2012电大高等数学基础形成性考核手册答案

高等数学基础形考作业1：

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A.

f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2f(x)?lnx3，g(x)?x

C.

，g(x)?3lnx D.

x2?1 f(x)?x?1，g(x)?x?1⒉设函数

f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称．

A. 坐标原点 B. ⒊下列函数中为奇函数是（B）． A.

x轴

y?x

C. y轴 D.

y?ln(1?x2) B. y?xcosx

ax?a?xy?2 D.

C.

y?ln(1?x)

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A.

y?x?1 B. y??x

C.

y?x2 D.

??1,x?0 y??x?0?1,⒌下列极限存计算不正确的是（D）． A.

x2lim2?1 B. limln(1?x)?0

x?0x??x?2limsinx1?0 D. limxsin?0

x??x??xx⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量．

sinx1 A. B.

xx1 C. xsin D. ln(x?2)

x C. ⒎若函数 A. C.

f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

x?x0limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

x?x0x?x0?x?x0limf(x)?f(x0) D. limf(x)?limf(x)

??（二）填空题

1

⒈函数

f(x)?x2?9?ln(1?x)的定义域是?3,???．

x?3⒉已知函数

f(x?1)?x2?x，则f(x)? x2-x ．

11x)?e2． ⒊lim(1?x??2x1?x?f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k?

?x?0?x?k,⒋若函数e ．

?x?1,x?0⒌函数y??的间断点是x?0．

?sinx,x?0⒍若

x?x0limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为x?x0时的无穷小量。

（三）计算题 ⒈设函数

?ex,x?0f(x)??

x,x?0?求：解：

f(?2),f(0),f(1)．

f??2???2，f?0??0，f?1??e1?e

y?lg2x?1的定义域． x⒉求函数

?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0

x2?x?0????x?0? 则定义域为?x|??1?x?0或x??

2?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R

2

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE?OA2?OE2?R2?h2则上底＝2AE故S ?2R2?h2 h??2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2sin3x⒋求lim．

x?0sin2xsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??

x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2x????x2?1⒌求lim．

x??1sin(x?1)x2?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2 解：limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1tan3x．

x?0xtan3xsin3x1sin3x11?lim??lim??3?1??3?3 解：limx?0x?0xxcos3xx?03xcos3x1⒍求lim1?x2?1⒎求lim．

x?0sinx1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?1)x2?lim?lim解：lim2x?0x?0x?0sinx(1?x?1)sinx(1?x2?1)sinx

?limx?0x(1?x2?1)sinxx?0?0

?1?1??1⒏求lim(x??x?1x)． x?3111(1?)x[(1?)?x]?1x?1xe?1xxx?x解：lim()?lim()?lim?lim?3?e?4 xx??x?3x??x??x??33e11?(1?)x[(1?)3]3xxx31?x2?6x?8⒐求lim2．

x?4x?5x?4x2?6x?8?x?4??x?2??limx?2?4?2?2

解：lim2?limx?4x?5x?4x?4?x?4??x?1?x?4x?14?13⒑设函数

3

?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1

?x?1,x??1?讨论

f(x)的连续性。

??1,x?1处讨论连续性

解：分别对分段点x （1）

x??1?x??1?limf?x??limx??1x??1?limf?x??lim?x?1???1?1?0x??1?x??1?x??1?

所以（2）

x?1?x?1?limf?x??limf?x?，即f?x?在x??1处不连续

limf?x??lim?x?2???1?2??1x?1?x?1?22limf?x??limx?1f?1??1所以limx?1?

f?x??limf?x??f?1?即f?x?在x?1处连续

x?1?由（1）（2）得

f?x?在除点x??1外均连续

高等数学基础作业2答案：

第3章 导数与微分

（一）单项选择题 ⒈设 A. C.

f(0)?0且极限limx?0f(x)f(x)?（C）． 存在，则limx?0xxf(0) B. f?(0) f?(x) D. 0cvx f(x)在x0可导，则limh?0 ⒉设

f(x0?2h)?f(x0)?（D）．

2h A. C.

?2f?(x0) B. f?(x0) 2f?(x0) D. ?f?(x0)

⒊设 A.

f(x)?ex，则lim?x?0e B. 2e C.

f(1??x)?f(1)?（A）．

?x11e D. e 24 ⒋设

f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．

4

A.

99 B. ?99 C. 99! D. ?99!

⒌下列结论中正确的是（C）． A. 若 C. 若

f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．

（二）填空题

⒈设函数

1?2xsin,x?0?，则f?(0)? f(x)??x?x?0?0, 0 ．

⒉设

f(ex)?e2x?5ex，则

df(lnx)2lnx5??xxdx1

。 2

。

⒊曲线

f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?

⒋曲线

f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是y?1。

π2 ⒌设

y?x2x，则y??2x2x(1?lnx)

y?xlnx，则y??? ⒍设

1。 x（三）计算题 ⒈求下列函数的导数

y?：

⑴

y?(xx?3)ex

31x 解:y??xx?3e?xx?3?e? ?(x?3)e?x2e

2???x??x?32x⑵

y?cotx?x2lnx

??2?22??解：y??cotx??x?lnx?x?lnx???cscx?x?2xlnx

x2⑶y?

lnx??x?lnx?x?lnx?解：y??22?ln2x?2xlnx?x

ln2x5

cosx?2x⑷y?x3

??x(?sinx?2?cosx?2?x??cosx?2??x?解：y?? ??x?x3x332xln2)?3(cosx?2x) 4xlnx?x2⑸y?sinx

?lnx?x?解：y??2?1sinx(?2x)?(lnx?x2)cosx2sinx??lnx?x??sinx?x? 22sinxsinx?⑹

y?x4?sinxlnx

sinx??4?3???????y?x?sinxlnx?sinxlnx?4x??cosxlnx 解：

xsinx?x2⑺y?3x

???sinx?x?3??sinx?x??3?解：y???3?2x2xx23x(cosx?2x)?(sinx?x2)3xln3 ?2x3⑻

y?extanx?lnx

解：

y???ex??ex1tanx?e?tanx???lnx??etanx? ?2cosxxx??x⒉求下列函数的导数

y?：

⑴

y?ex

解：

y??e????e?xx?1?11?x2?e22xx

⑵

y?lncosxy??

解：

1??sinx???sinx??tanx

cosxcos ⑶

y?xxx78

???7?81解：y???x????8x

??

6

⑷

y?sin2x

?y??2sinx?sinx??2sinx?cosx?2sin2x

解：⑸

y?sinx2

解：

y??cosx2?2x?2xcosx

x2

⑹

y?cose解：⑺

y???sineex2????2xex2?x2sinex2

y?sinnxcosnx

解：

??y???sinnx?cosnx?sinnx?cosnx??nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)

sinxy?5⑻

解：

y??5sinxln5?cosx?ln5cosx5sinx

⑼

y?ecosx

y?y(x)是由方程确定的函数，求y?：

cosxcosx???y?e?sinx??sinxe解：

⒊在下列方程中，

⑴

ycosx?e2y

y?cosx?ysinx?2e2yy? y??ysinxcosx?2e2y

解：⑵

y?cosylnx

y??siny.y?lnx?cosy.1cosy y?? xx(1?sinylnx)解：

x2⑶2xsiny?y

2xy?2ysiny2yx?x2y?x22yx??解：2xcosy.y??2siny? y?y(2xcosy?)??2siny2xy2cosy?x2y2y2y2 ⑷

y?x?lny

7

解：

y??y?y ?1 y??yy?1y⑸lnx?e?y2

解：

11?eyy??2yy? y?? yxx(2y?e)⑹

y2?1?exsiny

x解：2yy??ecosy.y??siny.ex

exsiny y??x2y?ecosy⑺ey?ex?y3

y解：ey??e?3yy?

x2exy??y?3y2

e⑻

y?5x?2y

y??5ln5?y?2ln2

xy解：

5xln5y?? y1?2ln2⒋求下列函数的微分dy：（注：dy⑴

?y?dx）

?1cosx?)dx

cos2xsin2xy?cotx?cscx

解：⑵

y???csc2x?cscxcotx dy?(lnx sinxy?11sinx?lnxcosxsinx?lnxcosxxxdx 解：y?? dy?22sinxsinx⑶

y?sin2x

y??2sinxcosx dy?2sinxcosxdx

解：

⑹

y?tanex

y??sec2ex?ex dy?sec2ex?exdx?exsec2exdx

33解：

⒌求下列函数的二阶导数：

8

⑴

y?x

33??1?1111??解：y??x2 y???????x2??x2

22?2?4⑵

y?3x

y??3xln3 y???ln3?3x?ln3?ln23?3x

解：⑶

y?lnx 11解：y?? y????2xx⑷y?xsinx

解：

y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx

（四）证明题 设

f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数．

f(?x)??f(x)

证：因为f(x)是奇函数 所以两边导数得：所以

f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x)

f?(x)是偶函数。

高等数学基础形考作业3答案：

第4章 导数的应用

（一）单项选择题 ⒈若函数

f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)?f(b)?f(a)．

b?a A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导

C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数 A. C.

f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（D

）．

(??,2) B. (?1,1)

(2,??) D. (?2,??)

⒊函数

y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A

）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数

f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C

）．

A. 间断点 B. 极值点

9

C. 驻点 D. 拐点 ⒌设 A. C.

f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．

f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0

f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）．

⒍设

A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题 ⒈设

f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是f(x)的

极小值 点． ⒉若函数 ⒊函数 ⒋函数

f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ．

y?ln(1?x2)的单调减少区间是(??,0)．

f(x)?ex2的单调增加区间是(0,??)

⒌若函数

f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)．

⒍函数

f(x)?2?5x?3x3的拐点是?0,2?

（三）计算题 ⒈求函数

y?(x?1)(x?5)2的单调区间和极值．

2解：令

y???x?5??(x?1)?2?(x?5)?3(x?5)(x?1)

?驻点x?1,x?5

列表： 极大值：极小值： ⒉求函数解：令：

X (??,1) + 上升 1 0 极大值32 (1,5) — 下降 5 0 极小值0 (5,??) + 上升 y? f(1)?32

y f(5)?0

y?x2?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． y??2x?2?0?x?1(驻点），列表：

1 0 极大值2 （1,3） — 下降 10

+ 上升 x y? y

（0,1）

y?x2?2x?3??x?1?2?2

f(0)?3f(3)?6f(1)?2

?极值点：f?1??2

?最大值f(3)?6 ?最小值f(1)?2

3.求曲线

y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：设p(x,y)是y2?2x上的点，d为p到A点的距离，则：

d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令d??2(x?2)?2x?12(x?2)2?2x?(x?2)2?2x?0?x?1?y??2

?y2?2x上点(1,2)或?1，-2?到点A(2,0)的距离最短。。

4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h??(L2?h2)h

令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hR?2L?当h?33,R?233L时其体积最大。 5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h

S表面积?2?Rh?2?R2?2VR?2?R2 令：S???2VR?2?4?R?0?V?R3V4V2??R?32? h?3?

答：当R?3V

h?34V2??时表面积最大。

6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为x，高为h。则：

62.5?x2h?h?62.5x2

11

h?33L 侧面积为：S令S??x2?4xh?x2?250?02x250 x?2x??x3?125?x?5

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题 ⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)．

?1,1?x?上对函数f?x??lnx应用拉格朗日定理，有证：在区间

ln?1?x??ln1?其中1??1?x

?1?x,故?1，于是由上式可得x?ln(1?x)

1?⒉当x?0时，证明不等式ex?x?1．

证：设f(x)?ex?(x?1)

f?(x)?ex?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?0

?f(x)?0,即ex?(x?1)

高等数学基础形考作业4答案：

第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用

（一）单项选择题

1，则f?(x)?（D）． x1 A. lnx B. ?2

x12C. D. 3

xx ⒈若

f(x)的一个原函数是

⒉下列等式成立的是（D）． A

?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C.

d?f(x)dx?f(x) D.

⒊若 A. C.

df(x)dx?f(x) dx?f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（B）．

sinx?c B. cosx?c ?sinx?c D. ?cosx?c

12

⒋

dx2f(x3)dx?（B）． ?dx A. C.

f(x3) B. x2f(x3)

11f(x) D. f(x3) 33⒌若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．

A.

F(x)?c B. 2F(x)?c F(2x)?c D.

1xF(x)?c

C.

⒍下列无穷限积分收敛的是（D）． A.

???11dx B. x???0exdx 1dx x2C.

???11dx D. x???1（二）填空题 ⒈函数

f(x)的不定积分是?f(x)dx。

⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)⒊d⒋

xx?edx?e2?c(常数）。

2。

?(tanx)?dx?tanx?c。

⒌若

?f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。

15(sinx?)dx?3 ??32??1dx收敛，则p?0。 ⒎若无穷积分?p1x⒍

3（三）计算题

cos⒈

??e1xdx??cos1d(1)??sin1?c

?xxxx2x⒉

xdx?2?exdx?2ex?c

⒊

11dx??xlnx?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c

13

⒋

?xsin2xdx???e111111??xdcos2x??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2x?c ??22224e1⒌

e3?lnx1dx??1(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)x2?7 2⒍

??10xe?2x1?2x111?2x113?21dx??ex??0edx??e?2?e?2x1??e? 00222444⒎

ee22e??121e1ex1e1122?xlnxdx??lnxdx?lnx??xdx??e??e?

??121212122?21?4e⒏

?elnxx2dx??1ee11xlnx??111x2dx??e?x??2e?1 11（四）证明题 ⒈证明：若f(x)在[?a,a]a上可积并为奇函数，则??af(x)dx?0．

证:

令x??t?aaa?af(x)dx????aaf(?t)dt???af(?t)dt????af(t)dt

??a?af(x)dx???a?af(x)dx??a?af(x)dx?0 证毕

⒉证明：若

f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则?af(x)dx?2?a?a0f(x)dx．

(x)dx??0f(x)dx??a证：

?a?af?a0f(x)dx

令x??t,则?0f(x)dx???0f(?t)dt??a?aa0f(t)dt?f(x)是偶函数

?a(x)dx??0f(x)dx??af(x)dx??aaa?af?a00f(x)dx??0f(x)dx?2?0f(x)dx

14

4证毕

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