分式方程及其应用 §2.6 方程（组）的应用

第三章 函数

§3.1 数量、位置的变化 §3.2 函数、一次函数 §3.3 反比例函数 §3.4 二次函数（1）

§3.4 二次函数（2） §3.5 函数的应用（1） §3.5 函数的应用（2）

第四章 图形与证明

§4.1 平面图形的认识、三角形 §4.2 全等三角形 §4.3 等腰三角形

§4.4 直角三角形和勾股定理 §4.5 等腰梯形

§4.6 三角形、梯形中位线 §4.7 平行四边形（1） §4.7 平行四边形（2） §4.8 矩形 菱形 正方形（1） §4.8 矩形菱形正方形（2）

第五章 圆与三角函数

§5.1 圆的认识及有关概念 §5.2 直线和圆的位置关系（1） §5.2 直线和圆的位置关系（2） §5.3 圆与圆的位置关系 §5.4 正多边形与圆

1

§5.5 圆的有关计算

§5.6 锐角三角函数 解直角三角形 §5.7 锐角三角函数的应用

第六章 图形与变换

§6.1 从三个方向看、图形的展开与折叠§6.2 图形的轴对称 §6.3 图形的平移 §6.4 图形的旋转 §6.5 图形的相似(1) §6.5 图形的相似(2) §6.6 相似的应用 §6.7 尺规作图

第七章 统计

§7.1 数据的统计 §7.2 数据的集中程度 §7.3 数据的离散程度 §7.4 统计的应用

第八章 概 率

§8.1 概 率 §8.2 概率的简单应用

2014年中考数学一轮复习导学案

第一章 数与式

§1.1 实数的运算

一、知识要点

有理数，相反数，倒数，绝对值，数轴，无理数，实数及大小比较，实数的分类． 二、课前演练

1．-5的相反数是 ；若a的倒数是-3，则a= .

2．某药品说明书上标明保存温度是(20±2)℃，请你写出一个适合药品保存的温度 ℃.

3. 小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（ ） A．4℃ B．9℃ C．-1℃ D．-9℃

4．在3.14，7错误！未找到引用源。，π和9错误！未找到引用源。这四个实数中，无理数是（ ）

A．3.14和7错误！未找到引用源。

例2 (1) 如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）

A B a -1 0 b 1 A．ab＞0 B．a-b＞0 C．a+b＞0 D．|a|-|b|＞0

(2)有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（ ）

A．2 B．8 C．32 D．22

四、巩固练习

π22733

1．把下列各数分别填入相应的集合里：8，3，－3.14159，，，-2，-，0，

378-0.02，1.414，-7，1.2112111211112?(每两个相邻的2中间依次多1个1)．

（1）正有理数集合：{ ?}； （2）有理数集合：{ ?}；

??B．π和9错误！未找到引用源。 （3）无理数集合：{ ?}；

D．π和7错误！未找到引

（4）实数集合：{ ?}．

2．计算：|3-2| = （结果保留根号）． 3．设a为实数，则| a | - a的值 ( )

C．7错误！未找到引用源。和9错误！未找到引用源。 用源。 三、例题分析

例1 (1)将(-5错误！未找到引用源。)、(-3错误！未找到引用源。)、(-cos30°)，这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是___________________________．

(2)已知数轴上有A、B两点，且这两点之间的距离为42，若点A在数轴上表示的数为32， 则点B在数轴上表示的数为 ．

03-2

A．可以是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．正数、负数均可

4．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A．2.5 B．22 C．3 D．5

-1CA12B35．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： O

2

136图110149图216

他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，?，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．15 B．25 C．55 D．1225

1

6. 一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水

2

111111

量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，??，按照

233445这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（ ） 10111A．升 B．升 C．升 D．升

1191011

三、例题分析

11-130

例1 计算：(1) 23(-5)+2-3÷； (2) |-2|+()-2cos60°+(3-2π)；

22

0-10

(3) |-2|-2sin30°+ 4+(2-π)； (4) 2+ 3cos30°+|-5|-(π-2011)．

例2 (1) 已知b＝a3＋2c，其中b的算术平方根为19，c的平方根是±3，求a的值．

?ab(a＞b，a≠0)

(2)对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=?-b 错误！未找到引用源。，例

?a(a≤b，a≠0)

-31

如2☆3=2=错误！未找到引用源。，计算[2☆(-4)]3[(-4)☆(-2)]的值．

8

§1.2 实数的运算

一、知识要点

平方根，算术平方根，立方根，乘方运算，开方运算，科学记数法，实数的运算． 二、课前演练

1．近似数0.618有__________个有效数字．

2．黄岩岛是我国的固有领土，中菲黄岩岛事件成了各大新闻网站的热点话题． 某天，小芳在“百度”搜索引擎中输入“黄岩岛事件最新进展”，能搜索到相关结果约7050000个，7050000这个数用科学记数法表示为（ ） A．7.053105

四、巩固练习

1．已知a、b为实数，则下列命题中，正确的是 ( )

A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b，则a2＞b2 D．若3a＞3，则a2＜b2

2．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下:

a+b 3+2 a*b=(a+b＞0),如：3*2==5，那么6*（5*4）= .

a-b3-23．计算：(1)2+(π-3.14)+sin60°-|-cos30°|;

-1

0

B．7.053106

C．0.7053106

D．0.705310 7

3. 设a=19-1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和54 1-1-10

4．计算：(1)18+2-6sin60°； (2)8+(2010-3)-()．

2

3

(2) -(-19)-3

1-2

83(3

)- 8+|-4sin45°|.

4．已知9x2

-16＝0，且x是负数，求32-3x的值．

5．设2＋7的小数部分是a，求a(a＋2)的值．

6．已知a、b、c满足|a-2|+b-3+(c-4)2

=0，求a2+b2-4+2c的值．

§1.3 幂的运算性质、整式的运算、因式分解

一、知识要点

幂的运算，整式的运算，乘法公式，因式分解． 二、课前演练

1．计算(x+2)2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（ ）

A．－2

B．2 C．－4 D．4

2．下列等式一定成立的是（ ）

A．a2

+a3

=a5

B．(a+b)2=a2+b2 C．(2ab2)3=6a3b6

D．(x-a)(x-b)=x2

-(a+b)x+ab

3．计算：2x32(－3x)2＝ ．

4．（1）分解因式：-a3+a2

b-1 24ab= ．

（2）计算：20002

－199932001= .

三、例题分析

例1 分解因式：

（1）m2n(m-n)2-4mn(n-m)； （2）(x+y)2+64-16(x+y)； （3）(x2

+y2)2

-4x2y2

；

例2 (1) 计算：①[-(a2)3]22(ab2)32(-2ab)； ②(-3x2y)2+(2x2y)3÷(-2x2

y)；

③(a-1)(a2

-2a+3)； ④(x＋1)2

+2(1－x)－x2

．

(2)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a＝2，b＝1．

四、巩固练习

1．已知两个单项式13m2

ab与-3anb2

是同类项，则m-n= ．

2．若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是（ ）A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0

C．y+z-2x=0

D．z+x-2y=0

3．因式分解：

(1) a3

－6a2

b＋9ab2； (2) 2x3

-8x2

y+8xy2

； (3)-4(x-2y)2

+9(x+y)2

；4．化简：

4

（1）-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)； （2）3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2)．

5．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3

+ab2

+bc2

=b3

+a2

b+ac2

， 判断△ABC的形状．

6．（1）计算．

①(a－1)(a＋1)； ②(a－1)(a2＋a＋1)；

③(a－1)(a3＋a2＋a＋1)； ④(a－1)(a4＋a3＋a2＋a＋1)．

（2）根据（1）中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来．

（3）根据（2）中的结论，直接写出下题的结果：

①(a－1)(a9

＋a8

＋a7

＋a6

＋a5

＋a4

＋a3

＋a2

＋a＋1)＝ ； ②若(a－1)2M＝a15－1，则M＝ ； ④(2x－1)(16x4＋8x3＋4x2＋2x＋1)＝ ．

§1.4 分式的运算

一、知识要点

分式的概念，分式有意义、无意义、值为0的条件，分式的基本性质，分式的运算．二、课前演练

1．若使分式x

x-2

意义，则x的取值范围是（ ）

A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜2

2．若分式x2?9x2?2x?3的值为0，则（ ）

A．x=±3 B．x=3 C．x=-3 D．x取任意值

3．下列等式从左到右的变形正确的是（ ）

A．bb?bb3a?1a?1 B．ba?bmam C．ba?aba2 D．a?a2

4．把分式xy

x2-y

2中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）

A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的1

2三、例题分析

1 先化简，再求值. a2

例a2-2a+1a2-1a2+2a - a+2÷a+1 其中a=2-2.

例2 先化简(a

21a+2 + a-2)÷a2-4

，然后选取一个合适的a值，代入求值．

四、巩固练习

5

1．当x 时，分式1

3－x

有意义．

2．已知分式x-3

x2-5x+a，当x＝2时，分式无意义，则a＝________；

．

3．化简(xyx-y

y - x)÷x的结果是( )

A. 1xy B. +yy C.x-y

y

D．y

4. 计算或化简： （1）x211x-1 -x -1 ； （2）1a2?b2?(a?b?a?b)．5．先化简，再求值：(1+ x-2x+2)÷2x

x2-4，并代入你喜欢且有意义的x的值．

2

6．先化简，再求值：1a+1-a+3a-2a+12

a2-12a2+4a+3

，其中a满足a+2a-1=0．

§1.5 二次根式

一、知识要点

二次根式的概念，二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，二次根式的加、减、乘、除运算. 二、课前演练

1. 使式子x-4 有意义的条件是 . 2. 计算：(48 - 327 )÷3 = . 3. 与a3b 不是同类二次根式的是（ ）

A. aba1b2 B. b C.ab

D.

a3 4. 下列式子中正确的是（ ）

A. 5 +2 =7 B. a2-b2 =a-b

C. ax -bx =(a-b)x D. 6+8

2 =3+4=3+2

三、例题分析

例1 计算：48 -54 ÷2+(3-3)(1+13

).

例2 已知：a+1a=1+10，求a2+1

a2的值.

变式：已知：x2

-3x+1=0，求

x2+

1

x2 -2的值. 6

四、巩固练习

1．若最简二次根式a?12a?5与3b?4a是同类二次根式，则a?______，b?_______.

112y

6. 先化简，再求值：( -)÷22 ，y=3-2 ． 2 ，其中x=3+x-yx+yx+2xy+y

2．已知?x?2?2?2?x，则x的取值范围是 . 3．若a?b?1与a?2b?4互为相反数，则(a?b)2013 =____________.

4．计算或化简： （1）a8a?2a21218a?32a3； （2）． 2?1?18?42

5. 计算或化简：

（1）5ab?(?4a3b)(a?0,b?0)； （2）(7?43)(7?43)?(35?1)2 ；

（3）23?14223?122； （4）(2?1)2009(2?1)2010．

第二章

方程与不等式

§2.1 一元一次方程、二元一次方程（组）的解法

一、知识要点

一元一次方程的概念及解法，二元一次方程（组）及其解法，解方程组的基本思想．二、课前演练

1．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知??x=2，?y=1是二元一次方程组??ax+by=7，

?ax-by=1

的解，则a-b= ．

3．方程组??x?y?3的解为 ． ?2x?y?64．已知：x?yx?y2?3?1，用含x的代数式表示y，得 ．

三、例题分析

例1解下列方程（组）：

（1）3(x+1)-1=8x； （2）??3x?2y?6x?3y?17

?2例2（1）m为何值时，代数式2m-5m-17-m

3的值比代数式2

的值大5？

7

（2）若方程组??3x?y?1?3a?3y?1?a的解满足x+y=0，求a的值．

?x

四、巩固练习

1．若??x=1，?y=2.

是关于x、y的方程ax-3y-1=0的解，则a的值为______．

2．已知(x-2)2

+|x-y-4|=0，则x+y= ．

3．定义运算“*”，其规则是a*b=a-b2

，由这个规则，方程(x+2)*5=0的解为 ．4．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点(-4,-2)，

yy=kx-40则方程组??y=ax+b，?y=kx

的解是 ．

-2xy=ax+b5．若关于x、y的方程组??x+y=5k，?x-y=9k

的解也是方程2x+3y=6 的解，则k的值为（ ）A．-3

B．34

44 C．3 D．-4

3

6．解下列方程（组）：

（1）2(x+3)-5(1-x)=3(x-1)； （2）2x?123?x?34?1；

（3） ??x?3y??1 ； （4）?x?y?8?3x?2y?8??5x?2(x?y)??1．

§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式

一、知识要点

一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）． 二、课前演练

1． 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）

A．x2+1=0 B．x2-2x+1=0 C．x2+x+2=0 D．x2

+2x-1=0

2．用配方法解方程x2-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）

A．(x-2)2

=2 B．(x+2)2

=2 C．(x-2)2

=-2 D．(x-2)2

=6

3．已知关于x的方程x2?mx?5?0的一个根是5，那么m= ，另一根是 . 4．若关于x的一元二次方程kx2

-3x+2=0有实数根，则k的非负整数值是 . 三、例题分析

例1 解下列方程：

(1) 3(x+1)2=12

3

; (2) 3(x-5)=2(x-5)；

(3) x2+6x-7=0； (4) x2

-4x+1=0（配方法）．

8

例2 关于x的一元二次方程(k?4)x?2x?1?0 ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

(2)在（1）的条件下，自取一个整数k的值，再求此时方程的根.

四、巩固练习

1．下列方程中有实数根的是( )

1x222

A．x+2x+3＝0 B．x+1＝0 C．x+3x+1＝0 D．=

x-1x-1

2

2．若关于x的方程(a-1)x-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜-2 3．若直角三角形的两条直角边a、b满足(a+b)(a+b+1)=12，则此直角三角形的斜边长

为 ．

4．阅读材料：若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则两根与方程

bc

系 数之间有如下关系：x1+x2=-，x1x2=．

aa

11

根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则+= ．

x1x2

6．先阅读，然后回答问题：

解方程x2-|x|-2=0，可以按照这样的步骤进行：

2(1)当x≥0时，原方程可化为x-x-2=0，解得x1=2，x2=-1（舍去）． (2)当x≤0时，原方程可化为x+x-2=0，解得x1=-2，x2=1（舍去）． 则原方程的根是_____________________． 仿照上例解方程：x-|x-1|-1=0．

2

2

2

§2.3 一元一次不等式（组）的解法

一、 知识要点

不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及应用． 二、课前演练

1．用适当的不等号表示下列关系：(1)x的5倍大于x的3倍与9的差： ； (2)b-1是非负数： ； (3)x的绝对值与1的和不大于2： ．

2．已知a＞b，用“＜”或“＞”填空：

2

2222

2

(1)a-3 b-3； (2)-3a -3b； (3)1-a 1-b； (4)m2a m2b(m≠0)．

3．(1)不等式-5x＜3的解集是 ； (2)不等式3x-1≤13的正整数解是 ；

5．解下列方程：

（1）(y+4)=4y ； （2）2x+1=3x（配方法）；

（3）2x(x-1)=x-1； （4）4x-(x-1)=0．

2

2

2

2

2

(3)不等式x≤2.5的非负整数解是 ．

?x+1＞0，4．把不等式组?的解集在数轴上表示，正确的是（ ）

?x-1≤0

-101-101-101-101 A B C D 三、例题分析

9

??3x-7＜2(1-3x)，3x-1例1 解不等式组：?x-3，并把它的解集在数轴上表示出来． +1≤

?4?2

(2)已知点P(1-m,2-n)，如果m＞1，n＜2，那么点P在第( )象限 A．一 B．二 C．三 D．四

??5x-12≤2(4x-3)，6．(1)解不等式组：?3x-1，并把它的解集在数轴上表示出来．

＜1??2

??3(2x-1)＜2x+8，x-1． 例2 已知不等式组：?3(x+1)

2+ ＞3- ?84?

(1)求此不等式组的整数解；

(2)若上述的整数解满足方程ax+6=x-2a, 求a的值.

(2)若直线y=2x+m与y=-x-3m-1的交点在第四象限，求m的取值范围．

四、巩固练习

1．(1) 不等式2x-7<5-2x的正整数解个数有____个；(2)关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1的解集为x＜1，那么a的取值范围是 ；

§2.4 不等式（组）的应用 一、知识要点

能够根据具体问题中的数量关系，建立不等式（组)模型解决实际问题． 二、课前演练

3?x(3) 不等式?8?0的解集是 ．

2?2x-1＜3，2. (2013苏州)不等式组?的解集是 ．

?1-x≥2

?x-1≤0，3．不等式组?的整数解是 ． ．．．?-2x＜3

yA-31．已知：y1=2x-5，y2=-2x+3．如果y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＜-2

Ox2．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每题4个答案，其中只有一个正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应答对题（ ）

A．18题 B．19题 C．20题 D．21题

3．某公司打算至多用1200元印刷广告单，已知制版费50元，每印一张广告单还需支付

4．如图，直线y=kx+b过点A(-3，0)，则kx+b＞0的解集是_________．

?x+4＞3，5.(1)不等式组?的解集在数轴上可表示为（ ）

?x≤1

-101-101-101-101A B C D

10

1.已知一次函数y=kx+k-3的图像经过点（2，3），则k的值为______.

2.在正比例函数y=﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m，5)在第________象限．

3.若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（ ）

A.2 B.-2 C.1 D. -1 4. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

x+3

5. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）

x-1

D．第四象限

一、知识要点

§3.3 反比例函数

反比例函数的概念、图象和性质；待定系数法. 二、课前演练

1

1．若函数y=- 的图象上有两点A(1,y1)，B(2,y2)，则y1 y2

x（填“＞”或“?”或“＜”）．

2．如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，

点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为 ．

y3A xO1(第2题图)

3．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（ ）

输入x 取倒数 3(-5) 输出y A．x≥-3 B．x≥-3且x≠1 C．x≠1 D．x≠-3且x≠1 6.如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm．用含x的代数式填空：

（1）用含的代数式填空：当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2xkm，货车从H到B往返1次的路程为____ km，货车从H到C往返2次的路程为_____km，这辆货车每天行驶的路程y=______．当25＜x≤35时，这辆货车每天行驶的路程y=__________；

（2）请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图象； （3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？

恒

A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第一、四象限 2

4．对于反比例函数y= ，下列说法不正确的是（ ） ．．．xA．点(-2，-1)在它的图象上 C．当x＞0时，y随x的增大而增大

三、例题分析]

例1已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和

k

反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.

x（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）求△AOC的面积；

m

（3）求不等式kx+b-＜0的解集（直接写出答案）.

x

B．它的图象在第一、三象限

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

例2如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例

m

函数y= 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D.若OA=OB=OD=1.

x（1）求点A、B、D的坐标；

16

（2）一次函数和反比例函数的解析式.

四、巩固练习

m－1

1．反比例函数 y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是________．

xk

2．过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，

x如果△ABC的面积为3.则k的值为________．

2

3.已知一次函数y=x-b与反比例函数y=的图象，

x有一个交点的纵坐标是2，则b的值为________． 4.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，

k

反比例函数y=经过正方形AOBC对角线的交点，半径为

x4-22的圆内切于△ABC，则k的值为________．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数

k

y=的图象的一个交点为A(-1，n)． x

k

(1)求反比例函数y＝的解析式；新

x(2)若点P在坐标轴上且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

k20

6．如图，直线AB交x轴于点C，与双曲线y=交于A(3，)、

x3B(-5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.

(1)求点B的坐标及直线AB的解析式； (2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．

§3.4 二次函数（1）

一、知识要点

二次函数的概念、图象、性质. 二、课前演练

1．填写下表： 函数解析式 y=x y=-x+1 y=2(x-3) y=-2(x-1)+8 y=x+4x-4 22222开口方向 2

对称轴 顶点坐标 最大(小)值 与x轴交点坐标 2．将二次函数y=x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数关系式是__________________________.

3．把二次函数y=-(x-1)+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 .

4．已知点A(x1,y1), B(x2,y2)在二次函数y=-(x-1)+1错误！未找到引用源。的图象上，若x1＞x2＞1错误！未找到引用源。，则y1___y2 .

三、例题分析

例1对于二次函数y=x-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点；新- 课 -标-第 -一- 网 ②如果当x≤1时,y随x的增大而减小，则m=1；

2

2

2

17

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）

32

例2已知：抛物线y= (x-1)-3.

4（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与x轴的右交点为A、与y轴的交点为B、顶点为C，求△ABC的面积； （4）将此抛物线作怎样的一次平移,使它与坐标轴仅有两个交点？并求平移后的抛物线

的解析式. 四、巩固练习

1．若二次函数y=ax+bx+a-1（a≠0）的图像如图所示， 则a的值是________． 2．已知下列函数 ①y=x; ②y=-x; ③y=(x-1)+2，其中， 图象通过平移可以得到函数y=x+2x-3的图像的有 （填写所有正确选项的序号）. 3．已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列 4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b-4ac＜0. 其中正确的结论有__ ___个. 4. 抛物线y=ax+bx+c上部分点(x, y)的对应值如下表： x y ? -2 -1 ? 0 4 0 6 1 6 2 4 ? ? 22速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.

2

§3.4 二次函数（2）

一、知识要点

确定二次函数的关系式. 二、课前演练w W w x K b 1.c o M

22

1. 抛物线顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2).则此抛物线解析式是 . 2. 抛物线过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点.则此抛物线解析式是 .

2222（第1题图） 3. 抛物线过A(1,4),B(-1,-1),C(3，-1)三点.则此抛物线解析式是 . 4. 已知直线y=x-2和抛物线y=ax+bx+c的两个交点分别在x轴和y轴上，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的解析式. 2

y 21x=1 22-1 12O24x 68（第3题图） 下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线1的对称轴是直线x=；④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大. 正确的有（ ） 234三、例题分析

例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c 经过A(-2，-4)，O(0，0)，B(2，0)三点． （1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

A2

2

yBOxA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．如图，抛物线y=x+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

6．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀

2

12

例2如图,直线y=-x+2分别交y轴、x 轴于点A、B,抛物线y=-x+bx+c过点A、B.

2

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N. 求当t 取

18

何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.

四、巩固练习

1. 已知二次函数y=ax+bx+c的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象过点(3，-6)，求其解析式.

2. 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是(-1,2)，且a+b+c+2=0，求其解析式.

3. 把抛物线y=ax+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后顶点坐标为(-2，0)，且a+b+c=0.求a、b、c的值.

4.如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C(1，0)三点.

（1）求抛物线的解析式;

2

2

2

2

（2）若点D的坐标为(-1，0)，在直线y=-x+3上有一点P,

使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在

点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？ 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

§3.5 函数的应用（1）

一、知识要点

一次函数、反比例函数的应用. 二、课前演练

1. 一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与

时间x（小时）之间的函数关系如图所示 当时 0≤x≤1， Oy关于x的函数解析式为y=60x，那么当 1≤x≤2时，y 关于x的函数解析式为_____ _______________. 2. 甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米

的地方参加植树活动. 图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人 前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函 数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．

三、例题分析

例1小颖和小亮上山游玩，小颖乘缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发xmin后行走的路程为ym．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系． ?小亮行走的总路程是_______㎝,他途中休息了______min． ?①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式；

y/m 3000 1950 y12x（第1题图）

s(千米)ll乙甲061830t(分)（第2题图）

O 30 50 80 x/min 19

②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少？

k1

例2如图，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点（错误！未找到引用源。，8），直线y=-x+b

x2

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

4. 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停

止操作，共经历了多少时间？

QOAx经过该反比例函数图象上的点Q(4，m错误！未找到引用源。)． (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；

(2)设该直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数 图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．

四、巩固练习

yBP

1. 拖拉机开始行驶时,油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油y（升）与它工作的时间t（时）之间的函数关系的图象是（ ）

A B C D

则其自变量x的取值范围是（ ） 5

A．0＜x＜5 B． ＜x＜5 C．一切实数 D．x＞０

23.我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择:

方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元， (1)分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(km)之间的函数关系式；

2. 已知等腰三角形的周长为10㎝，将底边长y㎝表示为腰长x㎝的关系式是y=10－2x,

§3.5 函数的应用（2）

一、知识要点

二次函数在实际问题中的应用. 二、课前演练

1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，

以水平地面为x轴，出水点为原点，建立直角坐标系， 水在空中划出的曲线是抛物线y=-x+4x（单位：米）的 一部分，则水喷出的最大高度是( )

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 2.2011年5月22日—29日在美丽的青岛市

举行了苏迪 曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某

12

次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x+bx+c的一

4

(第2题图) (第1题图)

2

20

部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落 A．50m B．100m C．160m D．200m

地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ) 3.如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小

123123123123A．y=-x+x+1 B.y=-x+x-1 C.y=-x-x+1 D.y=-x-x-1 正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ） 44444444三、例题分析

例1一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．

(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元．

(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．

(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）3年销售量．

四、巩固练习

1.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管

1

的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图

2

A． B． C． D．

4. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图）. （1）根据图象，求出一次函数的解析式； （2）设公司获得的毛利润为S元.

①试用销售单价x表示毛利润S；

②请结合S与x的函数图象说明：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少？

5.一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

1225

y=- x+x+，铅球运行路线如图.

1233

（1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.

y32

所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） 112121212

A．y=-(x-)+3 B．y=-3(x+)+3 C．y=-12(x-)+3 D．y=-12(x+)+3 O22222.某公园草坪的防护栏由100段形状

相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段 护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护 栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需 要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

2 第2题图

1x

第四章 图形与证明

§4.1 平面图形的认识、三角形

一、知识要点

平面图形的认识（点、线、面、角有关概念，图形的平移，直线平行条件和性质）；三角

第1题图

0.5 0.4 21

形的有关概念. 二．课前演练

1

1．已知线段AB，反向延长AB到C，使AC=BC，D为AC中点，若CD=2cm，则AB= cm.

32．已知∠α的补角是130，则∠α= 度．

3．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组

成的三角形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下图能说明∠1＞∠2的是( )

2 ) ) 0

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，

则∠CAP=_______°．

3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，

点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1=______°． 4．不一定在三角形内部的线段是（ ）

1 ) 1 2 ) 1 C.

) 1 ) 2 B.

2 D.

A.

三、例题分析

例1 如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．

ABCED A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 5．如图，三角形纸片ABC中，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内. A（1）若∠A=65°，∠B=75°，∠1=20°，求∠2的度数．

2（2）若∠C=n°，求∠1+∠2的度数． C1

B

6．如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试解答下列下列问题: (1)求证：∠P=90°．

(2)如图2，过上述点P任作一直线分别交AB、CD于点G、H，PG与PH有何关系，为

什么?

(3)如图3，以上述的点P为圆心作⊙P切AB于点M，则①EF、CD与⊙P有何位置关系？说说你的理由．②若EM=5cm，EF=13cm，求⊙P的半径．

AEPFC图1例2 如图，∠ACD是△ABC的外角，?ABC的平分线与?ACD的平分线交于点A1，

?A1BC的平分线与?ACD的平分线交于点A2，?，?An?1BC的平分线与?An?1CD的1平分线交于点An. 设∠A＝?. 则（1）求?A1、∠A2的度数； （2）猜想?An= °.

四、巩固练习

1．如图，长方形网格中每个小长方形的长为2，宽为1，点A、B都在网格格点上，若点

C也在格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（ ） A．2

B

BCDAA1A2BAEGBPHAEMBP

一、知识要点

全等三角形性质及判定方法. 二、课前演练

DFC图2DCF图3D§4.2 全等三角形

B．3

C．4 A D．5

ADE22

PDA BCBCA1（第1题图） （第2题图） （第3题图）

1．如图1，AB=AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） ．．

A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠ADC=∠AEB D．DC=BE

2．如图2，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

C

AE M A

DCD E DEEDA B FFN 1BAB2CF C图1 图4图2 图3B

3．如图3，AB=DB，∠1=∠2，只需添加一个条件 ，就可得到△ABC≌△DBE． 4．如图4，AB=DC，AD=BC，点E、F在AC上，且AF=CE，若∠CEB=110°，∠BAC=30°， 则∠CDF= °． 三、例题分析

例1在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE， ②BF=EC， ③∠B=∠E， ④∠1=∠2.

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论.组成一个真命题，并给予证明. 题设： ；结论______.（均填写序号） 证明：

例2如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长的一半为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．

四、巩固练习

1．下列命题中，真命题是（ ）

A．周长相等的锐角三角形都全等； B．周长相等的直角三角形都全等； C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等

AFPECNBMD122．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

A

O P B

（第2题图）

A E

AB （第3题图）

F C

CD（第4题图）

B3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是 .

4．如图，△ABC中，∠C =90，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．

5．如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．

E 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

A

B

D C

0

ADBFCE6．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG-GE=EA．

C2

2

2

BFHGDEA§4.3 等腰三角形

一、知识要点

等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.

23

二、课前演练

A1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .

D2．如图1，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线， E分别交AB、AC于点D、E.

BC0

(1)若∠C=70，则∠CBE= °，∠BEC= °. (第2题图) (2)若BC=21cm，则△BCE的周长是 cm.

A

3. 如右图，在△ABC中，D，E分别是边AC、AB的中点，

E D 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )

A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC C B (第3题图) 4．如下图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离

C相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是( ) A．P为∠A、∠B两角平分线的交点

PB．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 BA(第4题图) D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 三、例题分析

例1 如图，△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. （1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；

（2）若连接AO，并延长AO交BC于点F.你有哪些发现？请写出两条，

并就其中的一条发现写出你的发现过程. (由课本P29例2改编）

例2 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，

∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

A

APDBC图1 图2

3．如图2，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABCD是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）

A． 1 B. 2 C. 3 D. 4

4．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）

B? 36A 0 A 45C

B? 0 A 900 C

B? (3) C B? A 1080 (4) C

AEOBBEMC(1) (2) A.(1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (2)(3) (4) D. (1)(3)(4)

DC5．如图，在直角△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

CD

ABE6. 如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC沿直线AD折叠后，点C

D落在C′的位置上，求BC′的长.

w W w x K b 1.c o M AC'

四、巩固练习

1. 在△ABC中，∠C=90，AC的垂直平分线交AB于点D，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,AC=10,DC=6.则D到BC的距离为___ .

BDC

§4.4 直角三角形和勾股定理

一、 知识要点

24

直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 课前演练

1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB的度数 为__ ___?.

3．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）

B图1

边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度．

OA

2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______．

3．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A．5米 B．3米 C．(5+1)米 D．3 米

三、例题分析

例1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：

（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）

122

例2 抛物线y=-x+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

22（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明:△ABC为直角三角形；

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理

四、巩固练习

1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的

图2

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．12

5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）.

6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长

§4.5 等腰梯形

ABC3Cx425

AB

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．

已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( )

A．2条

B．4条

C．5条

D．6条

5．如图，矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF.

2．如图,菱形ABCD中,点A、B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= ． 3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）

A．20 B．15 C．10 D．5

4．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60° 三、例题分析

例1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形， 试判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．

例2 如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60o，求证：BE=DF； (2)如图2，若∠EAF=60o，求证：△AEF是等边三角形．

DGCEFAB

A F E B C D 图1 6．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm）． （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F

为顶点的三角形以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

2

§4.8 矩形菱形正方形（2）

一、知识要点

菱形、正方形的概念；菱形、正方形的性质与判定，能运用其解决生活中实际问题． 二、课前演练

1．如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝．

D A

E B C A

2

四、巩固练习

1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）

A. ∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD[w#w 2.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积

DD FC31

DAOBCB C

EAB(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)

是 ( )

A．163 B．16 C．83 D．8 3.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=60．弧BD

是以点A为圆心、AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心、 BC长为半径的弧．则阴影部分的面积为 cm．

求证：AE?AF．

A [中国教育出@^&版网#*]

B E C （1）求证:DE=EC； 1

（2）若AD=BC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由．

2

6. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC?BD，E、F、G、

H分别为AB、BC、CD、DA的中点. （1）求证：四边形EFGH为正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

F D

2

0

第五章 圆与三角函数

§5.1 圆的认识及有关概念

一、知识要点

圆的有关概念，点和圆的位置关系，圆的对称性（中心对称性：弧、弦、圆心角的关系，轴对称性：垂径定理），圆周角定理及推论，确定圆的条件，三角形的外心. 二、课前演练

1. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则线段OM的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

2．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=700，那么∠A的度数为（ ） A. 70 B. 35 C. 30 D. 20

AABC

DAMO COBODCEA BFB （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．如图，过D、A、C三点的圆的 圆 心为E， 过B、E、F三点 的圆的圆心为D，如果 ∠A=63 o，那么∠B= o．

4．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC=40°，则∠BOC= °．

三、例题分析[来源*:中&~#^教网]

例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O 交BC于D，交AC于E． （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD． A OE

CB D

0000(第3题图)

4. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且CE?CF．

5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°,E为BC上一点,∠BDE=∠DBC.

32

例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD． （1）求证：OC∥BD；

（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．

C AD

6. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE． ?试说明：△ABE与△ADC相似；

O D C

B ?若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.

A E

OB

§5.2 直线和圆的位置关系（1）

一、知识要点

直线和圆的位置关系（相离、相切、相交），切线的性质与判定，切线长定理. 二、课前演练

C O A D A D B

A B C D 2. 已知圆O的半径为R，AB是直径，D是AB延长线上一点，DC是 切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（ ） B A D 3 O A．2R B．3 R C．R D． R 2C 3．如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB 的距离为______ cm时，直线AB与⊙0相切．

4. 如图，PA是⊙O的切线，直线PBC过点O，交⊙O于B、C， 若PA=8cm，PB=4cm，则⊙O的直径为_________cm．

三、例题分析：

COBPA四、巩固练习

1．如图，在535正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A．点P B．点Q C．点R D．点M

A B C C 1

56o A l2

C B P 1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ）

P Q R M B l1

（第1 题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）

2．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2

于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=56o，则∠1= ( )

A．36o B．68o C．72o D．78o

3. 如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B（ ） A．30°

B．35°

C．40°

D．50°

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。

5．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。

33

例1 如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（点

A C与点B不重合），连接AC交⊙O于D，切线DE交BC于E. （1）在点C运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数； （2）在点C运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；

例2 如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：(1)△BCD∽△ADE； (2)DF是⊙O的切线．

BDEOCFA5．（2012?天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；

（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小.

6．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts． （1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P

与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

D ． ＯB A ． ＯB

M C E

图1

D M C E

图2

四、练习巩固

1．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定

2. 设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，

则d与r的关系是（ ）

A. d≤r B. d＜r C. d≥r D. d=r 3．如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O

的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O 与直线PA相切时，圆心O平移的距离为 _____ cm．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则k+b的值为___ ．

§5.2 直线和圆的位置关系（2）

一、知识要点

切线的性质和判定，三角形的内切圆（内心和外心的区别）。 二、课前演练

1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6㎝，AB=4㎝，则⊙O的半径为（ ）

A.45㎝ B.25㎝ C.213㎝ D. 13㎝

34

2．如图2，⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，切线PC交AB的延长线于P，则∠P（ ） A．150

B．200

C．250

D．300

ACADF OAOBPO BB

1 图2 EC图图3

3．Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为 ． 4．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE= ．

三、例题分析：

例1如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. （1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

例2如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．

四、巩固练习：

35

1. 如图，BC是⊙O直径，AD切⊙O于A，若∠C=40°，则∠DAC=（ ） A.50° B.40° C.25° D.20°

2．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O过顶点A、B，且与CD相切，则圆的半径为（ ）

A.43 B.55

4 C.2

D.1 ADy

ABB

BCO ODCA O P x (第1题图) (第2题图) (第3题图)

3. 如图，直线y=

3

3

x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O的直径．

5. 如图，⊙O直径AB=4 ，∠ABC=30°，BC=43, D是线段BC中点． （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O切线．

6．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC交于点D，点E在AB上，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）AC与⊙D相切吗？并说明理由．

（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？

36

§5.3 圆与圆的位置关系

一、知识要点

四、巩固练习

1．相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是

圆与圆的5种位置关系；与圆心距、两圆半径有关的计算. 二、课前演练

1．如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种

位置关系，但还有一种位置关系没有反映出来，它是两圆 ． 2．已知⊙O 1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们

的圆心距为10cm，则⊙O( )

1与⊙O2的位置关系是（ ） （第1题图）

A．外切 B．相交 C．内切 D．外离

3．圆心距为2的两圆相切，若一圆的半径为1，则另一圆的半径为（ ） A．1 B．3 C．1或2 D．1或3

三、例题分析

例1 三角形三边长为5cm、12cm、13cm，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求此三个圆的半径.

例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．

（1）当t=1.2s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

37

（ ）

040202404A B C D

2．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值是 A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2

3．已知⊙O2

1与⊙O2的半径分别是方程x-4x+3=0的两根，且O1O2 =t+2，若这两个圆相切，则t= ．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 个．

5．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，求雕塑的最高点到地面的距离. 6．如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm．

⊙A以2cm/s的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．

（1）试写出点A、B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数关系式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？

§5.4 正多边形与圆

一、知识要点

正多边形的概念；正多边形与圆的有关计算；正多边形平面镶嵌. 二、课前演练

1．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为___________. 2．半径为r的圆内接正三角形的边长为________.（结果可保留根号）． 3．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，

则阴影部分的面积为（ ）

π2ππ2π

A. 3- B. 3- C. 23- D. 23- 2323

4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为（ ）

A．(4+5)cm B．9cm C．45cm D．62cm

三、例题分析

例1 如图，已知⊙O的周长等于12πcm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积. B

C D 形是正几边形？请说明理由;

②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为________. ﹒

2O E

A F

2

四、巩固练习

1．一正多边形绕它的中心旋转45°后，就第一次与原图形重合，那么这个多边形 （ ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图

形

2．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是 （ ） A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形

3．一个多边形的每个外角与它相邻的内角比都是1：3，这个多边形是_________边形． 4．如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是__________．

5．（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN、AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．

（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，

点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BNAM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．

（3）如果将(1)中的“正三角形”改为正五边形?正n边形(如图3),其余条件都不变,请你根据(1)、(2)的求解思路,将你推断的结论填入下表：(注：的各个角都相等) ∠BQM的度数 正五边形 ? ? 正n边形 例2 （1）如图1，已知△PAC是⊙O的内接正三角形，那么∠OAC=____________； （2）如图2，设AB是⊙O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC=α.

①如果α=45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边

38

§5.5 圆的有关计算

一、知识要点

圆周长、弧长、扇形面积等计算；圆锥的侧面积与全面积的求法. 二、课前演练

1．如果一个扇形的半径是1，弧长是π

3，那么此扇形的圆心角= °.

2．一扇形的圆心角为120°,半径为3,则此扇形面积为_______（结果保留π）. 3．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2

．则这个扇形的半径是_____. 4.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为________. 三、例题分析

例1 有一直径是1cm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角 是90°的扇形CAB．

（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？

（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少（结果可用根号表示）．

例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的长； （2）求图中阴影部分的面积．﹒

四、巩固练习

1．一扇形圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ） A．6cm B．12cm C．23cm D．6cm

39

2．如图,一枚直径为4cm的圆形古钱币沿直线滚动一周,圆心移动的距离是( )

A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm

3．如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．πcm2 B．22

12223πcm C．2cm D．3

cm

4．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB⊥半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是________．

(第2题图) (第2题图) (第3题图)

5．如图，⊙O中，弧AD=弧AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC． （1）求证：AC2

=AB?AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

6．如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E． （1）求证：⊙D与边BC也相切；

（2）设⊙D交BD于H，交CD于F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=3S△MDF时，求动点

M经过的弧长（结果保留π）．

§5.6 锐角三角函数 解直角三角形

四、巩固练习

一、知识要点

三角函数的定义，特殊角的三角函数值. 二、课前演练

1．计算:sin60°

cos30°

-

tan45°的值是 ．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是

A. 12 B. 2 C. 55 D. 52

3. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A．12332 B．2 C．2 D．3

4．已知α为锐角，且cos(90°-α)=1

2，则α的度数为（ ）

A．30° B．60° C．45° D．75°

三、例题分析

例1 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=12，求CD∶DB.

例2 在Rt△ABC中，∠C=900

，∠A=300

，E为AB上一点，且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，

连接FB，求tan∠CFB的值.

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1. 已知α为锐角，tan(90°-α)=3，则α的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

2. 如图1，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约为（ ） A．5.2 m B．6.8 m C．9.4 m D．17.2 m A a C B

9.0ｍ B A

C

图1 图2 图3 图4

3. 已知A是锐角，且sinA1

=3，则cos(90°-A)=___________．

4. 计算：sin2

30°-cos45°2tan60°.

5. 在△ABC中，∠A、∠B都是锐角,且sinA=1

2，tanB=3，AB=10，求△ABC的面积.

6. 如图5，将一副三角尺如图摆放在一起，连接AD，试求∠ADB的正切值. D

B D

B A

C

A C

图5

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